可降階的二階微分方程(5)課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy 四、四、可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 解法：解法：,d)(1Cxxfy .dd)(21CxCxxxfy 特點(diǎn)特點(diǎn) 右端僅含有自變量右端僅含有自變量 x , 只要連續(xù)積分只要連續(xù)積分 二次即得通解二次即得通解 . .cos的的通通解解求求方方程程xxeyx 例例 1解解.cos的的通通解解求求方方程程xxeyx 例例 1 dxx

2、xeyxcos1sinCxexexx dxCxexeyxx)sin(121cos2CxCxexexx 逐次積分的解法可用于解高階微分方程逐次積分的解法可用于解高階微分方程)()(xfyn ,d)(1)1(Cxxfyn ,dd)(1)2(Cxxxfyn 解法解法: 只要連續(xù)積分只要連續(xù)積分 n 次即得通解次即得通解 .2的的通通解解求求方方程程例例xxey 二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：解法：解法：.y不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù), )(xPy 令令.Py 則則代入原方程代入原方程, 化為關(guān)于變量化為關(guān)于變量 x ,P 的一階微分方程的一階微分方程).)(,(xP

3、xfP ),(xP求得求得,)(兩兩端端取取不不定定積積分分對對xPy 可得通解可得通解.P(x)的的一一階方程階方程.0的通解的通解求方程求方程 yyx解解),(xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得原方程通解為得原方程通解為)(xPy 則則）（0 P,1xCy 即即,21221CxCy 例例 1,02CCxy 即即.12的的通通解解求求方方程程 yxyx解解),(xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程,12 xPPx)(ln11CxxP 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得原方程通解為得原方程通解為)(xPy 則則,l

4、nln21212CxCxy 例例2,112xPxP 即即)(ln11Cxxy 即即.1)0(,0)0(0)1(2的的解解求求方方程程 yyyxyx解解),(xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程,0)1(2 xPPx211xCP 解線性方程解線性方程, 得得)(xPy 則則例例 4,012 PxxP即即211xCy 即即,1)0( y由由,11 C得得211xy 兩端積分兩端積分,得原方程解為得原方程解為,arcsin2Cxy ,0)0( y由由,02 C得得故所求原方程的解為故所求原方程的解為:.arcsin xy 三、 型的微分方程),(yyfy )(yPy 設(shè)設(shè),ddddddyPPxyyPy

5、則則的的一一階階方方程程，代代入入原原方方程程得得到到新新函函數(shù)數(shù))(yP求得其解為求得其解為原方程通解為原方程通解為,),(d21CxCyy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：.x右右端端不不顯顯含含自自變變量量解法：解法：),()(dd1CyyPxy .02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,ddyPPy 則則),(yPy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 0dd2 PyPPy, 0)dd( PyPyP即即，由由0dd PyPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解為原方程通解為,dd1yCxy 例例 1.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解2,12y兩端同乘兩端同乘, 0)(dd22 yyxy

6、yyy,1yCy 故故從而通解為從而通解為.12xCeCy 例例 1解解3原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?yyyy 兩邊積分兩邊積分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解為原方程通解為.12xCeCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy例例 2解解,ddyPPy 則則),(yPy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 0dd2 PyPPy, 0)dd( PyPyP即即，由由0dd PyPy,1CyP 可得可得故原方程通解為故原方程通解為,dd1Cxyy ,dd1xCyy 即即.212CxCy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解2將方程寫成將方程寫成, 0)(dd yyx,1Cy

7、y 故有故有,dd1xCyy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 例例 2.,12)1 , 0(, )(232求求該該曲曲線線處處的的切切線線為為其其在在已已知知一一曲曲線線滿滿足足方方程程例例 xyyyyy解解 2)0(,0)0()(22yyyyyy即即求求初初值值問問題題),(yPy 設(shè)設(shè),ddyPPy 則則代入原方程得代入原方程得 yPyP)1(2dd yyPPd1dCyP 2ln)1ln(得得代代入入將將,2,1 Py,0 C,12 yPy,d1d2xyy ,arctanCxy 可可得得故曲線方程為故曲線方程為,d1d2 xyy得得代代入入將將,1,0 yx,4 C. )4t

8、an( xy四、四、可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例可降階二階微分方程的應(yīng)用舉例課本課本 Page 277279 例例4、例例5五、小結(jié)五、小結(jié)解法解法 通過代換將二階微分方程化成一階微通過代換將二階微分方程化成一階微分方程來求解分方程來求解.一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過點(diǎn)的經(jīng)過點(diǎn))1,0(M且在此點(diǎn)與直線且在此點(diǎn)與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . .練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、32123CxCxCex