數(shù)學(xué)建模論文cpi

1、摘要消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)，英文縮寫為CPI，是反映居民生活有關(guān)的商品及勞務(wù)價(jià)格統(tǒng)計(jì)出來的物價(jià)變動指標(biāo)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo)。所以如何來準(zhǔn)確計(jì)算CPI消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)顯得至關(guān)重要。目前國內(nèi)的CPI指數(shù)統(tǒng)一執(zhí)行國家統(tǒng)計(jì)局規(guī)定的八大類體系，即食品、煙酒及用品、衣著、家庭設(shè)備用品及服務(wù)、醫(yī)療保健及個(gè)人用品、交通和通信、娛樂教育文化用品及服務(wù)、居住等八大類占的權(quán)重構(gòu)成。 從CPI的計(jì)算公式可以看出，權(quán)重的取值是計(jì)算CPI的關(guān)鍵因素，要使計(jì)算出的CPI能夠準(zhǔn)確、客觀反應(yīng)物價(jià)水平，就要科學(xué)地選取權(quán)重的值。那么我們?nèi)绾蝸砣?quán)重的值？權(quán)重與哪些因素有關(guān)呢？根據(jù)題目所給的信息以及對往年CPI的值與加權(quán)系數(shù)的

2、數(shù)據(jù)觀察分析，我們假設(shè)消費(fèi)結(jié)構(gòu)與CPI加權(quán)系數(shù)呈線性關(guān)系。由此，我們通過Matlab來建立消費(fèi)結(jié)構(gòu)與CPI加權(quán)系數(shù)的關(guān)系。首先，我們需要獲取幾組的消費(fèi)結(jié)構(gòu)與加權(quán)系數(shù)的數(shù)據(jù)。為了得到加權(quán)系數(shù)，我們根據(jù)計(jì)算CPI的方程，列出多項(xiàng)式用Matlab求解，但是由于各類代表商品的CPI數(shù)據(jù)本身的誤差較大，得出的權(quán)重誤差太大，甚至有負(fù)數(shù)，由此，我們又換了另一種方法，回歸分析，結(jié)果也是因?yàn)檎`差大二求解失敗。最后，我們通過查找資料的方式，獲得了幾組準(zhǔn)確的權(quán)重?cái)?shù)據(jù)，以此來建立模型。在建立模型的時(shí)候，采用了線性回歸模型，用Matlab軟件求解，求出置信區(qū)間和相關(guān)系數(shù)，殘差等，并畫圖進(jìn)行殘差分析，在進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，通

3、過圖形看出消費(fèi)結(jié)構(gòu)與CPI權(quán)重的關(guān)系，獲得相應(yīng)的系數(shù)，建立近三年的線性關(guān)系模型，并與以往的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。對于第二個(gè)問題我們收集相關(guān)數(shù)據(jù)，取最具有代表性的三年的消費(fèi)結(jié)構(gòu)和CPI指數(shù)進(jìn)行分析，建立近幾年平均的消費(fèi)結(jié)構(gòu)與不同收入等級的人的關(guān)系，分別對不同人群計(jì)算出CPI被低估的程度。CPI作為重要的經(jīng)濟(jì)指數(shù)，不僅可以讓老百姓直觀的評價(jià)物價(jià)的上漲程度，更重要的是有利于政府的市場的調(diào)控，便于確定貨幣的發(fā)行量，避免通貨膨脹。為了得到較準(zhǔn)確的CPI，需要統(tǒng)計(jì)具有代表性的消費(fèi)品，根據(jù)不同因素的影響，確立最優(yōu)的選擇代表性的消費(fèi)種類的方案。對此，我們對計(jì)算CPI以及CPI環(huán)比增長值得方程進(jìn)行觀察，轉(zhuǎn)換，分析，化簡

4、，得出加權(quán)系數(shù)與消費(fèi)水平增長值對CPI的影響最大，然后再建立CPI，權(quán)重，消費(fèi)水平增長值之間的模型。關(guān)鍵詞：線性回歸、殘差、Matlab軟件、最優(yōu)方案一、問題的重述目前，居民消費(fèi)指數(shù)（CPI）是一種度量通貨膨脹水平的工具，主要反映消費(fèi)者支付商品和勞務(wù)的價(jià)格變化情況。它由食品、煙酒及用品、衣著、家庭設(shè)備用品及服務(wù)、醫(yī)療保健及個(gè)人用品、交通和通信、娛樂教育文化用品及服務(wù)、居住所占的權(quán)重構(gòu)成。每一類在CPI中占一定的比例，即加權(quán)數(shù)。這個(gè)加權(quán)數(shù)是在二十多年前確定的，至今沒有進(jìn)行根本的調(diào)整。例如，食品的加權(quán)數(shù)占三分之一左右，而以衣著、教育、住房等占的加權(quán)數(shù)相當(dāng)?shù)?。二十年前這種加權(quán)數(shù)的確是合理的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)

5、吃是人們主要支出，而醫(yī)療、教育、住房都有政府補(bǔ)貼，人們支出很少。而今社會在突飛猛進(jìn)的發(fā)展，人民的生活水平高了，人們的消費(fèi)結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大變化，食物的支出比例有所下降，但醫(yī)療、教育、住房等的支出大大增加了。按以前的加權(quán)數(shù)難以計(jì)算出今天的CPI，也難以反映出不同商品對人民生活的影響。所以我們需要通過搜集以往的數(shù)據(jù)解決以下問題：1、建立數(shù)學(xué)模型，分析CPI加權(quán)系數(shù)是如何隨消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化而改變。2、根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型來判斷CPI是否被低估，并且計(jì)算出不同人群對CPI低估的程度。3、從數(shù)學(xué)的角度，考慮到各種因數(shù)的影響，試確定出反映CPI具有代表性的消費(fèi)種類時(shí)的最優(yōu)方案。二、 問題的分析由于社會的發(fā)展，人民

6、的生活水平提高了，消費(fèi)結(jié)構(gòu)也發(fā)生了巨大的變化， 人們的消費(fèi)結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，這必然會影響CPI中八個(gè)種類所占得的權(quán)重，而我們現(xiàn)在還在使用以前的CPI權(quán)重，這樣就不是很理想地反映消費(fèi)者支付商品和勞務(wù)的價(jià)格變化情況以及通貨膨脹的情況。但是不同收入的人對市場的反應(yīng)不一樣，那么就會導(dǎo)致CPI在不同消費(fèi)結(jié)構(gòu)的人們中，他們的所占得比重就不同，就會導(dǎo)致CPI是否被低估了呢以及政府是如何選擇消費(fèi)種類來計(jì)算CPI。通過上述分析，容易看出，有以下幾個(gè)問題需要解決：（1）CPI加權(quán)系數(shù)在一年內(nèi)是不變的，因此可以根據(jù)一年內(nèi)任意八個(gè)月的CPI數(shù)據(jù)，建立八元一次方程組，求解出八類商品所對應(yīng)的加權(quán)系數(shù)。（2）根據(jù)收集以往的消

7、費(fèi)結(jié)構(gòu)和CPI加權(quán)系數(shù)，確定出CPI的權(quán)重與消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化關(guān)系。（3）建立數(shù)學(xué)關(guān)系，求出他們的相關(guān)系數(shù)，與原始數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。（4）收集數(shù)據(jù)，確定不同收入的人群他們的消費(fèi)結(jié)構(gòu)如何，主要消費(fèi)在哪些方面，由于消費(fèi)種類的差異，不同的消費(fèi)人群對政府公布的CPI表示懷疑，絕大多數(shù)人認(rèn)為政府公布的CPI明顯被低估了。建立數(shù)學(xué)模型，定量說明不同人群認(rèn)為CPI被低估的程度。（5）由于統(tǒng)計(jì)部門在統(tǒng)計(jì)不同種類的商品時(shí)是確定了某些代表性的商品，而這些商品并不是永遠(yuǎn)具有代表性，這就可能導(dǎo)致調(diào)查結(jié)果不能準(zhǔn)確的反映實(shí)際情況，無法對CPI進(jìn)行較準(zhǔn)確的計(jì)算。因此，在不同的時(shí)期，應(yīng)該有不同的代表商品，使統(tǒng)計(jì)的CPI更能反映真實(shí)的

8、情況。根據(jù)不同情況確立優(yōu)化方案。三、 問題的假設(shè)1、假設(shè)加權(quán)系數(shù)在一年之內(nèi)基本不變化。2、假設(shè)加權(quán)系數(shù)之和等于1，而不是實(shí)際的大于或等于1.3、假設(shè)在一年內(nèi)不出現(xiàn)任何的天災(zāi)人禍（金融危機(jī)、地震），出現(xiàn)市場搶購等現(xiàn)象，導(dǎo)致消費(fèi)結(jié)構(gòu)紊亂。4、假設(shè)統(tǒng)計(jì)的消費(fèi)品中的代表商品在這段時(shí)間內(nèi)仍然具有代表性。四、 符號說明: 表示食品類的加權(quán)系數(shù)；：表示衣著類的加權(quán)系數(shù)；：表示家庭設(shè)備用品及服務(wù)類的加權(quán)系數(shù)；：表示醫(yī)療保健及個(gè)人用品類的加權(quán)系數(shù)；：表示交通和通信類的加權(quán)系數(shù)；：表示娛樂教育文化及用品類的加權(quán)系數(shù)；：表示居住類的加權(quán)系數(shù)；：表示煙酒及用品類的加權(quán)系數(shù)；A: 表示食品類價(jià)格指數(shù)；B：表示衣著類價(jià)格

9、指數(shù)；C: 表示家庭設(shè)備用品及服務(wù)類價(jià)格指數(shù)；D: 表示醫(yī)療保健及個(gè)人用品類價(jià)格指數(shù)；E: 表示交通和通信類價(jià)格指數(shù)；F: 表示娛樂教育文化及用品類價(jià)格指數(shù)；G: 表示居住類價(jià)格指數(shù)；H: 表示煙酒及用品類價(jià)格指數(shù)；a: 表示食品類月增長量；b: 表示衣著類月增長量；c: 表示家庭設(shè)備用品及服務(wù)類月增長量；d: 表示醫(yī)療保健及個(gè)人用品類月增長量；e: 表示交通和通信類月增長量；f: 娛樂教育文化及用品類月增長量； g: 居住類月增長量；h: 煙酒及用品類月增長量；:代表消費(fèi)結(jié)構(gòu)；bint：回歸區(qū)間估計(jì)和置信區(qū)間r：殘差atats：（r2，F(xiàn)，P）r2：相關(guān)系數(shù)F：FF(K,n-k-1)時(shí)拒絕H

10、，H越大，方程越顯著P:P syms a b c d e f g h ieq1=99.6*a+99.5*b+98.7*c+98.1*d+100.5*e+99.5*f+108.8*g=101.2-102.5*h;eq2=101.3*a+99.6*b+98.0*c+97.7*d+100.3*e+98.9*f+109.6*g=101.6-101.6*h; eq3=101.7*a+99.6*b+98.2*c+97.7*d+100.3*e+99.3*f+109.4*g=101.7-101.2*h; eq4=101.0*a+99.5*b+98.3*c+97.8*d+100.0*e+99.6*f+109.1

11、*g=101.4-101.0*h; eq5=101.5*a+99.5*b+98.2*c+97.8*d+99.9*e+99.3*f+108.9*g=101.5-100.7*h;eq6=100.2*a+99.6*b+97.7*c+97.7*d+99.7*e+99.3*f+108.8*g=101.0-100.5*h;eq7=100.3*a+99.9*b+98.0*c+97.6*d+99.6*e+99.0*f+101.9*g=99.9-99.7*h;eq8=a+b+c+d+e+f+g=0.04+1-h;a,b,c,d,e,f,g,h,=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7

12、,eq8)a=eval(a)b=eval(b)c=eval(c)d=eval(d)e=eval(e)f=eval(f)g=eval(g)h=eval(h)結(jié)果：b =-3.7299294072382672989904565946520結(jié)果分析：CPI加權(quán)系數(shù)里面出現(xiàn)了負(fù)值，說明計(jì)算方法可能出現(xiàn)了問題。經(jīng)分析，主要由于公布的價(jià)格指數(shù)精度不夠，這種方法理論上可行，但實(shí)際卻得不到理想的結(jié)果。查詢數(shù)據(jù)，得到2005年、2006年、2009年的CPI加權(quán)系數(shù)。2005年0.34 0.09 0.14 0.06 0.10 0.13 0.10 0.04 ；2006年0.332 0.091 0.06 0.10

13、0.104 0.142 0.132 0.039 ；2009年0.336 0.09 0.04 0.11 0.09 0.145 0.136 0.05 ；（二）CPI加權(quán)系數(shù)是如何隨消費(fèi)結(jié)構(gòu)的變化而改變1、通過查找資料的方式獲得2005年八大類商品的消費(fèi)結(jié)構(gòu)比例及其權(quán)重，（1）通過分析建立如下回歸分析程式：y=36.52 10.47 10.02 6.42 6.98 13.72 12.01 3.87;X=0.34 0.09 0.14 0.06 0.10 0.13 0.10 0.04 ; x=ones(8,1),X; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05); b,bi

14、nt,stats rcoplot(r,rint)計(jì)算結(jié)果如圖所示：通過對計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)分析得出以下結(jié)論：當(dāng)=0.05，可以獲得兩個(gè)值： 即線性回歸方程為：bint： -5.2208 3.3812 79.3843 135.9785atats：（r2，F(xiàn)，P），說明相關(guān)性很強(qiáng)F：F=86.7031,FF(K,n-k-1),拒絕H，方程顯著P:P=0.0001y=35.78 10.37 5.73 7.14 13.19 13.83 10.40 3.56;=0.332 0.091 0.06 0.10 0.104 0.142 0.132 0.039 ; x=ones(8,1), ; b,bint,r,ri

15、nt,stats=regress(y,x,0.05); b,bint,stats rcoplot(r,rint)計(jì)算結(jié)果如圖所示：(見附件1)通過對計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)分析得出以下結(jié)論：當(dāng)=0.05，可以獲得兩個(gè)值： 即獲得線性回歸方程為：bint： -4.4632 2.1631 87.2359 131.1646atats：（r2，F(xiàn)，P），說明相關(guān)性很強(qiáng)F：F=147.9951,FF(K,n-k-1),拒絕H，方程顯著P:P=0.0000y=36.69 10.08 5.62 7.56 12.55 13.82 10.18 3.50;=0.336 0.09 0.04 0.11 0.09 0.145 0

16、.136 0.05 ; x=ones(8,1), ; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05); b,bint,stats rcoplot(r,rint)計(jì)算結(jié)果如圖所示：數(shù)據(jù)分析：當(dāng)=0.05，可以獲得兩個(gè)值： 即獲得回歸方程：bint： -4.5753 2.743183.3017 131.3755atats：（r2，F(xiàn)，P）,說明相關(guān)性很強(qiáng)F：F=119.3963,FF(K,n-k-1),拒絕H，方程顯著P:P=0.00000.05=，此時(shí)拒絕H，回歸成立。（2）通過函數(shù)rcoplot(r,rint)獲得殘差分析圖如下所示：從殘差圖可知，除了第三組，其余數(shù)

17、據(jù)的殘差離零點(diǎn)較近，且殘差的置信區(qū)間也包含零點(diǎn)，這說明回歸模型能較好地符合原始數(shù)據(jù)，而第三組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為是異常點(diǎn)?？傊ㄟ^對以上數(shù)據(jù)的回歸分析，我們可以得出：權(quán)重與消費(fèi)結(jié)構(gòu)呈一次線性關(guān)系。變化關(guān)系為（三）計(jì)算被低估的程度通過前面建立的消費(fèi)結(jié)構(gòu)與CPI權(quán)數(shù)之間的關(guān)系，我們?nèi)啄甑臄?shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立2005年的CPI加權(quán)系數(shù)與消費(fèi)結(jié)構(gòu)的關(guān)系；2006年的CPI加權(quán)系數(shù)與消費(fèi)結(jié)構(gòu)的關(guān)系；2009年的CPI加權(quán)系數(shù)與消費(fèi)結(jié)構(gòu)的關(guān)系；通過三年數(shù)據(jù)的對比，求出平均CPI加權(quán)系數(shù)與消費(fèi)結(jié)構(gòu)的關(guān)系;根據(jù)數(shù)據(jù)建立2010年不同收入人群消費(fèi)結(jié)構(gòu)分類表:2010年11月實(shí)際CPI指數(shù)如下表：根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算出不同

18、人群對CPI指數(shù)的低估程度，（1）低收入人群CPI低估的程度（2）中等收入人群CPI低估的程度(3)高等收入人群CPI低估的程度通過以上分析說明：低收入人群被低估的程度為19.6%中等收入人群被低估的程度為5.9%高收入人群被低估的程度為-23.5%（說明高收入的人群認(rèn)為CPI被高估了）（四）消費(fèi)種類最優(yōu)方案CPI是對價(jià)格變動趨勢及程度和城鄉(xiāng)居民實(shí)際生活費(fèi)支出的影響程度的指標(biāo)。從CPI 的計(jì)算公式看出，；為了使計(jì)算出的CPI準(zhǔn)確靈敏的反映出總體物價(jià)變化水平，從環(huán)比的計(jì)算公式可以看出，環(huán)比指數(shù)由加權(quán)系數(shù)和環(huán)比物價(jià)增長值（）決定。用 表示CPI變化的靈敏度，定義為：由此可見CPI變化的靈敏度與各類消費(fèi)品的加權(quán)系數(shù)（）和其月增長系數(shù)（）有關(guān)。所以我們在確定最優(yōu)消費(fèi)種類的時(shí)候我們可以根據(jù)靈敏度得大小來決定，靈敏度越大，那么它的可靠性就越高，越能夠代表市場的物價(jià)水平；反之，則否。六、 模型的檢驗(yàn)與評價(jià)（一） 模型的檢驗(yàn)1、 由上文可知CPI加權(quán)系數(shù)與消費(fèi)結(jié)構(gòu)的關(guān)系是，2010年的居民平均消費(fèi)結(jié)構(gòu)如下表：根據(jù)此表我們可