泛函分析答案(完整版)

1、2.試證距離空間X中的疔列匚收斂J屮wXoU 的任一子列收斂F x*.設(shè)£ ->廠（->8）.心是心的任子列.依條件 Q.VD故 p（Aw,A*）>0,所以心。一>工反乙 設(shè)山的任一子列收斂于如果斗不收斂于L. 則必"在氐>0,便對任總的白然數(shù)M都"在/> > 2V,便 0心廠）2殆 于是可選取心的 個子列、使pg氏顯然兒不收斂fx*.此與假設(shè)矛看故心敗斂于1#3.設(shè)斗八：、w是距離空間X中的任意以個點，證明:(1) I0VZ)0(”Z)IWQ(VJ) (ii)lp(xmp(”B9lMp(x)+ p(zu)(i) 由p(x

2、=)S卩(仏外+ 0”：)得pix.z)-p(y.z) p( X. y)(1)再 rhp(p(y.z)-p(x.z) plx.y) (2)結(jié)介(lh(2)RP得s I px,：) - p() :) K p( x.y)(ii) 由p(x.z)i p(x.y)+ p(y.z) p(x.y)+ p(y.w) + p(w%z)ip(x.z)-p( y.憎)S p( “ y) + QCH (3),再由 p(y9)p(y9x) p(x9z)+p(z9w)p(y.w)-p(x.z) p(x.y) +(4)結(jié)令(3人即行:lp(mp(八hOIS 0 v)+ p(二仲)、4. p（X） = （X-y）2是定義在

3、實數(shù)集合上的 距離嗎？ Q（x,y） = x-y）2不是定義在實數(shù)集合上的距離. 因為p（,）不能對所有的仏y>二滿足p（ X）S p（ X Z）+p（ Z J） 比如取.v = 0, y = 2, z = W,4>2,上式就不成立.5. 設(shè)、兒是即離空間X中的基本列，證明S心，兒）收斂依條件：p（"""）T0 （njn ->8）P（兒 *）->（）（兒加 T«>）再由aa.幾）p（w.）i（心”）+"（幾J即知aJJCauchy數(shù)列，故收斂.亠#7設(shè)X是距離空何.4 c X, r>0,試證，G 、 X p(

4、x.A)<£n集，F(xiàn) ww Xpx.A)£是閉集.(i) S x. G9 M亀0斗4“令5 = 0-殆則當 yeB(xM 9 p(y.A)p(y.x0)p(xA) <$£-&)+£ vc 所以6j£)uG,故GMJF集(U)設(shè)斗wF,則存在XBe F,沖-> 斗，對毎個”，取A.',滿足pg,和)V£ + g,則 P(X0, *) M0 斗,Aj + pl V,時)V 卩(斗心 + £ + 呂 今”即得Q(.,.4)M 4 故.v0 F.所 PI FR1 閉痕.#&設(shè)p(x.y)&a

5、mp;»i離空何X上的距離，則 也定義rx±元素間的距離小5l + p(x,j>由定義戢然彳nI) "I外K d(x)=Uox = y ii) "(*>= fi(y.x) iii)設(shè)心 y9 ：e X9 則 0uy)M0w) + p(二外 p(x)=£=i!Ml!1 + P(兒外l + poj)1 + 0兒二)+ 0：)l + p(x.：) + p(z,y) 1 + 0”.二)+ 0：)P(x十 P(f)l + p( x.z) l + p(z,y)所以0 .J也定義了 X上的距離.2#/(x) =p(M)pix.A) ptx.Bi1

6、0設(shè)X是離空間，A. B是X中閉集，H 趴不相交, 試iiE必有定義在全空間X上的連續(xù)泛換f(xi滿足：OM/y (Vxe X)且a J=> /(x) =(K xw B n /(x) = 1.岡為A. BBl不相交的閉兔故對任K ae X pix.AK p(x.B)中至少右-個不等于0,作幣數(shù) f(x)顯檳満足：叱/ W Va e XH. xe .4 => /(x) = 0,B /(x)= 1.此外，當 xa - xe XIH,0x,4bplxa.B) px.Bi Lp(x.A) + p(x.B)>0, 故冇所以八是X上連續(xù)泛兩.11 設(shè)4是賦范綾件空間£的有隈了集

7、.證明：L(A)UA)設(shè)4 = x“'. x.u£不妨設(shè)心線性無關(guān) 則KA) £的/>維爐空何，設(shè)xeT(A)9則3jJg Z")使x -> X,從而”是Z(zl)中的有界序列.但L(A) 圧用部緊的.故”在.化厶如及“J的一個了列兒b 使幾 T 八 /->*>但兒 T X fTi 故 * =UP X L(A由此町知L(A)UA).A#319設(shè)E是實線性空何,»,斗是E中線性無關(guān)元, V£,證明存在"個實數(shù)人'，人使得 卜-(人以+人、訓=in卜如+人斗)|A- A記耳二！斗，,X則Eq鳧E的維

8、子空間，令 inf卜一(人斗+人x訓=0工£。)=乩 取a; £0A*-人(f=14 )使憐-斗* 則斗是E.中有界序列， 因瓦魁有限維的，故.訂中有收斂子列*“ tw &設(shè) “*=£人 則.f*i卜(石K + + 人，.v)|= |.v-.v*| = lim|x-.v; | = rf.V4#20設(shè)X是和離空間試證：.4 uX是稀疏集(即7沒有 內(nèi)點)的充分必耍條件XAX 必耍性，設(shè)awX,因二沒令內(nèi)點.故b£>0, B(x.£)C(XA) “ 所以"XH即岡壯X是任慰的.所以XAX.充分性.設(shè)JtfiJVxe X, 3

9、A.eXZ xR -> x, 所以Vf >0, 3(x,r>n(XJ»-即工不浪二的內(nèi)點，所以了沒有內(nèi)點./是稀疏集#22.試證C-04 (ml)按"Ml的距離的完備化空間是 C(0.1.我們已經(jīng)知道G0.1是完備的跆離空間.FL每 連續(xù)兩數(shù) 都吋以用多項式序列-致遍近，所以，零項式的全體P在C(04中稍密.UP P-C(0Jl 但 PcC"04l 故 PcCw04cC0JJ從而C0.1的完備化空間足 C(OJ.25川次連續(xù)貳敷的全體在拖散 lvll-E,v，<n, 卜所痕的貳拖線性空河Ca.b Banach空仙 且Ca.b中元 素列依范數(shù)

10、收斂等價于此貳數(shù)列及其冬階導數(shù) O 一致收斂K 設(shè)xJcCa.bt .VC-|a,bl 則孔 TV卜V卜刀max IY；W)嚴IT o 5 1»wOo max I0j0J. .iNof")徵收斂于x<o(r)j = o丄加即Co.b沖依范數(shù)收斂等價于崗數(shù)列及其乞階導數(shù)-致收斂.V252設(shè)»足Cla.b中的基本列，由上所證,對毎個/ 仃=0丄“小xj是C|s6中的基本列.而Ca.b Ji Banach空間，故對毎個d, “卩 都-致收斂丁某連 續(xù)換數(shù)” 再根據(jù)數(shù)學分析中的 已知爭實：i個連續(xù)叮 微的議數(shù)列，如果此噴 數(shù)列及梵導數(shù)都 致收 斂，那么 求導運算與極

11、限運算Z間町以交換順序.因此,我們町 得廿 yj (i0丄阿b故再利用1°中所證 的結(jié)論，即知x”在C-la.fr沖依范數(shù)收斂故Cua.b 足完備的，即Lla.S足Banach空間.26.試證有界數(shù)列的全體依 總數(shù) 卜| = supl$l x =(即所成Z賦范線性空何mMBanach空何.設(shè)kujw足一幫本列.記兒=(g："h由卜廠心卜波卩V-f ITU町知対每個U：楚收斂i序列設(shè)gUTi岡E|Gup|“Msup卜訃/ 而離本列兒足一有界數(shù)列，令x«(r I則X m. 任給£>0»取M使當n.m N時，卜一.卜£ 從而十氐別2&

12、quot;時.Me i-1.2, >令 m->-,即得當”2N 時， lg：TJS£ / = tX 所以.iNN 時.I卜_*-丄因為£>0是任意的，故即加是完備的， ° 故足Banach空間."A6#29.試證完備距離空間的閉了空間也足完備的.設(shè)X是完備即離空他X是X的閉子空何設(shè)£u X.是一基 本列.M X完務，故HveX使斗TX但X.是X的閉子樂. 所以“心BPX中任一基本乳在X。中祁竹極限，所以X足 耀備的.30試證距離空間的完備了空間足閉的.設(shè)X.是X的完縮子空間,.V X.則存在兒W X使 心T斗心吒見X中收斂列，

13、從而是X中基本列， II xJcXt,故兒也是X.中基本列，X.是完錦的， 所以斗,在X。中收斂，即存在X* X.使£TN,“由極限的唯性得.V* = .V,即A 所以X=X X.是閉的32.設(shè)E是克備的業(yè)離空何.Ah <n = 1.2. )&£中一*M«的 開集試證.在疋中稱念I(lǐng) id A = fA 設(shè).re E» £（K 妝斗w4* 使 pg.w）v$因£是開集，故存在y.>a使 恥")u£ 此處可収并礙 又 4在 X中l(wèi)fe v2 G)v*加 MJGIK此處町Ife 0< y, &l

14、t;y/那么用承斗). 依此法可求出一列閉球$ 恥皿33.設(shè)X X,是沖離空間 X是緊的.又設(shè)TtXX.是 連續(xù)映射.證明偵域NX)足X,中緊集設(shè)77X) S12 b對毎個兒取xwe X使7X; 兒， WAji緊趾離空間，故斗J有收斂子列»“設(shè)btx X因丁連續(xù)，故T(xaA)TxeT(Xi即幾中有收斂 子列，且其極BIJH于GXb故T(X)足X,中緊集.34.試證相對緊集的閉包是緊集.設(shè)X為距離空何,McX是相對緊集，因?qū)澣蜗?#163;>Q M足而的e-網(wǎng)，故寸也是相對緊的，因寸足閉集，ft35.試還緊距離空間上的連續(xù)泛函是 致連續(xù)的 設(shè)/足緊建離空間X上的連續(xù)泛負，若/不

15、是-致連續(xù) 的，則必存在£o>G使對任總自然數(shù)w,都存在xK.yn X9 0*兒)V丄，而I /(xR)-/(幾)12“ 乂 X是緊的，故n%.中存在收斂子列.卜設(shè)r t X x9再由pgy.)S P(X.X ) + p( r 兒)T o> 所以兒，T Xf 故得矛盾.所以/-致連續(xù)36設(shè)X是覧幽離空何."，是完備的曲離空間.證 明.¥->-¥.的連飲I映射的全體CXtXJ衣即離p(、 y) sup 0 v(r), v(n)卜足亢備的.<x因為X足覧距離空間ttX4 Vv.yeC(X-X>0 -V.r) sup 0 v(f)

16、j旳 A 義,事實上必H rw X ttsuppi.Y(/kr(n)=p(.v(r<h v(re»> X設(shè)yj<C(XtX»i) 0 v)NO ft/H v.y)=O> ,v- y 及y ) p(y9x)Jt8L 然的此外，當圧y9 zwC(XtXj時” xj) sup 0 .v(H”)y supS( .y z)令 pu")(f”)1mXM5Up0W(f).Z"” + SUpQ<Z")(”)p<.YZ) + 0Zy) XfX故定XT GX-> X J上元責間的灰A 設(shè)£,是CqXtXJ中的草本

17、列.因為對毎個比X.0 .vJ/K -v.)S "t 0故對毎個兒和“是匕屮的基A列，岡云完備，故它牧斂. 定義x(f)=lifn .Y(“ V/ X(1)則的映射7*V£>o» 取人；使當 n.mN 時斜特別時.Vr< X 有 0EJf).v."HS £, 令加Tf注jS到(DXWW,當n"時，Q.vm)"V/ X <2)<2>式表明工衣X上一致枚效于 Wb然厲由h.vd'B * 并注盤到毎個匚的連續(xù)性，即知X是XtX,樋續(xù)映鮎 所以V C(X T XJ R v. TV.所以C(X T

18、 ¥J是完備的.29故看是緊的.38.試Ca.b屮除教集合M為相對累集的尢雯條件是：対毎個【a兀存衣if = K（“vy,使 l.v（r）lir（r）（Vv-V）: O M中諸袖數(shù)等度連續(xù).必要性戛然，卜證在危設(shè)條件2 M中諸臥數(shù)是一致有界的 由M中議散的等度連續(xù)性可取§>0使專& /« a.b”f"時lx（r）-.v（f）kl V.vc M（1）取自然散n, ft <&隸后記j.0.1.2”nn設(shè) supl x（f, >lx J/|» K max K-.那么.當MS上時.設(shè)“IO JH V.V Mlx（/）l

19、l.v（r）+1+JT 故M中諸臥數(shù)是一致有界的根« Ca.b中集合列緊性 的判別法即知"足列覧集.9#40.設(shè)Ar(.v,r )是|0Jx|0J上的連續(xù)除數(shù)，H ff*w)rg < i.試證.對任意的f(.v) C0l方稈 丄*")八外命-/(" g(" 有難一的連絞解記af陽呦屮厶力< !因為當/(.v> r(OJJ時，f； |f； *(創(chuàng)/( rfv 4；(j; i*(.v,r>iwvjy<y 忖卜 =0忙()|奇(1)故JA(*)/(JMrwUOU V/r|0Jt于定町定義算子 r. r(ojj->n

20、o.ij2/ (.v) - J * ir (,v f r > / (>9 rfr - (.v) V/ e Z'(M于足可定義算了 r. iwi-*rio47/1 v) = £'i(.v, y)/(y>rfr-f( v> Pf e £2|0J.仿(D 可斜，V/lf /； c P0J)II"，":卜 *( V. » »/.( v)血-J* *( V. y 人(y><6-1S a|7；幾 I wosa<t ar. f【(mtZ(m是圧縮映像，它在 r(oj)中 気唯一不動點 /%

21、W f (X)-£JK.v.y)/ (r)« -g(x) 因為 r rw, p(.V< >)/( I連續(xù)除敢 故 /e(A)也是連續(xù)的.即/(.v)是方f? ()的唯一連續(xù)解#41.設(shè)”是Banach空間X中的仃界閉凸集.T：.V-» JA 滿足：片-乃“卜y|（V*wMb證明.對任危f >0, 必有* w 3/,使 |Ivt xj| M £設(shè)卜卜凰（VwMb其中區(qū)V2,任取航定義 乙->M如 F： T.vlv + d-lTv V-Y M 其中 x. c Af» 則 bv. y Mi |Ia.v - TyM （1 2 &

22、gt;|Jv - y| 所以T/K縮映射則存衣L = 便 即 v = Av4+（l-X）7：v*f 由此可得卜 W|M 牛.M|M2JU只須取叩得卜一7，卜&Jt42.設(shè)A/MMM?離空何，八Mt M出足:p(Tx.Ty< p(x.y) Vw.yw M y試證TM中有唯一的不動點(即 亦戀唯一的x» 出足L = W令 f(x) = pix.Txk V.V -V,則由 l/(.v)-/(y) y p(x,/)+p(TJy)M 2p< v.y) 町知/於M上的連續(xù)泛除，因M離空何/農(nóng)M上達到AM、值m,下證加=Q 設(shè) /(x*) = m,即 /X.vMv*) = m,

23、若刖式 M /(7V) p( 7V. T(7V) < 0 v#, 7V) m 此與/(P)的2小ft為加矛炳.所以m-0, W .v*-Zv. 若另有Vc.V, .V#.v%亦禍足.v «Zv則0 L. £) pl 7X 憑 Tx9)< 0 L. x')此矛聊說明満足7VL的L足唯一的.#ft43. tf. Rn中定義：對化1試證p（.）是/r上的距離從而R按0.）成 片離空間 設(shè)X(化，血bmb ：(盒U W0 p(y)2U 且 Q(K)Ooxy;ii) p(x.y)= p(y.x);iii) p(xy) = maw If -7 I5niaxd-<

24、;J + l<,-l7.|)gomax I / - A I + max I - n, Iif。2"歹 p(x二)+ py)所以.p(<)Ra上的業(yè)離.44設(shè)X是町分的距離空何，（G k J為X的 個開覆蓋, 證明從G中可取出可列個（或冇 限個）集組成X的個 A.設(shè).vJfiX的一個可數(shù)稠經(jīng)記9?為自然數(shù).3Gf 使川x丄）uG.bm則91是一可數(shù)如 當5刑）w%時.任取f G.使B（x.丄）uGp 并記此 G,為 G（n.mffl則G5zw）l5M）w9n至多兄一可數(shù)架FiiE G（n,/w）l（/i.m） 3Sj& X10#6舉例說明全有界集不定是列緊的.lfe

25、XiO.1在通霑距寓（即/X.voOJv-yl） E, X是一距離 空間（O.l）cXtt然足全冇界集但它不是X中的列覧集因 為岸列.v,-?-l（n-U, ）c（«4）在（M沖沒右收斂了列 ” + 2 2注： 般地此 如果x是個不完備的距離空r«j,若x中全 有界集含有一個沒有極限的星本列，則此全有界集酬不能 是列緊臬.47.設(shè)巧、巧是甲離空間X中的購個緊了嫗則存在 xt« Ff y e Fy便得0兒兒）=0耳.兀）依衛(wèi)迅2）的定義，可取斗uFp兒u耳便得 limp（幾幾）0巴.巧），因為 戸是緊魚 故存在 X.的一個"列匚.使得它在戸中收斂，即 im

26、xaxFi9同理（兒也存在一個在 尸2中收斂 子列兒,b設(shè)幾,T升e F,則0 斗兒）=Jini pt 卩,幾 J= 0 FjF?）#47證明D(R) (pl)是可分空間. 対毎個白然數(shù)小令L (x(/)e Lr(R)i tt>n 時.¥(/) 0 有理系數(shù)參項式的全體記為R轅后記 P. =x(/>xHR|(r)lx(r)e P s = h則上足町數(shù)1L n幾在Q中利密.因為顯然有|巳在“用屮秫密，故0幾在"(血R«l1中稠密.而|比是一可列集.故是町分空間.J8 證明 P(pil»中子集4列食的充分必要條件是i)存在 «»

27、;£>a 使對一切 v =() J 皆有，!u> Vr>a 3AM巧 使對任jft .v-(>.4,當”2ATH, 必要性：i)是誠然的.卜證ii)設(shè)CO,取.4的個有限的l(£r-M： V, A>設(shè)號y)(jh心取白然歡人：使(啓d上)11#則對v-n，取©使£w屮)右A).«A'"|/從而£|彳1戸<&半2入時更有21尸<£?=>'rm充分性：V£>ft取自然數(shù)M使£|纟|4" 冷憶龐£ (Dl

28、aw )令 汕£，dOQ)1(即4則人乂 A的一個g-網(wǎng)，乂出顯然是列緊集，故.4有列緊的£-網(wǎng).又F足完備的.故.4足列紫集.55設(shè)£是賦泛線性空間.4足£中有界集證明：A 足全有界隼的充分必耍條件足：對任意的£>0,都存在 £的有B!維子空間M,便/中毎點與的跆離都小于&必耍性，設(shè)r>a按假定，.4足全有界的，故存在a 的個有限的£-網(wǎng)：X"O rf ，斗張成的£ 的子空間記為Me則M,的維數(shù)Mm因為対Vxezl, 都冇耳使卜-xjve故p(x.Mg)<e.#充分性.設(shè)対任惡

29、的£>0,都“在£的了空f«J使Vxe J- p(x.Mg<£.設(shè)卜卜& (Vvezlj,則ye.W |卜2 2£>$時.有|卜、|工|A卜卜卜jf + g (Vxe A).由 p(x.Mt)<e nf知：存在 y y2K + £9 使 |.v-j|<£,令 Ej<M|y|M2A + C 則 B II Mt 中 的有界集.但M,是有限維的故B是列緊集，因此B 有一個有限的<-« 兒b BM 兒是/的 一個2£-網(wǎng)，這證明了 V£>a /有一

30、個有限的2£-m, 故4是全有界的.578i X為完備的距離空間.兒XtX在開球5(.vt,r)(r>0> 內(nèi)適 ft pi .Ax.Ay) < epi v. v)(x # y k 其中 0 <&vh Fl/H.vAvJ -創(chuàng)八證明/!在B(xr)中冇唯一不動點.設(shè) xe則 P(4ax.)S P(Av4x.)+04XaX)S 和U.)+01 &)尸 S【8 + 0(1 創(chuàng)尸 r-(l-)2r所以4(£(兒)u 頁x."Bb 其中 rB «把，看成 爪x.“)T瓦yj的映射，則/!定用編映射， 故它在藥x込)中育唯一

31、的不動點xe,再由 4(x.f)u 示*.“b 故 廠是 AB(xr)中的喰一不動點.12#58.證明町分距離空間的子空間是町分的.設(shè)X勒i離空間 X是X的了空何.設(shè)X是可分的.取X的 一個可數(shù)稠奐.v|t.v2, = JcX 對毎一對門然數(shù)（fl.nik記方（.J丄）令3B_ 16. DX,砒則至多是一可列処ffi對毎個 "0乩仟取.v e n 則"“是一可數(shù)集或有限集.設(shè)“X" f>a取加満足Ov丄v$再取E.使 m 4于是喬)flX.w 且0X£.)M0.JV)+ 0JK") < <<9n nt m因為£

32、>0是任fit的，故.J.在X.中稠能(j.uxupx0分的49. Ca.b中，集/wCU 丄I當時.fit - 0必為閉集.而集/C|a3l/llM, fiOka （a>0） 為開集的充分必耍條件 是ula.b為閉集.（1）設(shè)/；點fees耐I當時./（o=o）. ffeCa.b 則對每 /（r）-lim/；（O=a 所以 /eb9 /（n-o,故此集為閉隼13#(2)記.V -/ Ca.blte 5IIH, /(/)!<«.設(shè)-V 足開集.如果 B aa.b不足閉集.1U tBB W4l r. c B9 /. -> t.9 慮隔敷 fi當 / abb I

33、r - r0 k a因為 B,故為 Y BIH.因此 / -V, Vr>(h令 /r- / + p W侗 f91 M (因為當 lr.-rol<min y.a）lH» /f（rB）- /（/.） +y a-1rw -r. I>y> a#而rRc 5） 故/不是M的內(nèi)點，所以 M不足開集，此與 M是開集矛陌丙此 5 u a.b為閉集50.證明Ma.bl不可分.51.證明加與C（M）的-個子空間等距線性同構(gòu).#如果M“可分一可數(shù)梢集兒卜干是MIMuJb（兒上bI3待別/<ia|aiiGUy.4> <A,=U /JCb兒' vi*«

34、;=iL，因S是不可救集介故必冇”不可散集合于是存A, e r.y） （a,這樣一來."人人）“人幾）+旳.人）占V此與（D矛圧所以Ma.b &不可分的.55 »對毎-aela.by 令 4（/）-r»'：o a<tb則（幾law S上l）uMg科& 不可Ik集合依Mpr.bfl、的距離 顯然右 0人人）】Va. 0 a.（1» 記A,=【亍，右b c, =-J77T = J<y+-J7ZF> 對每個(Je m.作MdGOJ)如卜： 當x(/)= ff(l-l2Mr-3l) (1)貝Ih足（0.1）:的連續(xù)曲數(shù)，

35、K A（2.） = 0 （Z = l,2 I, 然后作對應c（oj）ioi b： ）«x（r>其中班"按（1）式定義.則J：加tG<）"足線性映射，由定義（1）町知， 丿保持加與CO1沖的范數(shù)，故川等距的.因為/足線杵映射.故刃"足C（OJ）的線性子空間, 故沏嶺C（ 0.1心J子空間川亦等距同構(gòu).1452. ftX- (i-14, )1-列 Banach 空町 令X .v g）I兀 w X八刃1 屯 IU（p>l）ml加法運算與數(shù)桑運算按 通篦數(shù)列的加法崎數(shù)乗定義,53. &Va.bma.b （a<b）上右連續(xù)冇界變羞袖

36、數(shù) 的全體 在刃“沖定義范數(shù)|.v|-l.v（4i）l+r（x）試證Banach 空何.15令卜卜（0試 l£XM Banach 空何.X足賦范線性空間叮仿23題證明。Va.b足線性空間及|p Va.b的范數(shù)（即|側(cè)足杞數(shù)的三條公理）都叢驗證，卜證丄建完備的. 設(shè)Ju?S足菇木列.Vfwls幾由設(shè)（X"）是X中菇本列.idx"=（x；R，b則從而對每個f, 寸）收斂，設(shè)xZ-x.eX 令x = （x>仿23題可證"X.HVtal.v,(0-.vw(Z)W.v,(a)-.vw(o)l + Lv>(/)-xl.(r)-.vll(a>+.vl

37、i,(aH+ (x.耳)卜.九|仃)可知.對毎一人丄比-收敘.令 .v（n*lim ¥.（/）/ a.b由可知匚醱收斂于xit）.#先證gf)右連續(xù).設(shè)gws.bb任給£>a取自然數(shù) Al.v,(n-.v(f )k|r VfZa上固應心N W .vjr>M右連續(xù)的，故存在tf>a使/*t.bIvjfl-.vj/jklrJ于是.fc tu.b /-r. < WWHx(r*)-xll(r,)l+lx.(r,)-x.(/e)l+lxll(re)-x(/e)kr所以W)衣f右連續(xù).又f.wlo.b是任意的故x(t) & 右連續(xù)朋數(shù).-現(xiàn)亦設(shè)£

38、;>a仟収一組分點 a f. v 人 < b取自然® N9使當w.mi.VlH,卜.7.卜£,于是當時,I .V. la)- * (0) I +I A.(rj - W. “ J-AJC.,) + V. (£)1Ml) w.(a) I + “(w. w.) ! w. - w. I匕 r上式空瑞令m->-,即咼當nN時lEJa）ya）l+£lY.（fJ.億）W-）IM £9Al岡為分點耳是仟怠的.故符，mN時 即卜v|Mg （當刃2斗時）故v, t V Va.bl所以Vla.b是完備的.#54設(shè)X為可分的距離空何，證明X至多具令連

39、續(xù)勢.設(shè)xjMX的一個可數(shù)辮集（或有限穩(wěn)集）»的f列的 全體記為G則足有限集時.Q為有限集.xj為 町列集時，C具有連續(xù)勢，Vae X9 xexw>任取兒中 收斂于y的一個子列孔“然頂令x與此了列對應.顯然 兒y不同時，所對應的產(chǎn)列也不I孔 于XxJ與C的 一個f集對等，因此.Xx.至多具有連續(xù)勢.乂 兒至 多町列.故X至多貝有連續(xù)勢.55.設(shè)£迅賦泛線性空何，A&E中有界臬.證明，A 是全有界集的充分必變條件是，對任點的£>a都存A £的有限維f空何使4中毎點與J打的Ifli離都小于Q必耍性，設(shè)£>0,按假定，4圧全

40、有界的，故“在A 的一個有限的£一網(wǎng)：-由X耳張成的£的子空間記為則M,的維數(shù)1,因為對Vie A9 都有曲使卜-xf|< g9故p（ xMt）< e.16充分恂設(shè)對任總的£>Q都“在£的屮空何£,便 V.ve A. p(x.Mg)<g.設(shè) |.v|SK (V.ve 4b 則F ye |卜|22凰+ £皿 右 |卜-劉2卩卜卜|2& + £ (Vxh 由 pix.MXC n；)«：存在 ye Me |y|$ 21T + £,使 卜令 B=“eM|y|M2& + C

41、則 B是 M.中 的冇界聚，但M.足冇R!維的，故足列緊集，岡此B 有一個有限的£-網(wǎng)兒.顯然» ；是/的- 個2g-網(wǎng)，這證明了 Vf>0,4有一個有限的2£-網(wǎng). 故4足全冇界的56在距離空間中，iff明一個點隼為緊集的充分必 雯條件是該點集的任何開覆蓋都存在著右限子覆蓋.必要性.設(shè)X是即離空何.AuX. A是緊集，GJQwF 思4的開覆先證#iy>a便對郁有某G) 便斜(仏”)uG 如果不存在這樣的TJXU則對每個白然數(shù)心必有XH A 使對任意的6都不能有心g.17#處.因為4提累集七4 51.2 b故*.右一收斂子列 JTL.4對此 廠有使x&

42、#187;Ga*- 1*1為G廠是開彙.故何f>a « 3(L.£)uG廠.取區(qū)使時p<w Dv£ fl <.此時必月 3(w.>c B(x*.r>c G. *這j對任戀的不施冇Bg.buG/Jfi.說明所賀求的，7>0n是存A的.現(xiàn)問定”>。取4的一個有隈"網(wǎng)“兒血U4 對每個F(Fh上b 取q使B(xM)uG腫 岡為兒小是4的廠網(wǎng)故 5(才叩1 i1/覆蓋a9從而q I$ 1用覆蓋兒 必耍性得證.充分性如果.4不是緊隼.必存在-個序列Xjc J, »的任了列都不在4中收斂，即對V.ve-4,必有 r

43、>a使得Bix.r)中眾多只含有£中的有R!個點. 于是，對每個.J必存在rR>0,使得(£.".)恰含 4i (xpx2<- 中的一個點柑 且 X A9 xe (xpx2r 時有r(x)>0.使(x"(x)不含有*") 審的點. 這樣一來，開隼族5(x,r(x»l a e A.x #- 1,2* U方(x.5=U2覆蓋£ 顯然，此開集族中任 意冇限個開聚都不能覆蓋4由此町知充分件慮立#57.設(shè)X為完備的便離空何，J» XtX在開球乃()">() 內(nèi)適 n pi Av. Jr

44、) < epi v. y) (v # y K 其中 0 <&vb fl (ve.4vj “(lm £9A在B(v)審冇唯一不動點.設(shè) X 5(斗八 則 04vx.)S p(ztvAr.) + 0ztr.：vJ所以.其中 rB r-(l-drn 把Z<看成歹g")T爪x叩的映射.則/!是JK編映射. 故它在Eyj中利唯一的不動點x*,再由 *(萬(斗.八)1反(兒<>1故x拿是A在5(y.")中的唯一 不動點.58證明可分距離空間的子 空間是町分的.設(shè)X是麵離空間.X是X的了空何.設(shè)X是可分的.取X的 一個可go/uX,對毎一對

45、自然數(shù)(fl.ffiK記萬皿令 耳.13, nx. *砒 則至務是一可列如Ifl對毎個方，"方，彳壬取匚"皂則jj是一可數(shù)集或有限集設(shè)%£>a取加滿足o<l<l 再取匚使 M 4p(,于是B.jBqj丄)r)X.*0 flnim0Z.)S“)SUJ W芻"m ni m 因為£>0是任盤的.故jJ在疋中稠氛 “ jJu£L UP 乂足可分的#1.設(shè)7；、“ ： r4： rj"別由下式定義： 人：(&,®)t£0)： r :(XpXj-»(0,x2)： T、:(x|9

46、 x2) >(x2,xl)；7 :(心宀)t "(宀)試證它們是有界線件外f9求出它們的 并說明它們的幾何惡義由定義 rP r? 7> 7；顯然是線性算子.由P?&宀卜骷訓卜卜1卜JX+x：*兀宀)| 可知7；是有界的.flF.ISb類似地有.|匹| “prjmaxdrU由甌心|卜卩冋0)|1；|7；卜|%0>|斜曲|“ 類似地|心»1,所以Ki-ii jrj-1由|冋0)|=心川)卜心卜卜0)|得：國卜八； 再由K。宀料碼(0宀“|心卜|(0宀)|得啊" ttt |T4|=maxlr 1,1此外由卩3(“心)|=|卜2宀)|=|(心宀)

47、|得|Tj|=l.r,表示在x,軸上的投形：t2表示在x2軸上的投形: 八表示關(guān)于I, hi毅限對角線約對稱映射： 耳表示這樣一個變換：過¥面上任一點尸， 作與心軸的¥行線交 心軸FQ,把P點映射 QP上一點P*.使游"1#2設(shè)x. y是賦范線性空間，r ： x -> y是線性算子, 若卩有界，則丁的寥子空間N=xwXirr=U 是X的閉子空間 設(shè)乞wM xn ->x*,由卩有界得：=0 所以x,N,即N是閉集，N泉然是X的線性子空間, 故N EX的閉f空間.3.若X是有限維的賦范線性穹 間，則線性算子T： X-X必足有界的設(shè)X是"維的，人，

48、I金X的一個基，取5f>0,使對任懇x=QaJi都令：£匕1"牛| (1)|«1wj |= £«；幾卜£|叩11幾叱(£|0；1)吧呀|叫|M財吧刎叫卜|x|(Vx X)所以卩是有界的.叵#4.設(shè) D CUOJItCW.U Dx(r)= x*(r)在 卜良=哦警1“")1r(Z) C(O,1卜 IL =k(O|c+|x,(/)|cx(/)C*|OJ所定義的范數(shù)下，D是有界線性算子嗎？試 證之.Q是有界線性算子,因為Vx(/) C'lOJ S叫亠片叫巾叫十卜，|廠卜(叫 故 D 有界，-fl.|D|“.

49、魚5. S supl«wk-,在廣中定文找性算子niyTx 9瓷)Vx-(je Z1證明7是有界線性算子 fl.卩卜sup 1/1.21id a-sup laH h MVxll阿卜|池)卜£比|"£|和鈿iJallal所以na9當a0時.顯然有卩卜©當a>0時. 對任意給定的Ovwva,必自:U «.»満足la, t>a-£, 取心=； ：)，則卜|卜1，倚且t.tp卜卩忡卜in故卩1“£，E因為£>0足任;&的，故 卩|藝弘 從而IfTha-sup laj. |5#當

50、"（Qe卩時,£切川唁和S匾叵向6.證明邀中的T彳"4界逆的允分必契條件是iMI/bU設(shè)01出ia若卩冇冇界逆7叫則Vx -（）e /'廠 IIH待別設(shè)厶衣第I個坐標為h其余型標為0的廠中的元.則77, （<） <r,0）故卜"卜”,卜卩,卜1«IL（叩卜廠卜0也卜I卜如故 0.卜 fr-,| 所以 M iaa fe|r-,f，>o反之.設(shè) >（K W sup i 玄卸 a” flGJ令“（右町Vx-（）e/*蕓則S是冇界ttn w子顯然 TSST1故T冇仃界逆S <7.汝p>i»*+扌i,

51、無師g）適介條件< 作算子T如下 j-7x,切必£兀勾伙12）試證T 2到廠的有界線性HT. I故Tx-y-（J7j/F,即T SiP到廠的算子.7顯然是 線性的，R11J（D可知: 故7足冇界線性并子.2#8.設(shè)E是Banach,試證B（E）中町逆算了的金體足B（E）中開集.設(shè)加E）中町逆算子的全體九G.設(shè)AeG.則B = 4-（A-Z?） = AU-A-A-BH十A - /? | < A -*時，|/1-*（4-«）|4-*|.|4-/?|<1 故有有界逆.乂 A有有界逆.從而 也冇冇界逆.即冇冇界逆，這說明，當 |4-«|<|4-1|

52、'，IH,就有 eG 故 A&G 的內(nèi)點， WAeGEfi的，所以G足開集9.設(shè)A、B0(£K A%B(Eb 證明: 若AB = BA, AlB = BAl因為A = B4,所以AlABABA9 即R = A lBA9由此又得：BA X = A lBAA1 =AB#10.舉例說明共鳴定理中空間&完備的條件不能公掉 右中只有有限個坐標#0b在/：中定義范數(shù) H-Kj|-E|因為x（C）J：時只有有限個坐標#a i*i故卜|有定義.顯然I：是賦范線性空間.考也?：上的線性泛禎用列/*=<）“： 人（*）=”§ WVx/> （fjx）是有界數(shù)死

53、（因為對固定的只有 冇限個<#a故當充分人時，從而/Jx）-n=（D , 但顯然有|/.| = n,故|川不是有界的.這說明肖£.不完備時共啊定理不能成立.令11.設(shè)Eft Banach空叭pg是E上泛臥，滯足i) pix)i 0：ii) a(W, p(or)flp(xhiii) p(xyH p(x)+p(yhiv) 肖 x.tx 時，p(x)lini p(x.)*證明，必存M > «,使對一切x« E9都有p")SM|x|L首先證期：如果存在一球B(人八 使p(x)在B上有界，則必<TAf >U 使 /；(x)S.W|x| (V

54、x<£). 實上.K>0.使Vxe B irfT p(x)<K9 于是十 x E卜|1時 xt+yxc IF<#卒實上，使VxwB皆右p")vK,于足，肖 xc f»|x|- lBj. x0 + yxe B9 從而 p(x. + £xYK. 由此uj知 p(*)=Zp(：X)= =p(X.+；X-X.)r 2 r2SIpg + gxl+pUlS'lA + px."令M -yK + P(-Xjl 即得 P(X)WW Vx|r|- h從而冇 p(x)S.W (Vx E).由就血證明町知，如果満足條件的A/不存在，則

55、p(X)在任意開球(閉球)上都無界.仆妝一球B嚴Bx.b則必存在x,cp(xt)>l9曲條件 ivk 必r, >U xc時，px)>l9 取巧 <扌，則B,類似地必有 兀金B(yǎng)Q©.?/*便pix>2,再由 iv)知有 r, ><)» 使xe ff(xrr3)時.有 p(x)>Z 可%ra <y» 則R-ff(x2,r3)c 依此方法，必可作出一列球 B滿足刃 X.F.J 0<r. < jr._t» B“ z> B.“ 且 Vx c令 p(x)>/i,現(xiàn)在因E丸備，故令屮毛介艮，

56、從而P(x)>n9這趁不町能的,1><i3#illSFI12. ft (7)為一敷列.證明若対 一切(<)/f 級敷收效，則疋廠(p 沽訐考也"上的皴性泛函f.g寸幾 Vx-(<()/S,11/3遷1亦(£|呵£対) I，F(xiàn)M刃訂卜1 心/可知4是廠匕的有界線性泛函.aUK(Elrr再Fi<1#!lai所以卅)1“1其中f (咖I必1礪L“ig/i”. I”. IQb結(jié)合(D , Q) nJ知II 口=(自"町'#13.設(shè)E為線性空間，它在范數(shù)|卜|,與H：卜均為Banach 空何，如果“亦常數(shù)A/.XK便得|x|LmM卜L (VxeE), 則必存在5/2>a使得|x|L：SM卜L (Vxe E)記x=(E,|m r=(E，H2> 把E上的恒同HW /： lx = x