數(shù)學(xué)建模-淋雨模型.

1、淋雨量模型一、問(wèn)題概述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m（頸部以下） ，寬 b=0.5m ，厚 c=0.2m ，設(shè)跑步的距離d=1000m ，跑步的最大速度v m=5m/s ，雨速 u=4m/s ，降雨量 =2cm/h ，及跑步速度為v ，按以下步驟進(jìn)行討論17 ：（ 1）、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量 ;（ 2）、雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為 ，如圖 1. 建立總淋雨量與速度 v 及參數(shù) a， b， c， d， u，

2、， 之間的關(guān)系，問(wèn)速度 v多大，總淋雨里最少。計(jì)算 =0， =30 °的總淋雨量 .（ 3）、雨從背面吹來(lái)，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為 ，如圖 2. 建立總淋雨量與速度 v 及參數(shù) a， b， c， d， u， ， 之間的關(guān)系，問(wèn)速度 v多大，總淋雨量最小。計(jì)算 =30°的總淋雨量 .（說(shuō)明：題目中所涉及的圖形為網(wǎng)上提供）（ 4）、以總淋雨量為縱軸，速度 v 為橫軸，對(duì)（ 3）作圖（考慮 的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義 .（ 5）、若 雨線方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，試建立模型二、 問(wèn)題分析淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間

3、單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積。可得：淋雨量（ V ）=降雨量（ ）×人體淋雨面積（ S）×淋浴時(shí)間（時(shí)間（ t） =跑步距離（ d）÷人跑步速度（ v）t）由 得：淋雨量（ V ）=× S× d/v三、 模型假設(shè)（1）、將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高 a=1.5m（頸部以下），寬 b=0.5m，厚 c=0.2m. 設(shè)跑步距離 d=1000m，跑步最大速度 vm=5m/s，雨速 u=4m/s，降雨量 =2cm/h，記跑步速度為 v；（參考）（2）、假設(shè)降雨量到一定時(shí)間時(shí)，應(yīng)為定值；（3）、此人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步；（4）、問(wèn)題

4、中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因?yàn)樗梢灾庇^的表示降雨量的多少；四、 模型求解：（一）、模型建立及求解：設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積：S2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時(shí)間為：t=d/v總降雨量V×S×d/v2cm/h=2×10-2/3600 (m/s)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得：S2.2 （）V0.00244446 (cm 3)=2.44446 (L)（二）、模型建立及求解：若雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi) ，且與人體的夾角為 .，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量 . （如圖 1）設(shè)雨從迎面

5、吹來(lái)時(shí)與人體夾角為 . ，且 0° < <90 °， 建立 a，b，c，d，u， ，之間的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為 u sin 且方向與 v 相反，故人相對(duì)于雨的水平速度為：u sinv則前部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：（ u sinv）/ u又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：a b ，時(shí)間為：d/v于是前部淋雨量V 2 為 ：V 2a bu sinv / ud / v即：V 2a b du s i nv / u v（2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與 v 無(wú)關(guān)，所以頂部單位時(shí)間單位面積淋雨量為cos，頂

6、部面積為 b c，淋雨時(shí)間為d / v，于是頂部淋雨量為：V 1b cd cos/ v由可算得總淋雨量:VV 1V 2b cd cos/ va b du sinv / u v代入數(shù)據(jù)求得：Vcos7.5sin1.875v1800 v由 V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（ V ）與人跑步的速度（ v）以及雨線與人的夾角（ ）兩者有關(guān)。對(duì)函數(shù) V （v）求導(dǎo)，得：cos7.5 sinV1800 v 2顯然 ： V <0，所以 V 為 v 的減函數(shù)， V 隨 v 增大而減小。因此，速度 v=vm=5m/s ，總淋雨量最小。（）當(dāng) =0，代入數(shù)據(jù)，解得：V 0.0011527778（m3） 1.153

7、（L ）（）當(dāng) =30°，代入數(shù)據(jù)，解得：V 0.0014025(m3)1.403（L ）（三）、模型建立及求解：若雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi) ，且與人體的夾角為 則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量 .（如圖 2）設(shè)雨從背部吹來(lái)時(shí)與人體夾角為， 且 0°90° , 建立 a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來(lái)，而對(duì)于人頂部的淋雨量V 1 ，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：V 1b ccosd / vb cd cos /vu sinv ，vu sin（2）、后部淋雨量：人相對(duì)于雨的

8、水平速度為：，vu sinv u sinusinv / u ，vu sin從而可得，人背部單位時(shí)間單位面積淋雨量為：u sin/ u ，vu sinvV 3a b dusinv / u ，vu sin可得人背部淋雨量為：a b dvu sin/ u ，vu sinV 3而總淋雨量： V=V 1 V 3從而有： Vb cd cos/ va b d(usinv) / u，vu sinVb cd cos/ va b d( vu sin) / u，vu sin化簡(jiǎn)式得：Vb dc cosa sin/ va / u，vu sinVb dc cosa sin/ va / u，vu sinV0.2cos1.

9、5sin/ v0.375，vu sin/ 360代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得：，V0.2cos1.5sin/ v0.375vu sin/ 360由 V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V ）與人跑步的速度 （v）以及雨線與人的夾角 （ ）兩者有關(guān)。（）、 當(dāng) vu sin 時(shí)，且 0°90°，可得： c cosa sin>0對(duì)式求導(dǎo)，易知V <0；所以，總淋雨量（ V ）隨著速度（ v）的增加而減少，因此， v u sin總淋雨量最小。（）、當(dāng) v >u sin 時(shí)，且 0° 90°，對(duì)式求導(dǎo)，1.5sin0.2cos解得： V2（180 v）( ) 、

10、當(dāng) 1.5sin 0.2 cos <0 時(shí)，即 ：tan<2/15, 即 V<0 ；從而推出，總淋雨量（ V ）隨著速度（ v）的增加而減少，所以，速度 v=vm ，總淋雨量最小。（）、當(dāng) 1.5sin 0.2 cos>0 時(shí)，即 ：tan>2/15, 即 V>0 ；從而推出，總淋雨量（ V ）隨著速度（ v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（ v）取最小，即 v=u sin 總淋雨量最小。當(dāng) 30°， tan>2/15 ，由模型分析的，當(dāng) v=u sin =4×1/2=2（ m/s）總淋雨量最小，且V=0.0002405（m3） =0.2405(L)五、 結(jié)果分析：（1）在該模型中考慮到雨的方向問(wèn)題，這個(gè)模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來(lái)跟實(shí)際的生活就差不多很相似了 。 由這三個(gè)模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。（ 2）若雨迎面吹來(lái)時(shí)，跑得越快越好（ 3）若雨從背面吹來(lái)時(shí)，分為兩種情況：當(dāng) tan >c/a 時(shí)，跑步速度 v=u sin時(shí) V 最??；當(dāng) tan <c/a 時(shí)，跑得越快越好。但是該模型只是考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內(nèi)，若是雨線