數(shù)學(xué)高考題分類匯編不等式

1、不等式一、選擇題1.（2013重慶高考理科3）的最大值為 ( )A. B. C. D. 【解題指南】直接利用基本不等式求解.【解析】選B. 當(dāng)或時(shí), ，當(dāng)時(shí), ,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).2. （2013山東高考理科12）設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（ ） A.0 B.1 C. D.3【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來(lái)表示z，再經(jīng)過(guò)變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問(wèn)題，取等號(hào)的條件可直接代入，進(jìn)而再利用基本不等式求出的最值.【解析】選B. 由，得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)此時(shí)， . .3. （2013山東高考文科12）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值

2、時(shí)，的最大值為（ ）A.0 B. C.2 D.【解題指南】此題可先利用已知條件用x,y來(lái)表示z，再經(jīng)過(guò)變形，轉(zhuǎn)化為基本不等式的問(wèn)題，取等號(hào)的條件可直接代入，進(jìn)而再利用基本不等式求出的最值.【解析】 選C. 由，得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)y=2-y時(shí)取等號(hào).4.(2013福建高考文科T7)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是()A B C D【解題指南】“一正二定三相等”,當(dāng)題目出現(xiàn)正數(shù),出現(xiàn)兩變量,一般而言,這種題就是在考查基本不等式.【解析】選D. 2x+2y=1,所以2x+y,即2x+y2-2,所以x+y-2.二、填空題5. （2013四川高考文科13）已知函數(shù)在

3、時(shí)取得最小值，則_?！窘忸}指南】本題考查的是基本不等式的等號(hào)成立的條件，在求解時(shí)需要找到等號(hào)成立的條件，將代入即可.【解析】由題，根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而由題知當(dāng)時(shí)取得最小值，即.【答案】366.（2013天津高考文科14）設(shè)a + b = 2, b0, 則的最小值為 . 【解題指南】將中的1由a + b代換，再由均值不等式求解.【解析】因?yàn)閍 + b = 2, b0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，或，若，則，若，則所以的最小值為【答案】7. （2013天津高考理科14）設(shè)a + b = 2, b0, 則當(dāng)a = 時(shí), 取得最小值. 【解題指南】將中的1由a + b代換，再由均值

4、不等式求解.【解析】因?yàn)閍 + b = 2, b0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，或，若，則，若，則所以取最小值時(shí)，.【答案】-28.（2013上海高考文科T13）設(shè)常數(shù)a0.若對(duì)一切正實(shí)數(shù)x成立，則a的取值范圍為 .【解析】 考查均值不等式的應(yīng)用，【答案】 9. （2013陜西高考文科14）在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長(zhǎng)x為 (m).【解題指南】設(shè)出矩形的高y，由題目已知列出x，y的關(guān)系式，整理后利用均值不等式解決應(yīng)用問(wèn)題.【解析】設(shè)矩形高為y, 由三角形相似得: .【答案】20.不等關(guān)系與不等式一、選擇題1. （2013北京高考文科

5、2）設(shè)a,b,cR,且ab,則()A.acbcB.C.a2b2D.a3b3【解題指南】利用不等式的性質(zhì)求解.【解析】選D.y=x3在(-,+)上為增函數(shù),所以a3b3.2. (2013浙江高考文科T10)設(shè)a,bR,定義運(yùn)算“”和“”如下:b, ab,a, ab.a， ab,b， ab,ab= ab=若正數(shù)a,b,c,d滿足ab4,c+d4,則()A.ab2,cd2B.ab2,cd2C.ab2,cd2D.ab2,cd2【解題指南】充分理解新定義的運(yùn)算,根據(jù)它的運(yùn)算性質(zhì)求解.【解析】選C.因?yàn)閍b=mina,b,ab=maxa,b,又ab4,所以a,b中至少有一個(gè)大于等于2,所以ab2,排除A,

6、B;因?yàn)閏+d4,所以c,d中至少有一個(gè)小于等于2,所以cd2,故選C. 二、填空題3.(2013浙江高考文科T16)設(shè)a,bR,若x0時(shí)恒有0x4-x3+ax+b(x2-1)2,則ab=.【解題指南】由不等式恒成立可取特殊值得到a,b的關(guān)系,再由不等式恒成立求得ab.【解析】因?yàn)閤0時(shí),0x4-x3+ax+b(x2-1)2恒成立,所以當(dāng)x=1時(shí),0a+b0成立,所以a+b=0,a=-b,當(dāng)x=0時(shí),0b1,所以-1a0,所以原不等式為0x4-x3+ax-a(x2-1)2,ax-ax3-2x2+1,所以a(x-1)(x2-x-1)(x-1),當(dāng)x1時(shí), ax2-x-1=(x1)恒成立,得a-1

7、;所以a=-1.當(dāng)x0與x0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a=() A.B. C.1D.2【解題指南】結(jié)合線性約束條件,畫出可行域,由目標(biāo)函數(shù)取得最小值1,結(jié)合圖形可求得a.【解析】選B.畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y表示的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),z取得最小值,而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=,故選B.2.（2013新課標(biāo)全國(guó)高考文科3）設(shè)滿足約束條件，則的最小值是（ ）A. B. C. D.【解題指南】結(jié)合線性約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)平移得最小值.【解析】選B.由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如圖,平移直

8、線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)取得最小值，由得，即,代入直線z=2x-3y得，選B.3. （2013陜西高考文科7）若點(diǎn)(x,y)位于曲線y = |x|與y = 2所圍成的封閉區(qū)域, 則2xy的最小值為 ( )A. 6B .2C. 0D. 2【解題指南】畫出直線圍成的封閉區(qū)域，把求2x-y最小值轉(zhuǎn)化為求y=2x-z所表示直線的截距的最大值，通過(guò)平移可求解.【解析】選A.的圖像圍成一個(gè)三角形區(qū)域，3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封閉區(qū)域內(nèi)平移直線y=2x，在點(diǎn)(-2,2)時(shí)，2x y = - 6取最小值.4. （2013山東高考理科6）在平面

9、直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組：，所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為（ ）A.2 B.1 C. D.【解題指南】本題可先根據(jù)題意畫出平面區(qū)域，然后利用數(shù)形結(jié)合找出斜率的最值.【解析】選C. 作出可行域如圖由圖象可知當(dāng)M位于點(diǎn)D處時(shí)，OM的斜率最小.由得，即,此時(shí)OM的斜率為.5.（2013北京高考理科8）設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x02y0=2，求得m的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【解題指南】作出平面區(qū)域，則區(qū)域的邊界點(diǎn)中有一個(gè)在x02y0=2的上方，一個(gè)在下方。【解析】選C。作出可行域如下圖所示：要使可行域存在，必有，要求可行域

10、內(nèi)包含直線上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)在直線上方，且在直線下方，解不等式組得m.6. （2013四川高考文科8）若變量滿足約束條件且的最大值為，最小值為，則的值是（ ）A B. C. D.【解題指南】本題考查的是簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，求解的關(guān)鍵是正確的作出可行域，然后求出最大值與最小值.【解析】選C，作出可行域如圖，結(jié)合圖形可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取最大值16，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，取最小值為-8，所以，故選C.7. （2013湖北高考文科9）某旅行社租用，兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過(guò)21輛，且型車不多于型

11、車7輛則租金最少為( )A31200元 B36000元 C36800元 D38400元【解題指南】利用線性規(guī)劃求解.【解析】選C. 設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的運(yùn)營(yíng)成本為1600x+2400y，依題意，x，y還需滿足：x+y21，yx+7，36x+60y900，于是問(wèn)題等價(jià)于求滿足約束條件 要使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值。作可行域如圖所示,可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6),由圖可知,當(dāng)直線z=1600x+2400y經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)P時(shí),直線z=1600x+2400y在y軸上截距最小,即z取得最小值.故應(yīng)配備A型車5輛,B型車12輛.zmin=16

12、00x+2400y=16005+240012=36800(元).8（2013天津高考文科T2)與(2013天津高考理科T2)相同設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為()A.-7B.-4C.1 D.2【解題指南】畫出約束條件所表示的可行域,平移直線z=y-2x至截距最小即可.【解析】選A.由z=y-2x,得y=2x+z.作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域ABC. 作直線y=2x,平移直線y=2x+z,由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),y=2x+z的截距最小,此時(shí)z最小.由得代入z=y-2x得z=3-25=-7.所以最小值為-7.9.(2013福建高考文科T6)若變量x,y滿足約束條件則z=2

13、x+y的最大值和最小值分別為()A.4和3 B.4和2C.3和2 D.2和0【解題指南】找出可行域,將各端點(diǎn)代入求出最值.【解析】選B.可行域如圖所示,可行域的三個(gè)端點(diǎn)為,分別代入可得zmin=21+0=2,zmax=22+0=4.10.（2013湖南高考理科4）若變量滿足約束條件，（ ）A B C D【解題指南】先作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后找出最優(yōu)解即可。【解析】選C.作出不等式組，表示的平面區(qū)域,得到如圖的ABC及其內(nèi)部, 其中A,B,C(2,-1).設(shè)z=x+2y,將直線l:z=x+2y進(jìn)行平移,當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值,所以z最大值=.二、填空題11（2

14、013新課標(biāo)高考文科14）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為_(kāi).【解題指南】畫出x,y滿足約束條件的可行域,平移目標(biāo)函數(shù),確定目標(biāo)函數(shù)取得最大值的位置,求出點(diǎn)的坐標(biāo),將該點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中.【解析】畫出可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，【答案】12. （2013大綱版全國(guó)卷高考文科15）若滿足約束條件則 .【解析】畫出滿足約束條件的可行域，如圖可知過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，聯(lián)立，解得,所以.【答案】0. 13.（2013大綱版全國(guó)卷高考理科15）記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿糁本€ .【解析】畫出可行域如圖所示，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值為.所以的取值范

15、圍為.【答案】14.(2013浙江高考理科T13)設(shè)z=kx+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿足，若z的最大值為12,則實(shí)數(shù)k=.【解析】不等式組表示的可行域如圖所示,由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y軸上的截距最大時(shí),z最大,由圖知當(dāng)且直線過(guò)點(diǎn)A(4,4)時(shí),z取最大值12,即4k+4=12,所以k=2.【答案】215.(2013浙江高考文科T15)設(shè)z=kx+y,其中實(shí)數(shù)x,y滿足若z的最大值為12,則實(shí)數(shù)k=.【解題指南】根據(jù)不等式組畫出可行域,再把目標(biāo)函數(shù)z轉(zhuǎn)化為在y軸上的截距.【解析】不等式組表示的可行域如圖所示,由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y軸上的截距最大時(shí),z最大,經(jīng)檢驗(yàn)

16、-k0且直線過(guò)點(diǎn)A(4,4)時(shí),z取最大值12,即4k+4=12,所以k=2.【答案】216. (2013江蘇高考數(shù)學(xué)科T9)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部和邊界).若點(diǎn)P(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn),則x+2y的取值范圍是.【解題指南】先確定可行域,再通過(guò)平移目標(biāo)函數(shù)求范圍.【解析】由得拋物線在處的切線方程為即即得可行域如圖中陰影 目標(biāo)函數(shù)平移目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)最小經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)最大，故的取值范圍是【答案】17. （2013湖南高考文科13）若變量x,y滿足約束條件則x+y的最大值為_(kāi)【解題指南】先作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后找出最

17、優(yōu)解即可。【解析】畫出可行域如圖,由得A(4,2),目標(biāo)函數(shù)z=x+y可看成斜率為-1的動(dòng)直線,其縱截距越大z越大,數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí),z最大=4+2=6.【答案】618.（2013安徽高考文科12）若非負(fù)數(shù)變量x、y滿足約束條件則x+y的最大值為_(kāi)【解題指南】 作出可行域，求出最優(yōu)點(diǎn)，得出最大值?！窘馕觥坑桑袋c(diǎn)A，同理可得點(diǎn)B（4,0），可行域如圖陰影所示，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)（4,0）時(shí)得所求的最大值是4.【答案】419.（2013北京高考文科12）設(shè)D為不等式組，表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點(diǎn)與點(diǎn)（1，0）之間的距離的最小值為_(kāi).【解題指南】作出可行域D，然后可以看出點(diǎn)（1，0）

18、到D的距離的最小值為點(diǎn)（1，0）到直線2x-y=0的距離?！窘馕觥孔鞒隹尚杏駾,點(diǎn)（1，0）到區(qū)域D上點(diǎn)的最小距離即是點(diǎn)（1，0）到直線2x-y=0的距離，。【答案】20.（2013廣東高考理科13）給定區(qū)域：令點(diǎn)集=(x0,y0)D| x0,y0Z,( x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)，則T中的點(diǎn)共確定_條不同的直線。【解題指南】本題考查線性規(guī)劃中的整點(diǎn)最優(yōu)解問(wèn)題，可列出整點(diǎn)驗(yàn)算.【解析】區(qū)域是以為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部區(qū)域（含邊界），內(nèi)的整點(diǎn)有，這11個(gè)點(diǎn)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)為，這些點(diǎn)共確定6條不同的直線.【答案】6. 21.（2013廣東高考文科13）已知變量滿足約束條件則的最大值是【解題指南】本題考查線性規(guī)劃中的最優(yōu)解問(wèn)題，可畫出可行域計(jì)算.【解析】可行域是以為頂點(diǎn)的直角梯形內(nèi)部區(qū)域（含邊界），z=x+y在D上取得最大值的點(diǎn)為，最大值是5.【答案】5. 22. （2013山東高考文科14）在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)【解題指南】可畫出不等式組