難點32極限及其運算doc

1、難點 32極限及其運算極限的概念及其滲透的思想，在數(shù)學中占有重要的地位，它是人們研究許多問題的工具.舊教材中原有的數(shù)列極限一直是歷年高考中重點考查的內(nèi)容之一.本節(jié)內(nèi)容主要是指導考生深入地理解極限的概念，并在此基礎上能正確熟練地進行有關極限的運算問題.難點磁場( )求 lima n2n12nan1 .n案例探究例 1已知 lim(x 2x 1 ax b)=0,確定 a 與 b 的值 .x命題意圖：在數(shù)列與函數(shù)極限的運算法則中，都有應遵循的規(guī)則，也有可利用的規(guī)律，既有章可循，有法可依.因而本題重點考查考生的這種能力.也就是本知識的系統(tǒng)掌握能力.屬級題目 .知識依托： 解決本題的閃光點是對式子進行有

2、理化處理，這是求極限中帶無理號的式子常用的一種方法 .錯解分析：本題難點是式子的整理過程繁瑣，稍不注意就有可能出錯.技巧與方法：有理化處理 .解： lim (21axb)( x 2x1)(axb) 2x xlim2xxxx1axb(1a2 ) x 2(12ab) x(1 b2 )lim2xxx1axb要使上式極限存在，則1 a2=0,當 1a2 =0 時，1b2上式(12ab) x(1b2 )lim(12ab)x 2(12ab)lim2x1axb11b1axxx1ax 2xx由已知得(12ab)01a1a20a1(12ab)0解得b11a2例 2設數(shù)列a1 ,a2 , ,an, 的前 n 項的

3、和 Sn 和 an 的關系是Sn=1ban1,其中b) n(1b 是與 n 無關的常數(shù)，且b 1.(1)求 an 和 an 1 的關系式；(2)寫出用 n 和 b 表示 an 的表達式；(3)當 0 b 1 時，求極限 lim Sn.n命題意圖：歷年高考中多出現(xiàn)的題目是與數(shù)列的通項公式，前n 項和系.有時題目是先依條件確定數(shù)列的通項公式再求極限，或先求出前n 項和題考查學生的綜合能力.屬級題目.知識依托：解答本題的閃光點是分析透題目中的條件間的相互關系.錯解分析：本題難點是第(2) 中由 (1) 中的關系式猜想通項及n=1 與 n=2Sn 等有緊密的聯(lián) Sn 再求極限，本時的式子不統(tǒng)一性.技巧

4、與方法：抓住第一步的遞推關系式，去尋找規(guī)律.解： (1)an=Sn Sn1 = b(an an 1)11= b(an an 1)+b(n 2)b)n(1b) n 1b) n(1(1解得 an=b an 1(1b(n2)1bb) n 1( 2) a1S11 ba11, a1b1b(1 b) 2anbban 2b1(bb 2b1b(1b) n(1b)n1)2 an 2b) n 11b1b(1( b )2 b an 3(1bb b21b1bb) n 1(1b) n 1( b )2 an 3b b 2b3,1b(1b)n1由此猜想 an(b)n1 a1bb2b3bn 11b(1b) n 1把 a1b代

5、入上式得(1b)2b2bnbbn11 ( b1)anbb) n 1(1b)(1b) n(1n(b1)2n1(3)Sn1ban11bbbn11(1b) n(1 b)(1b) n1(1b)n1(11b(bbn 1 ) (11) n1(b1),b)n1bb0b1時 ,lim bn0, lim (1) n0,lim Sn1.nn1bn錦囊妙計1.學好數(shù)列的極限的關鍵是真正從數(shù)列的項的變化趨勢理解數(shù)列極限.學好函數(shù)的極限的關鍵是真正從函數(shù)值或圖象上點的變化趨勢理解函數(shù)極限.2.運算法則中各個極限都應存在.都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個.在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目

6、分母不能直接求極限.3.注意在平時學習中積累一些方法和技巧，如：lim( 1) nn0(| a | 1)n0, lim anna0,當 kl 時b0a0 x ka1 xk 1aklim0,當kl時b0 x lb1 x l 1b1n不存在 ,當k l 時殲滅難點訓練一、選擇題1.( ) an 是 (1+ x)n 展開式中含 x2 的項的系數(shù)，則 lim ( 111)等于()na1a2anA.2B.0C.1D. 12.( )若三數(shù) a,1,c 成等差數(shù)列且a2,1,c2 又成等比數(shù)列，則 lim (ac) n的值是na2c2()A.0B.1C.0或 1D.不存在二、填空題3.( ) lim (xx

7、xx )=_.n4.( )若 lim ( a2n2n 1 nb) =1,則 ab 的值是 _.n三、解答題5.( )在數(shù)列 an 中，已知 a1=3,a2=31,且數(shù)列 an+1 1an 是公比為1 的等5100102比數(shù)列，數(shù)列 lg( an+1 1an 是公差為 1的等差數(shù)列 .2(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)Sn =a1 +a2+ +an( n 1),求 lim Sn.nf ( x)limf ( x)=1, 試求 limf ( x)6.( )設 f(x)是 x 的三次多項式， 已知 lim2ax3an2 a xn 4a x 4an的值 .(a 為非零常數(shù) ).7.( )已知數(shù)列

8、an, bn 都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公式分別為p、 q,其中 pq,且 p 1,q 1,設 cn=an+bn,Sn 為數(shù)列 cn 的前 n 項和，求 limSn的值 .nSn 18.( )已知數(shù)列 an 是公差為 d 的等差數(shù)列， d 0 且 a1=0,bn=2 an( nN * ),Sn 是Sn*). bn 的前 n 項和， Tn=(nNbn(1)求 Tn 的通項公式；(2)當 d 0 時，求 lim Tn.n參考答案難點磁場an2n111(2)n 1解:當a或a時,limaann1lim222a2nnn(a)aan1當 2a2時, liman2 n 1lim(2 )212nan 1an

9、;nn2)4a(2當a時, lima n2 n 1lim3 2n 11;22nan 162n 12nn當時 an2n 1( 2)n2n 1a2 , 2na n 12n( 2) n 12n2n12n 11(n為奇數(shù) )2 n2n13 2n62n2n13 2n13為偶數(shù))2n2n12n( n2殲滅難點訓練一、 1.解析： anCn2n( n1) ,12(111) ，2annnlim( 111 )lim 2(11 )2na1a2annn答案： A2.解析：ac2ac2ac2a2 c 2,得a 2c22或2c261a答案： C二、 3.解析： lim(xxxx )limxxxxxx11x1lim.2x

10、1111x3x 2答案： 11 ;ax xx x24.解析：原式 = lima2 ( 2n 2n1)n2b 2lim(2a 2b 2 ) n2a2n a2a2n2n1nba2n2n1nb1nn2a2b20a222b1b4 a· b=8 2答案： 82三、 5.解： (1)由 an+11an 是公比為1 的等比數(shù)列，且a1=3,a2=31,1025100 an+1 1an=(a2 1a1)(1)n-1 =(313× 1)(1)n-1=1 ( 1 )n 11,101021005 1024 22n1 an+1=11an+102n 1又由數(shù)列 lg( an+1 1an) 是公差為

11、1 的等差數(shù)列，且首項lg( a2 1a1)22=lg(31 1 × 3 )= 2,10025其通項 lg( an+1 1an)= 2+( n 1)( 1)= (n+1),2 an+1 1an =10 (n+1),即 an+1=1an+10 (n+1)22聯(lián)立解得 an=5(1)n+1 ( 1)n +12210nna5 n( 1 ) k 1n( 1 )k 1 (2)S =k210k12k1k 11212limS5( 2)( 6 )11n2 1119n12106.解：由于 limf ( x)=1，可知， f(2a)=02ax 2 a x同理 f(4a)=0由可知f( x)必含有 (x2

12、a)與 (x4a)的因式，由于f(x)是 x 的三次多項式，故可設f(x)= A(x 2a)(x 4a)(x C),這里 A、C 均為待定的常數(shù)，由 limf ( x)A( x2a)( x4a)( x C)lim A( x 4a)(xC) 1,x1,即 limx2ax 2a2ax2ax2 a得 A( 2a 4a)(2aC) 1,即24a A 2aCA= 1同理，由于 limf(x)=1, 得 A(4a2a)(4a C)=1,即 8a2A 2aCA=1x 4a x4a由得 C=3a,A= 112 (x 2a)(x 4a)(x 3a),2a2 ,因而 f(x)=2alimf ( x)lim1( x

13、2a)( x4a)x 3a x3ax 3 a 2a 2a (1p n )b (1q n )7.解 : Sn111p1qa1(1 p n ) b1 (1 qn )Sn1p1qSn 1a1(1 p n 1) b (1 qn 1 )11p1qa (1q)b (1p)a (1q) p nb (1111q) p n 11a1 (1q)b1 (1p)a1 (1b1 (11a ( a)12a22np)q由數(shù)列 an 、 bn 都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，知p 0,q 0a (1 q)b (1 p)a (1 q) pnb (1 p)q1111當p時Snlimpn1limSn 1b1 (1 p)qnna1 (1 q) b1 (1 p) a1 (1 q) p n 1pnnn 1a1(1 q) b1(1p)a1 (1q)b1 (1q)npnp)(limpa1 (1q)b1 (1p)1p)( q ) n 11na(1 q)b (1p n11p1pp0a1 (1q)0p.q) 10a1 (10p當 p1 時 ,q 1,limpnlim pn 1lim q nlim q n 10nnnnlimSn1Sn 1n8.解： (1)an=(n 1)d,bn