指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

1、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一、計(jì)算：例1.化簡(jiǎn)(1) (2)(3)解：(1)x的指數(shù)是所以原式=1(2)x的指數(shù)是=0所以原式=1(3)原式=例2.若，求解：因?yàn)?所以f(x)+f(1-x)=1=例3.已知m,n為正整數(shù)，a0,a1,且求m,n解：左邊= 原式為loga(m+n)=logamn得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1因?yàn)閙,nN，所以從而m=n=2二、比較大小例1.試比較與的大小解：令121995=a0則=所以例2.已知函數(shù)f(x)=logax (a0,a1,xR+)若x1,x2R+,試比較與的大小解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)x1,x2R+, (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)

2、，取“=”號(hào))，當(dāng)a1時(shí)，有，即 (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，取“=”號(hào))當(dāng)a1時(shí)，有，即 (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，取“=”號(hào))例3.已知y1=，y2=，當(dāng)x為何值時(shí)(1)y1=y2 (2)y1y2 (3)y1y2的充要條件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得x3(3)y1y2的充要條件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得2x3三、證明例1.對(duì)于自然數(shù)a,b,c (abc)和實(shí)數(shù)x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2)求證：a+b=c證明：由(1)得：把(2)代入得：abc=70=257,abc由于a,b,c均不會(huì)等于1，故a=2,b=5,c=7從而a+b=c例2.已知A=

3、6lgp+lgq，其中p,q為素?cái)?shù)，且滿足q-p=29，求證：3A4證明：由于p,q為素?cái)?shù)，其差q-p=29為奇數(shù)，p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(2631)=lg19841000198410000故3A0,a1)且 (q為銳角)，求證：1a1又f(15)=sinq+cosq=1故a15 綜合得：1a15例4.已知0a1,x2+y=0，求證：證：因?yàn)?a0,ay0由平均值不等式故四、圖象和性質(zhì)例1.設(shè)a、b分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及l(fā)og2a+2b解：在直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y=2x和y=log2x的圖象，再作直線y=x和y= -x+3，

4、由于y=2x和y=log2x互為反函數(shù)，故它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，方程log2x+x-3=0的根a就是直線y= -x+3與對(duì)數(shù)曲線y=log2x的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，方程2x+x-3=0的根b就是直線y= -x+3與指數(shù)曲線y=2x的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)設(shè)y= -x+3與y=x的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為(1.5,1.5)，所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3例6.設(shè)f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的較小者，求f(x)的最大值解：易知f(x)的定義域?yàn)?0,+)因?yàn)閥1=3+在(0,+)上是減函數(shù)，y2=log2x在(0,+)上是增函數(shù)，而當(dāng)y

5、1=y2，即3+=log2x時(shí)，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的圖象可知故當(dāng)x=4時(shí)，得f(x)的最大值是2另解：f(x)3+=3- (1) f(x)=log2x (2)(1)2+(2)消去log2x，得3f(x)6，f(x)2又f(4)=2,故f(x)的最大值為2例7.求函數(shù)的最小值解：由1-3x0得，x0且a1,求證：方程ax+a-x=2a的根不在區(qū)間-1,1內(nèi)解：設(shè)t=ax,則原方程化為：t2-2at+1=0 (1)由D=4a2-40得a1,即a1令f(t)= t2-2at+1f(a)=a2-2a2+1=1-a20所以f(t)的圖象與橫軸有的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在之外，故方程t2-2

6、at+1=0在之外有兩個(gè)實(shí)根，原方程有兩實(shí)根且不在區(qū)間-1,1內(nèi)例3.解方程：lg2x-lgx-2=0 (其中x表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù))解：由x的定義知，xx，故原方程可變?yōu)椴坏仁剑簂g2x-lgx-20即-1lgx2當(dāng)-1lgx0時(shí)，lgx= -1，于是原方程為lg2x=1 當(dāng)0lgx1時(shí)，lgx=0，原方程為lg2x=2，均不符合lgx=0當(dāng)1lgx0且a1，設(shè)u=x2+ax+5，原不等式可化為(1)當(dāng)0a1時(shí)，不等式化為 (2)由f(4)=1知，(2)等價(jià)于0u4，即0x2+ax+54從上式可知，只有當(dāng)x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2時(shí)，不等式0x2+ax+54有唯一解x= -1綜上所述，當(dāng)a=2時(shí)原不等式有且只有一個(gè)解例5.已知a0且a1，