數(shù)學(xué)解題方法與技巧數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)

1、數(shù)學(xué)解題方法技巧一、換元法 “換元”的思想和方法，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，靈活運(yùn)用換元法解題，有助于數(shù)量關(guān)系明朗化，變繁為簡(jiǎn)，化難為易，給出簡(jiǎn)便、巧妙的解答。 在解題過(guò)程中，把題中某一式子如f(x)，作為新的變量y或者把題中某一變量如x，用新變量t的式子如g(t)替換，即通過(guò)令f(x)=y或x=g(t)進(jìn)行變量代換，得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于求解的新解題方法，通常稱為換元法或變量代換法。 用換元法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，選擇能以簡(jiǎn)馭繁，化難為易的代換f(x)=y或x=g(t)。就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對(duì)數(shù)式代換，三角式代換，反三角式代換，復(fù)

2、變量代換等，宜在解題實(shí)踐中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，掌握有關(guān)的技巧。 例如，用于求解代數(shù)問(wèn)題的三角代換，在具體設(shè)計(jì)時(shí)，宜遵循以下原則：（1）全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關(guān)的公式、性質(zhì)；（2）力求減少變量的個(gè)數(shù)，使問(wèn)題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化；（3）便于借助已知三角公式，建立變量間的內(nèi)在聯(lián)系。只有全面考慮以上原則，才能謀取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q。 換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，在多項(xiàng)式的因式分解，代數(shù)式的化簡(jiǎn)計(jì)算，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達(dá)式、定義域、值域或最值的推求，以及解析幾何中的坐標(biāo)替換，普通方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化等問(wèn)題中，都有著廣泛的應(yīng)用。例1 分

3、解因式：(x2-x-3)(x2-x-5)-3例2 在實(shí)數(shù)集上解方程：例3 設(shè)sinx+siny=1，求cosx+cosy的取值范圍.例4 設(shè)x,yR，且，求函數(shù)f(x,y)=x2+2xy+y2+x+2y的最小值和最大值。二、消元法 對(duì)于含有多個(gè)變數(shù)的問(wèn)題，有時(shí)可以利用題設(shè)條件和某些已知恒等式（代數(shù)恒等式或三角恒等式），通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，消去一部分變?shù)，使問(wèn)題得以解決，這種解題方法，通常稱為消元法，又稱消去法。 消元法是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數(shù)方程化成普通方程等問(wèn)題中，也有著重要的應(yīng)用。 用消元法解題，具有較強(qiáng)的技巧性，常常需要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活選擇合適的消元方法。例1 解方程

4、組： x+1=y x-y-z=6 例2 解方程組： y-z-x=0 z-x-y= -12例3、設(shè)a,b,c均為不等于1的正數(shù)，若 ax=by=cz 求證： abc=1三、待定系數(shù)法 按照一定規(guī)律，先寫出問(wèn)題的解的形式（一般是指一個(gè)算式、表達(dá)式或方程），其中含有若干尚待確定的未知系數(shù)的值，從而得到問(wèn)題的解。這種解題方法，通常稱為待定系數(shù)法；其中尚待確定的未知系數(shù)，稱為待定系數(shù)。 確定待定系數(shù)的值，有兩種常用方法：比較系數(shù)法和特殊值法。一、 比較系數(shù)法 比較系數(shù)法，是指通過(guò)比較恒等式兩邊多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式（通常是多元方程組），由此求得待定系數(shù)的值。 比較系數(shù)法的理論根

5、據(jù)，是多項(xiàng)式的恒等定理：兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充分必要條件是對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，即a0xn+a1xn-1+ +anb0xn+b1xn-1+ +bn 的充分必要條件是 a0=b0, a1=b1, an=bn 。 二、 特殊值法 特殊值法，是指通過(guò)取字母的一些特定數(shù)據(jù)值代入恒等式，由左右兩邊數(shù)值相等得到關(guān)于待定系數(shù)的若干關(guān)系式，由此求得待定系數(shù)的值。 特殊值法的理論根據(jù)，是表達(dá)式恒等的定義：兩個(gè)表達(dá)式恒等，是指用字母容許值集內(nèi)的任意值代替表達(dá)式中的字母，恒等式左右兩邊的值總是相等的。 待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，主要用于處理涉及多項(xiàng)式恒等變形問(wèn)題，如分解因式、證明恒等式、解方程、將分式表示為部分分式、確

6、定函數(shù)的解析式和圓錐曲線的方程等。例1 設(shè)二次函數(shù)的圖象通過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（7，0），C（3，-8），求此二次函數(shù)的解析式。例2 以x-1的冪表示多項(xiàng)式 x3-x2+2x+2。例3 分解因式：6x2+xy-2y2+x+10y-12.四、判別式法 實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的判別式=b2-4ac具有以下性質(zhì)： 0，當(dāng)且僅當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 0，當(dāng)且僅當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 0，當(dāng)且僅當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。對(duì)于二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a0)它的判別式=b2-4ac具有以下性質(zhì)： 0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)； 0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)

7、公共點(diǎn)； 0，當(dāng)且僅當(dāng)拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。 利用判別式是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要方法，在探求某些實(shí)變數(shù)之間的關(guān)系，研究方程的根和函數(shù)的性質(zhì)，證明不等式，以及研究圓錐曲線與直線的關(guān)系等方面，都有著廣泛的應(yīng)用。 在具體運(yùn)用判別式時(shí)，中的系數(shù)都可以是含有參數(shù)的代數(shù)式。例1 已知關(guān)于x的二次方程x2+px+q=0有兩正根求證：對(duì)于一切實(shí)數(shù)r0，方程qx2+(p-2rq)x+1-p=0也必有兩正根。例2、 x,y,zR, aR+，且 x+y+z=a, x2+y2+z2=a2 試確定x,y,z的取值范圍。例3、 已知a,x為實(shí)數(shù)，|a|<2,求函數(shù) y=f(x)=的最大值與最小值。從總體上說(shuō)，解答數(shù)學(xué)

8、題，即需要富有普適性的策略作宏觀指導(dǎo)，也需要各種具體的方法和技巧進(jìn)行微觀處理，只有把策略、方法、技巧和諧地結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)造性地加以運(yùn)用，才能成功地解決面臨的問(wèn)題，獲取良好的效果。五、 分析法與綜合法 分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過(guò)程中具有十分重要的作用。在數(shù)學(xué)中，又把分析看作從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的另一種思維方法。通常把前者稱為分析法，后者稱為綜合法。具體的說(shuō)，分析法是從題目的等證結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā)，一步一步的探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件；綜合法則是從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理

9、，最后達(dá)到待證的結(jié)論或需求問(wèn)題。例1：設(shè)a,bR+，且ab，求證：a3+b3a2b+ab2例2：已知A1,A2,An為凸多邊形A1A2An的內(nèi)角，且lgsinA1+lgsinA2+lgsinAn=0 ， 試確定凸多邊形的形狀。例3：設(shè)，(0,)，x的一元二次方程f(x)=x2+4ax+3a+1=0的兩個(gè)根為tg,tg，求a的取值范圍。六、 數(shù)學(xué)模型法例（哥尼斯堡七橋問(wèn)題）18世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡有條普萊格河，這條河有兩個(gè)支流，在城中心匯合后流入波羅的海。市內(nèi)辦有七座各具特色的大橋，連接島區(qū)和兩岸。每到傍晚或節(jié)假日，許多居民來(lái)這里散步，觀賞美麗的風(fēng)光。年長(zhǎng)日久，有人提出這樣的問(wèn)題：能否從某地出發(fā)

10、，經(jīng)過(guò)每一座橋一次且僅一次，然后返回出發(fā)地？數(shù)學(xué)模型法，是指把所考察的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究，使實(shí)際問(wèn)題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法。 利用數(shù)學(xué)模型法解答實(shí)際問(wèn)題（包括數(shù)學(xué)應(yīng)用題），一般要做好三方面的工作：（1） 建模。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。從總體上說(shuō)，建模的基本手段，是數(shù)學(xué)抽象方法。建模的具體過(guò)程，大體包括以下幾個(gè)步驟： 1o考察實(shí)際問(wèn)題的基本情形。分析問(wèn)題所及的量的關(guān)系，弄清哪些是常量，哪些是變量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其對(duì)象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，確定問(wèn)題所及的具體系統(tǒng)。 2o分析系統(tǒng)的矛盾關(guān)系。從實(shí)際問(wèn)題的特定關(guān)系和具體要求

11、出發(fā)，根據(jù)有關(guān)學(xué)科理論，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的關(guān)系。 3o進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。對(duì)事物對(duì)象及諸對(duì)象間的關(guān)系進(jìn)行抽象，并用有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、符號(hào)和表達(dá)式去刻畫事物對(duì)象及其關(guān)系。如果現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不夠用，可以根據(jù)實(shí)際情況，建立新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法去表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型。（2）推理、演算。在所得到的數(shù)學(xué)模型上，進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果。（3） 評(píng)價(jià)、解釋。對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)和解釋，返回到原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題中去，形成最終的解答。例1：把一根直徑為的圓木，加工成橫截面為矩形的柱子，問(wèn)何鋸法可使廢棄的木料最少？例2：有一隧道處于交通擁擠、事故易發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定

12、，隧道內(nèi)的車距d正比于車速v（千米/時(shí)）的平方與車身長(zhǎng)（米）的積，且車距不得小于半個(gè)車身長(zhǎng)。假定車身長(zhǎng)為l（米），當(dāng)車速為60（千米/時(shí)）時(shí)，車距為1.44個(gè)車身長(zhǎng)，在交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定臬的車速成，可使隧道的車流量最大？例3、（1998年保送生綜合試題）漁場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖為m噸。為保證魚(yú)群生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量。已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量y噸和實(shí)際養(yǎng)殖量x噸與空閑的乘積成正比，比例系數(shù)為K（K>0）（1） 寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域。（2） 求魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值。例4：某公司有資金100萬(wàn)元，董事會(huì)決定全部投資到甲、乙兩工廠，投資甲

13、廠可獲得的利潤(rùn)為投資額的20%；投資乙廠可獲得的利潤(rùn)由公式M=(M為利潤(rùn)額，x為投資額，單位均為萬(wàn)元)確定，問(wèn)公司如何分配100萬(wàn)元資金投資這兩個(gè)工廠，使獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？作業(yè)：1、 設(shè)x的二次方程x2-2x+lg(2a2-a)=0有一正根和一負(fù)根，求a的范圍。2、（1994年高考題）在測(cè)量某物理的過(guò)程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測(cè)量分別得到a1,a2, an共n 個(gè)數(shù)據(jù)。我們規(guī)定所測(cè)物理量的“最佳近似值”a是這樣一個(gè)量：與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1 ,a2 , an，推出的a的值。3、 塑料廠銷售科計(jì)劃出售一種塑料鞋，經(jīng)營(yíng)人員不是僅僅根據(jù)估計(jì)

14、的生產(chǎn)成本來(lái)確定塑料鞋的銷售價(jià)格，而是通過(guò)對(duì)經(jīng)營(yíng)塑料鞋的零售商進(jìn)行調(diào)查，看看在不同的價(jià)格下會(huì)進(jìn)多少貨。通過(guò)一番調(diào)查，確定的需求關(guān)系是p=-750x+15000（p為零售商進(jìn)貨的總數(shù)量，x為每雙鞋的出廠價(jià)）， 并求得工廠生產(chǎn)塑料鞋固定成本是7000元，估計(jì)生產(chǎn)每雙塑料鞋的材料和勞動(dòng)生產(chǎn)費(fèi)用為4元，為了獲得最大利潤(rùn)，工廠應(yīng)把每雙鞋的出廠價(jià)定為多少元？4、建筑一個(gè)容積為2400米，深為6米的長(zhǎng)方體蓄水池，池壁每平方米的造價(jià)為a元，池底每平方米粉的造價(jià)為2a元，則如何建造才能使總造價(jià)為最小。4、 某一信托公司，考慮投資1600萬(wàn)元建造一座涉外賓館。經(jīng)預(yù)測(cè)，該賓館建成后，每年年底可獲利600萬(wàn)元，假設(shè)銀

15、行每年復(fù)利計(jì)息，利率為10%。若需要在三年內(nèi)收回全部投資，每年至少應(yīng)該收益多少萬(wàn)元（結(jié)果保留一位小數(shù)）？七、試驗(yàn)法 解答數(shù)學(xué)題，需要多方面的信息。數(shù)學(xué)中的各種試驗(yàn)，常常能給人以有益的信息，為分析問(wèn)題和解決問(wèn)題提供必要的依據(jù)。 用試驗(yàn)法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須從問(wèn)題的實(shí)際情形出發(fā)，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，恰當(dāng)選擇試驗(yàn)的對(duì)象和范圍；在制定試驗(yàn)方案時(shí)，要全面考慮試驗(yàn)的各種可能情形，不能有所遺漏；在實(shí)施試驗(yàn)方案時(shí)，要講究試驗(yàn)技巧，充分利用各次試驗(yàn)所提供的信息，以縮小試驗(yàn)范圍，減少試驗(yàn)次數(shù)，盡快找出原題的解答。 任何試驗(yàn)都和觀察相聯(lián)系。觀察依賴于試驗(yàn)，試驗(yàn)離不開(kāi)觀察。因此，要用好試驗(yàn)法，必須勤于觀察，善于觀察，

16、有目的、有計(jì)劃、有條理地進(jìn)行觀察。 例1：在正整數(shù)集N+上解方程：xy+3x-5y=3 例2、已知方程x2+(m+1)x+2m-1=0的兩個(gè)根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值。例3、求所有的實(shí)數(shù)k，使得方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整數(shù)。八、分類法 分類法是數(shù)學(xué)中的一種基本方法，對(duì)于提高解題能力，發(fā)展思維的縝密性，具有十分重要的意義。 不少數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題過(guò)程中，常常需要借助邏輯中的分類規(guī)則，把題設(shè)條件所確定的集合，分成若干個(gè)便于討論的非空真子集，然后在各個(gè)非空真子集內(nèi)進(jìn)行求解，直到獲得完滿的結(jié)果。這種把邏輯分類思想移植到數(shù)學(xué)中來(lái)，用以指導(dǎo)解題的方法，通常稱為分類或分域法。 用分類法解

17、題，大體包含以下幾個(gè)步驟： 第一步：根據(jù)題設(shè)條件，明確分類的對(duì)象，確定需要分類的集合A； 第二步：尋求恰當(dāng)?shù)姆诸惛鶕?jù)，按照分類的規(guī)則，把集合A分為若干個(gè)便于求解的非空真子集A1，A2，An; 第三步：在子集A1，A2，An內(nèi)逐類討論； 第四步：綜合子集內(nèi)的解答，歸納結(jié)論。以上四個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，尋求分類的根據(jù)，是其中的一項(xiàng)關(guān)鍵性的工作。從總體上說(shuō)，分類的主要依據(jù)有：分類敘述的定義、定理、公式、法則，具有分類討論位置關(guān)系的幾何圖形，題目中含有某些特殊的或隱含的分類討論條件等。在實(shí)際解題時(shí)，僅憑這些還不夠，還需要有較強(qiáng)的分類意識(shí)，需要思維的靈活性和縝密性，特別要善于發(fā)掘題中隱含的分類條件。 例1

18、：求方程的實(shí)數(shù)解，其中a為實(shí)參數(shù)。例2：ABC中，ADBC于點(diǎn)D，M是BC的中點(diǎn)，且B=2C。求證：DM=AB例3：解方程：2|x+2|-|2x+1-1|=2x+1+1九、數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)基本觀點(diǎn)，對(duì)于溝通代數(shù)、三角與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，具有重要的指導(dǎo)意義。理解并掌握數(shù)形結(jié)合法，有助于增強(qiáng)人們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 數(shù)和形這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石。數(shù)學(xué)就是圍繞這兩個(gè)概念發(fā)展起來(lái)的。在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化。 數(shù)形結(jié)合的基本思想，是在研究問(wèn)題的過(guò)程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)考

19、察，斟酌問(wèn)題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，化難為易，獲得簡(jiǎn)便易行的成功方案。 中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合法包含兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是運(yùn)用代數(shù)、三角知識(shí)，通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論，去處理幾何圖形問(wèn)題；二是運(yùn)用幾何知識(shí)，通過(guò)對(duì)圖形性質(zhì)的研究，去解決數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題。就具體方法而論，前者常用的方法有解析法、三角法、復(fù)數(shù)法、向量法等；后者常用的方法主要是圖解法。例：方程sinx=解的個(gè)數(shù)為 A、1 B、2 C、3 D、4 例：已知實(shí)數(shù)x,y滿足3x+4y-1=0，求的最小值。例：設(shè)xR，求的最小值。例：對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x，記-

20、x,x2,x+2三者中的最大者為F(x)，求F(x)及F(x)的最小值。例：如果方程|x2-4x+3|=px有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求p的取值范圍十、反證法與同一法 反證法和同一法是間接證明的兩種方法，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。（一）反證法是一種重要的證明方法。這里主要研究反證法的邏輯原理、解題步驟和適用范圍。 反證法的解題步驟： 第一步：反設(shè)。假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)原結(jié)論的反面為真。 第二步：歸謬。由反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果。這里所說(shuō)的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理、公式矛盾，與已知條件矛盾，與臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形。 第三步：存真。由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。反證法的三個(gè)步