一元三次函數(shù)性質(zhì)總結(jié)(共32頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三次函數(shù)的圖像及性質(zhì)形如的函數(shù)叫做三次函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)。它具有以下性質(zhì)：1、圖像、單調(diào)區(qū)間與極值三次函數(shù)求導(dǎo)以后是二次函數(shù)，它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了三次函數(shù)的極值情況與單調(diào)區(qū)間，下面是三次函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)全部共六種圖像：2、零點(diǎn)個(gè)數(shù)若方程的判別式，則在R上是單調(diào)函數(shù)，無極值，值域?yàn)椋视形ㄒ坏牧泓c(diǎn)。若方程的判別式，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、，它們是函數(shù)的極值點(diǎn)，則：（i）當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)。3、對(duì)稱中心三次函數(shù)一定有對(duì)稱中心。其對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為。（三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象的對(duì)稱中

2、心在其導(dǎo)函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c的圖象對(duì)稱軸上若三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)有極值，那么它的對(duì)稱中心是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)）4、過平面內(nèi)一點(diǎn)能作三次函數(shù)圖像切線的條數(shù) 三次函數(shù)的三大性質(zhì)初探 隨著導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進(jìn)入新教材，函數(shù)的研究范圍也隨之?dāng)U大，用導(dǎo)數(shù)的方法研究三次函數(shù)的性質(zhì)，不僅方便實(shí)用，而且三次函數(shù)的性質(zhì)變得十分明朗，本文給出三次函數(shù)的三大主要性質(zhì).1 單調(diào)性 三次函數(shù),(1) 若，則在上為增函數(shù)；(2) 若，則在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，其中. 證明 , =，(1) 當(dāng) 即時(shí)，在 R上恒成立， 即在為增函數(shù). (2) 當(dāng) 即時(shí)，解方程，得 或 在和上為增函數(shù).在

3、上為減函數(shù).由上易知以下結(jié)論: 三次函數(shù),(1) 若，則在R上無極值；(2) 若，則在R上有兩個(gè)極值；且在處取得極大值，在處取得極小值.2 根的性質(zhì)三次函數(shù)(1) 若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2) 若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3) 若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4) 若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.證明 (1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與X軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)或兩極值同號(hào)，所以或，且.(3)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且.(4)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與X軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以且. 由上易

4、得以下結(jié)論：三次函數(shù)在上恒正的充要條件是(mx2),或且(mx2) .3 對(duì)稱性三次函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，并且在處取得最小值，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱.證1 易知是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.， 當(dāng)時(shí)，取得最小值，顯然圖象關(guān)于對(duì)稱.證2 設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，任取 圖象上點(diǎn)，則A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在圖象上,由上又可得以下結(jié)論：是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱.證明 的圖象關(guān)于對(duì)稱，則 圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 若圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.證明 圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則， ， 圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.掌握上面的研究方法和三次函數(shù)的三大性質(zhì)，對(duì)于解決有關(guān)三次函數(shù)的問題是十分有益的. 【常

5、用結(jié)論】1 （重點(diǎn)）三次函數(shù)的單調(diào)性由a來決定；b、c決定函數(shù)有沒有極值。d確定函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)。2 （重點(diǎn)）函數(shù)f(x)的極值由導(dǎo)函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c的判別式?jīng)Q定：0無極值，單調(diào)區(qū)間為R0既有極大值，又有極小值。有三個(gè)單調(diào)區(qū)間。3（了解）三次函數(shù)圖象的對(duì)稱性：三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是（）（三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象經(jīng)過平移后能得到奇函數(shù)圖象，可以用待定系數(shù)法求得）三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖象的對(duì)稱中心在其導(dǎo)函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c的圖象對(duì)稱軸上若三次

6、函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)有極值，那么它的對(duì)稱中心是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)【典例精析】例題.設(shè)aR,討論關(guān)于x的方程x3+3x2-a=0的相異的實(shí)根的個(gè)數(shù)？【實(shí)戰(zhàn)演練】1.若函數(shù)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。2.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是 .3.已知函數(shù)y=f(x)=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點(diǎn)的一點(diǎn)，且y極小=-4,那么p= ,q= .4已知函數(shù)f(x)=-x2+8x與g(x)=6lnx+m的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值？5.已知f(x)=x3-3x,過點(diǎn)A(1,

7、m)(m-2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？6.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5,xR.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值（2）若關(guān)于x的方程f(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（3）已知當(dāng)x(1,+)時(shí), f(x)k(x-1)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.三次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)例題與練習(xí)答案例1.(14全國大綱卷文21,滿分12分）函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求的取值范圍.解：（），的判別式=36（1-a）.（）當(dāng)a1時(shí)，0，則恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)，故此時(shí)在R上是增函數(shù).（）當(dāng)且，時(shí)，有兩個(gè)根：，若，則, 當(dāng)或時(shí)，故在上是增函數(shù)

8、；當(dāng)時(shí)，故在上是減函數(shù)；若，則當(dāng)或時(shí)，故在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上是增函數(shù)；（）當(dāng) 且時(shí), ,所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間（1，2）是增函數(shù).當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間（1,2）是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且，解得.綜上，的取值范圍是.例2.(14安徽文數(shù) 20)（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，其中。（1）討論在其定義域上的單調(diào)性；（1） 當(dāng)時(shí)，求取得最大值和最小值時(shí)的的值.（）的定義域?yàn)?，令，得所以?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增（）因?yàn)?，所以（）?dāng)時(shí)，由（）知，在0，1上單調(diào)遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值（）當(dāng)時(shí)，由（）知，在0，上單調(diào)遞增，在，1上單調(diào)遞減，因此在處取得最大值又，所以當(dāng)時(shí)，在處取得最小值

9、；當(dāng)時(shí)，在和處同時(shí)取得最小值；當(dāng)時(shí)，在處取得最小值。例4.（14年天津文科19,滿分14分）已知函數(shù)（1） 求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)于任意的，都存在，使得，求的取值范圍解：（）由已知，有令，解得或當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0-0+0-0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值；當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值（）解：由及（）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，集合，則“對(duì)于任意的，都存在，使得”等價(jià)于，顯然，.下面分三種情況討論：（1）當(dāng)，即時(shí)，由可知，而，所以不是的子集。（2）當(dāng)，即時(shí)，有，且此時(shí)在上單調(diào)遞減，故，因而；由，有在上的取值范圍包含，則所以，（3）當(dāng)，即時(shí)，有，且此

10、時(shí)在上單調(diào)遞減，故，所以不是的子集。綜上，的取值范圍是課后練習(xí)、作業(yè)1.設(shè).(1)若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.解：（1）已知，函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即導(dǎo)函數(shù)在上存在函數(shù)值大于零的部分（2） 已知, 在上取到最小值，而的圖像開口向下，且對(duì)軸軸為，則必有一點(diǎn)使得此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，由，所以函數(shù)2已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍4解：（1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，在上遞增當(dāng)，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：3. 設(shè)函數(shù)（）當(dāng)求曲線處的切線斜率（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值

11、；【解析】解：(09天津文21)（本小題滿分12分）（1）w.w.w.k.s當(dāng)所以曲線處的切線斜率為1.（2）解：，令，得到因?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解：由題設(shè)， 所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)槿?，而，不合題意若則對(duì)任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對(duì)任意的，恒成立的充要條件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 綜上，m的取值范圍是4.已知函數(shù)，若在上的最小值記為。（1）求；（2）證明：當(dāng)時(shí)，恒有解：(14浙江文21,15分)（）因?yàn)椋裕ǎ┊?dāng)時(shí)，

12、若，則，故在上是減函數(shù)；若，則，故在上是增函數(shù)；所以（）當(dāng)時(shí)，有，則，故在（-11）上是減函數(shù)，所以綜上，（）證明：令，（）當(dāng)時(shí)，若，得，則在上是增函數(shù)，所以在設(shè)的最大值是，且，所以，故若，得，則在上是減函數(shù)，所以在設(shè)的最大值是令，則知在上是增函數(shù)，所以，即，故（）當(dāng)時(shí)，故，得此時(shí)在（-1，1）上是減函數(shù)，因此在-1，1上的最大值是，故綜上，當(dāng)時(shí)，恒有5. (14廣東文數(shù)21) 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，試討論是否存在，使得解：（1），方程的判別式，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，方程的兩根為當(dāng)時(shí)，此時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)為增函數(shù)；綜上時(shí)，在上為增函數(shù)

13、；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）所以，若存在，使得，必須在上有解，方程的兩根為，因?yàn)?，所以只能是依題意，即所以，即又由，得，故欲使?jié)M足題意的存在，則所以，當(dāng)時(shí)，存在唯一的滿足當(dāng)時(shí)，不存在使得6.已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明:6.（21）解：(09海南寧夏理21)（本小題滿分12分）（）當(dāng)時(shí)，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)當(dāng)從而單調(diào)減少.()由從而因?yàn)樗?將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.設(shè)函數(shù)（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍解：(1) , 因?yàn)? 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值為 (2) 因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ; 所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時(shí),取極小值 ; 故當(dāng) 或