第8章-梁的應(yīng)力及強(qiáng)度

1、1建筑力學(xué)建筑力學(xué) 梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 橫力彎曲橫力彎曲 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件 梁的合理截面形狀及變截面梁梁的合理截面形狀及變截面梁2建筑力學(xué)建筑力學(xué)11.1 11.1 梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力3彎矩圖彎矩圖建筑力學(xué)建筑力學(xué)剪力圖剪力圖LaaFF純彎曲純彎曲橫力彎曲橫力彎曲橫力彎曲橫力彎曲FFFa(+)aaFaF(+)(-)-FaaF4建筑力學(xué)建筑力學(xué)純彎曲：純彎曲：梁彎曲變形時(shí)，橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，即：梁彎曲變形時(shí)，橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，即： 。換句話說(shuō)，純彎曲時(shí)橫截面上有正應(yīng)。換句話說(shuō)，純彎曲時(shí)橫截面上

2、有正應(yīng) 力而無(wú)剪應(yīng)力。力而無(wú)剪應(yīng)力。0, 0sFM0, 0sFM橫力彎曲：橫力彎曲：梁彎曲變形時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力，即：梁彎曲變形時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力，即： 。v 研究方法研究方法采用實(shí)驗(yàn)法研究梁純彎曲時(shí)截面上的正應(yīng)力。采用實(shí)驗(yàn)法研究梁純彎曲時(shí)截面上的正應(yīng)力。5建筑力學(xué)建筑力學(xué)MM實(shí)驗(yàn)前提實(shí)驗(yàn)前提: :( (a) )小變形小變形, ,在彈性變形范圍內(nèi)在彈性變形范圍內(nèi)( (b) )滿足平面彎曲條件滿足平面彎曲條件( (c) )純彎曲純彎曲( (d) )縱向纖維間無(wú)擠壓縱向纖維間無(wú)擠壓6建筑力學(xué)建筑力學(xué)實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察: :現(xiàn)象二：凹邊縮短，凸邊伸長(zhǎng)?，F(xiàn)象二：凹邊縮短，凸邊伸長(zhǎng)?，F(xiàn)

3、象一：橫向線保持為直線；縱向線與橫向線依然垂直?，F(xiàn)象一：橫向線保持為直線；縱向線與橫向線依然垂直。MM 梁在純彎曲時(shí)的梁在純彎曲時(shí)的平面假設(shè)平面假設(shè)：梁的各個(gè)橫截面在變形后：梁的各個(gè)橫截面在變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞仍保持為平面，并仍垂直于變形后的軸線，只是橫截面繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。7建筑力學(xué)建筑力學(xué)中性層中性層中性軸中性軸MM中性層：中性層：桿件彎曲變形時(shí)，其縱向線段既不伸長(zhǎng)又不縮桿件彎曲變形時(shí)，其縱向線段既不伸長(zhǎng)又不縮 短的層面。短的層面。中性軸：中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層與橫截面的交線。8建筑力學(xué)建筑力學(xué)v 幾何方面幾何方

4、面MMxbbd oo oo d bb dy yy ddd)(從圖上可得：從圖上可得：上式表明橫截面上任意一點(diǎn)的縱向線應(yīng)變隨著該點(diǎn)在橫截面上位置的變化。上式表明橫截面上任意一點(diǎn)的縱向線應(yīng)變隨著該點(diǎn)在橫截面上位置的變化。應(yīng)變分布規(guī)律：純彎曲時(shí)縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。應(yīng)變分布規(guī)律：純彎曲時(shí)縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。9建筑力學(xué)建筑力學(xué)v 物理方面物理方面根據(jù)虎克定理得：根據(jù)虎克定理得：yEE 上式表明橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力的變化規(guī)律。對(duì)于指定截面而言，上式表明橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力的變化規(guī)律。對(duì)于指定截面而言，E、為常數(shù)，所以橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性為常數(shù)，所以橫截面上任

5、意一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，且距中性軸同一距離上各點(diǎn)的正應(yīng)力均相等。軸的距離成正比，且距中性軸同一距離上各點(diǎn)的正應(yīng)力均相等。MyzOx10建筑力學(xué)建筑力學(xué)v 靜力方面靜力方面yzxOMzyFNMMz 橫截面的法向內(nèi)力元素橫截面的法向內(nèi)力元素dA構(gòu)成了空間平行力系，這一力構(gòu)成了空間平行力系，這一力系簡(jiǎn)化，得到三個(gè)內(nèi)力分量：系簡(jiǎn)化，得到三個(gè)內(nèi)力分量：0zAANSEdAEydAF0 xF0yM0yzAAyIEdAEyzdAzMMMzMdAyEdAEyydAyMAAAz211建筑力學(xué)建筑力學(xué)zEIM 由上式可得：由上式可得：zEIM1 上式是描述上式是描述彎曲變形的最基本公式彎曲變形的最

6、基本公式，其中，其中EIz為抗彎剛度，為抗彎剛度，抗彎剛度越大，梁變形的曲率越小，表明梁越不易變形。抗彎剛度越大，梁變形的曲率越小，表明梁越不易變形。zIMy 此式為計(jì)算梁在純彎曲變形時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力此式為計(jì)算梁在純彎曲變形時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力公式。其中公式。其中M為橫截面上的彎矩，為橫截面上的彎矩，y為所求點(diǎn)到中性軸的距為所求點(diǎn)到中性軸的距離，離，Iz為整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩。為整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩。正應(yīng)力的符號(hào)根據(jù)彎正應(yīng)力的符號(hào)根據(jù)彎曲變形來(lái)判定：曲變形來(lái)判定：以中性層為界，變形后凸邊的纖維受拉，以中性層為界，變形后凸邊的纖維受拉，為正值，是拉應(yīng)力；凹邊的纖維受壓，為

7、正值，是拉應(yīng)力；凹邊的纖維受壓，為負(fù)值，是壓應(yīng)力。為負(fù)值，是壓應(yīng)力。12建筑力學(xué)建筑力學(xué)從上式表明：最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處。從上式表明：最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處。zIMymaxmax若令若令maxyIWzzzWMmax 此式為計(jì)算橫截面最大正應(yīng)力公式，此式為計(jì)算橫截面最大正應(yīng)力公式，Wz為抗彎截面系數(shù)，為抗彎截面系數(shù)，是截面的幾何性質(zhì)之一，單位為是截面的幾何性質(zhì)之一，單位為m3。矩形截面：矩形截面：圓形截面：圓形截面：62bhWz323dWz環(huán)形截面：環(huán)形截面：)1 (3243DWz13建筑力學(xué)建筑力學(xué)11.2 11.2 橫力彎曲橫力彎曲 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條

8、件梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件純彎曲純彎曲推導(dǎo)得到的結(jié)果可推廣到推導(dǎo)得到的結(jié)果可推廣到橫力彎曲橫力彎曲的梁。的梁。zIMy前提：前提：細(xì)長(zhǎng)梁，即梁的跨高比細(xì)長(zhǎng)梁，即梁的跨高比L/h5時(shí)，其誤差不大。時(shí)，其誤差不大。全梁最大正應(yīng)力為：全梁最大正應(yīng)力為：zIyMmaxmaxmaxzWMmaxmax或或彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：maxmaxzWM可解決三方面問(wèn)題：可解決三方面問(wèn)題：（1）強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核，即已知，即已知 檢驗(yàn)梁是否安全；檢驗(yàn)梁是否安全；, ,maxzWM（2）設(shè)計(jì)截面設(shè)計(jì)截面，即已知，即已知 可由可由 確定截面的尺寸；確定截面的尺寸；, ,maxMmaxMWz（3）求許可載荷求許

9、可載荷，即已知，即已知 可由可由 確定。確定。, ,ZWmaxzWM14例例求圖中簡(jiǎn)支梁跨中截面上求圖中簡(jiǎn)支梁跨中截面上a、b、c三點(diǎn)處的正應(yīng)力。三點(diǎn)處的正應(yīng)力。3mq=4kN/m3012050180abcyz解解：梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示?？缰薪孛嫔系膹澗刈畲?，：梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示?？缰薪孛嫔系膹澗刈畲螅琈max=4.5 kNm 。剪力圖剪力圖6kN6kN彎矩圖彎矩圖4.5 kNm矩形截面的慣性矩為：矩形截面的慣性矩為：4533310832. 51218012012mmmmbhIz15a點(diǎn)處的正應(yīng)力為：點(diǎn)處的正應(yīng)力為：MPaPaIMyzaa94. 610832. 51090105

10、. 4533b點(diǎn)處的正應(yīng)力為：點(diǎn)處的正應(yīng)力為：MPaPaIMyzbb86. 310832. 51050105 . 4533c點(diǎn)處的正應(yīng)力為：點(diǎn)處的正應(yīng)力為：MPaPaIMyzcc94. 610832. 51090105 . 453316建筑力學(xué)建筑力學(xué)11.3 11.3 梁的合理截面形狀及變截面梁梁的合理截面形狀及變截面梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：maxmaxzWM 在外荷載一定的情況下，要降低梁截面上的，就必須增大在外荷載一定的情況下，要降低梁截面上的，就必須增大Wz。因此，在材料用量。因此，在材料用量(截面面積截面面積A)一定的情況下，應(yīng)使其抗一定的情況下，應(yīng)使其抗彎截面系數(shù)

11、彎截面系數(shù)Wz與其面積與其面積A之比盡可能的大。之比盡可能的大。（1 1）矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截）矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。面更合理。1 1、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：、根據(jù)應(yīng)力分布的規(guī)律選擇：v 選擇合理截面選擇合理截面17建筑力學(xué)建筑力學(xué)z（2 2）為降低重量，可在中性軸附近開(kāi)孔。）為降低重量，可在中性軸附近開(kāi)孔。18建筑力學(xué)建筑力學(xué)2 2、根據(jù)材料特性選擇：、根據(jù)材料特性選擇：塑性材料：塑性材料：,宜采用中性軸為對(duì)稱(chēng)軸的截面。宜采用中性軸為對(duì)稱(chēng)軸的截面。脆性材料：脆性材料：,例如例如T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉邊拉邊壓邊壓邊zzI

12、MyIMy21maxmax21yy即使最大拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。即使最大拉、壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。宜采用中性軸為非對(duì)稱(chēng)軸的截面。宜采用中性軸為非對(duì)稱(chēng)軸的截面。19建筑力學(xué)建筑力學(xué)1 1、載荷盡量靠近支座：、載荷盡量靠近支座：LABF0.5L圖M(+)0.25FLLABF0.8L圖M(+)0.16FL（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低（二）、合理安排載荷和支承的位置，以降低 值。值。maxM20建筑力學(xué)建筑力學(xué)2 2、將集中力分解為分力或均布力。、將集中力分解為分力或均布力。LABF0.5L圖M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L圖M0.125FL21建筑力學(xué)建筑力學(xué)22建筑力學(xué)建筑力學(xué)23建筑力學(xué)建筑力學(xué)3 3、合理安排支座位置及增加支座、合理安排支座位置及增加支座減小跨度，減小減小跨度，減小 。maxMABF0.6L0.2L0.2L圖M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL圖M0.125FL(+)24建筑力學(xué)建筑力學(xué)v 變截面梁變截面梁 為了發(fā)揮材料的潛能，節(jié)約材料并減輕梁的自重，可將為了發(fā)揮材料的潛能，節(jié)約材料并減輕梁的自重，可將梁的橫截面設(shè)計(jì)成變