中考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)之直線和圓的位置關(guān)系(二)

1、中考數(shù)學(xué)輔導(dǎo)之直線和圓的位置關(guān)系(二)一、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1、 理解切線長的概念，掌握切線長定理并會(huì)運(yùn)用它解決有關(guān)問題。2、 理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推論，并會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)問題，通過弦切角定理的證明，進(jìn)一步了解分情況證明數(shù)學(xué)命題的思想和方法。3、 能結(jié)合具體圖形，準(zhǔn)確地表述相交弦定理、切割線定理及其推論的題設(shè)和結(jié)論，并能應(yīng)用它們解有關(guān)的計(jì)算和證明題，會(huì)作兩條線段的比例中項(xiàng)。二、 基本內(nèi)容及應(yīng)注意的問題1、 “切線長”是切線上一條線段的長度，具有數(shù)量的特征；而“切線”是一條直線，它是向兩方無限延展的，不可以度量長度。2、 切線長定理包含兩個(gè)結(jié)論，如圖(1)所示，PA、PB切O于點(diǎn)A、B

2、，則有：(1) “切線長相等”，即PAPB。(2) “圓心和這點(diǎn)的連線平分兩切線的夾角”，即：PO平分；根據(jù)PA=PB，PO平分，可得點(diǎn)A、B關(guān)于直線OP對(duì)稱，從而有OP垂直平分AB、以及等結(jié)論，由此可得，切線長定理是證明線段相等、角相等、弧相等、線段成比例，垂直關(guān)系的重要依據(jù)。3、 講過切線長定理以后，已知一條切線時(shí)，通常有如下五個(gè)性質(zhì)可用：(1) 切線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2) 切線和圓心的距離等于該圓的半徑；(3) 切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；(4) 經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；(5) 經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。若已知一個(gè)圓的兩條切線相交，則又多了“切線長相等”的性質(zhì)；若已

3、知一個(gè)圓的兩條切線互相平行，則可得出“圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑”的性質(zhì)。4、 弦切角有兩個(gè)基本特征：(1) 頂點(diǎn)在圓上，實(shí)際上就是角的頂點(diǎn)是圓的一條切線的切點(diǎn)；(2) 一邊和圓相交，另一邊和圓相切，實(shí)際上就是角的一邊是過切點(diǎn)的一條弦（所在的直線），角的另一邊是切線上以切點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線。5、 弦切角定理與圓周角定理的證明思路類似，都分三種情況，而且在證明過程中利用了圓周角的推論。在學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意與圓周角定理對(duì)比，注意它們的內(nèi)在聯(lián)系。弦切角是與圓有關(guān)的又一種角，要能在圖形中準(zhǔn)確地識(shí)別，并能正確應(yīng)用弦切角定理及其推論。它給我們提供了證明角相等、弧相等的又一種方法。6、 相交弦定理揭示了圓內(nèi)兩條

4、相交弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的長度之間的關(guān)系。其推論是把圓內(nèi)兩條相交弦的位置特殊化兩弦中的一條是直徑，另一條是與直徑垂直的弦。利用這個(gè)推論，可以作兩條已知線段的比例中項(xiàng)。7、 切割線定理揭示了從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長和這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的長之間的關(guān)系。其推論通常又稱為割線定理，它和切割線定理的關(guān)系非常密切。應(yīng)用時(shí)要注意定理的條件和結(jié)論。8、 相交弦定理、切割線定理以及它們的推論，在計(jì)算和證明中應(yīng)用非常廣泛，學(xué)習(xí)定理時(shí)要注意結(jié)合圖形來弄清定理中所指的是哪幾種線段。三、 例題例1：如圖(2)所示，中，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，切線DE交AC于E。求證：分析：連結(jié)AD，則，要

5、證，只需證AE=EC。證明：連結(jié)AD ÞAE為O的切線 ÞEA=EDÞ DE為O的切線 ÞAB為O的直徑ÞÞ Þ DE=EC ÞDE=EA=ECÞ EA=ED例2、 如圖(3)所示，PA、PB是O的切線，A、B為切點(diǎn)，PQOQ于Q，交AB于M求證：OA2=OM·OQ證明:連結(jié)OP交AB于NPA、PB是O的切線Þ PA=PB ÞOPAB OP平分APB PA切O于AÞ OAPAÞOANOPAÞÞOA2=OP·ONPQOQ,OPA

6、BÞQ=ONM=90ONOM=QOP ÞOMNOPQÞÞON·OP=OM·OQ OA2=OP·ON ÞOA2=OM·OQ注:遇到從一點(diǎn)出發(fā)的兩條切線,常想到切線長定理及圖(1)所示的基本圖形，這個(gè)基本圖形中隱含了等腰三角形，全等三角形，相似三角形等條件。例3：已知，AB為O的直徑，過B點(diǎn)作O的切線BC，OC交O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于D。(1) 求證：CE2=CD·CB；(2) 若AB=BC=2，求CE、CD的長。分析：要證CE2=CD·CB，只需證：CEDCBE。證明：(1)連結(jié)

7、BE，BC是O的切線ÞCBE=AOA=OEÞA=OEA Þ CBE=CED OEA=ÞDEC C=CÞCBECEDÞ；(2) BC為O的切線 AB為直徑 ÞABD=90OAB=2ÞOB=1 ÞOC=ÞCE=-1； BC=2 OE=1 又CE2=CD·CB，CB=2(-1)2=2CD 則:CD= 即：CD、OE的長分別為()和(-1)。注：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)，常添輔助線，從而為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例4：如圖(5)所示，O是的外接圓，的平分線CE交AB于D，交O于E，O的切線E

8、F交CB的延長線于F。求證：AE2=AD·EF分析:連結(jié)BE，由可得：AE=BE，所以，要證AE2=AD·EF，只需證證明：連結(jié)BE，CE平分ÞÞ=ÞAE=BE=ÞEBD=ECB ÞEBF=BEC+ECB EF為切線ÞÞÞ ÞAE2=AD·EF AE=BE例5：如圖(6)所示，1與2相交于點(diǎn)M、N，直線AE與1，2及MN順次相交于點(diǎn)A，B，C，D，E。求證:AB·CD=BC·DE證明：由相交弦定理可得： 在1中:AC·CD=MC·NC

9、ÞAC·CD=EC·BC 在2中:EC·BC=MC·NCÞ(AB+BC)·CD=(CD+DE)·BCÞAB·CD+BC·CD=CD·BC+BC·DEÞAB·CD=BC·DE。注：公共弦MN是溝通兩個(gè)圓的線段關(guān)系的“橋梁”。例6：如圖(7)PA切于點(diǎn)A，PBC為的割線,PQ=PA，QB的延長線交于E，QC的延長線交圓于點(diǎn)F。求證：(1)(2)PQEF分析：有切線、割線，易聯(lián)想到切割線定理，故有：AP2=PB·PC，因PQ=PA，

10、所以PQ2=PB·PC，將此式改為比例式，再加上公共角BPQ，易證。由三角形相似，可得角的相等關(guān)系，從而為證EFPQ創(chuàng)造了條件。證明：AP為O的切線 ÞAP2=PB·PC PBC為O的割線 ÞPQ2=PB·PC PQ=APÞ ÞPBQPQCÞPQB=PCQ BPQ=QPC ÞPQB=EÞEFPQ四邊形EFCB為圓內(nèi)接四邊形ÞPCQ=E注：若將條件PQ=PA與結(jié)論P(yáng)QEF交換，命題還成立嗎？請(qǐng)同學(xué)們自己證明。例7：如圖(8)所示，ABC內(nèi)接于O，DA切O于點(diǎn)A，BC的延長線交AD于點(diǎn)D。

11、求證：分析：由條件知：這是相似三角形的一種基本圖形，易得ADCBDA，從而得：CA/AB=CD/AD=AD/DB，將此例式CA/AB=CD/AD (或)兩邊平方,就符合結(jié)論的形式，再利用切割線定理的結(jié)論進(jìn)行代換，命題就能得證。證明：AD為O切線ÞDAC=B ÞDACDBA D=DÞÞAD為O的切線 ÞAD2=DC·DB Þ。BCD為O的割線注：本題還可以運(yùn)用面積法來證明。四、 練習(xí)及作業(yè)： (1)已知PA、PB分別切O于A、B，C是劣弧上任意一點(diǎn)，過E作O的切線和PA、PB分別交于D、E，若OP=5，O半徑為3，則的周長為（

12、 ）A 4 B8 C9 D不確定 (2)圓外切四邊形一組對(duì)邊和為12，圓的半徑為2，則這個(gè)四邊形的面積為（ ）A 6 B12 C24 D48(3) 外心、內(nèi)心、垂心、重心這四心重合的三角形是（ ）A 任意三角形 B直角三角形 C等腰三角形D等邊三角形 (4)AB、AC分別切圓于B、C，B、C兩點(diǎn)分圓所得兩弧比為1:2，則A的度數(shù)為（ ）A 45O B90O C60O D120O(5) AB、AC分別切O于B、C，BC交OA于D，連結(jié)OB、OC，則圓中的直角三角形共有（ ）個(gè)A 3 B4 C5 D6 (6)AB切O于B，ACD是過O點(diǎn)的割線,且A=50O，則的度數(shù)為（ ）A 50 B140 C90D280 (7)過O外一點(diǎn)P引圓的兩切線PA、PB，A、B是切點(diǎn)，P=90，OP=4，則O半徑的長為（ ）A 4 B8 C D (8)O的直徑是AB，弦CDAB于P，且CD=8，BP=2