九年級數(shù)學垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關系人教版知識

1、九年級數(shù)學垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關系人教版【本講教育信息】一. 教學內(nèi)容：垂徑定理、圓心角、弧、弦、弦心距間的關系 學習目標1. 理解由圓的軸對稱性推出垂徑定理，概括理解垂徑定理及推論為“知二推三”。（1）過圓心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分優(yōu)弧。已知其中兩項，可推出其余三項。注意：當知（1）（3）推（2）（4）（5）時，即“平分弦的直徑不能推出垂直于弦，平分兩弧?！倍鴳獜娬{(diào)附加“平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦且平分弦所對的兩弧”。 2. 深入理解垂徑定理及推論，為五點共線，即圓心O，垂足M，弦中點M，劣弧中點D，優(yōu)弧中點C，五點共線。（M點是兩點重

2、合的一點，代表兩層意義）3. 應用以上定理主要是解直角三角形AOM，在RtAOM中，AO為圓半徑，OM為弦AB的弦心距，AM為弦AB的一半，三者把解直角形的知識，借用過來解決了圓中半徑、弦、弦心距等問題。無該RtAOM時，注意巧添弦心距，或半徑，構(gòu)建直角三角形。4. 弓形的高：弧的中點到弦的距離，明確由定義知只要是弓形的高，就具備了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），實際可用垂徑定理及推論解決弓形高的有關問題。5. 圓心角、弧、弦、弦心距四者關系定理，理解為：（1）圓心角相等，（2）所對弧相等，（3）所對弦相等，（4）所對弦的弦心距相等。四項“知一推三”

3、，一項相等，其余三項皆相等。源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性。即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖象完全重合。 (1)(2)(3)(4)6. 應用關系定理及推論，證角等，線段等，弧等，等等，注意構(gòu)造圓心角或弦心距作為輔助線。7. 圓心角的度數(shù)與弧的度數(shù)等，而不是角等于弧。 二. 重點、難點：垂徑定理及其推論，圓心角，弧，弦，弦心距關系定理及推論的應用。COMBD所示：11AB=12=6(cm) 22由垂徑定理知：AE=BE=6cmOE=AOE、BOE為等腰直角三角形 AOB90°由AOE是等腰直角三角形 OA=62，AE=6 即O的半徑為62cm點撥：作出弦（AB）的弦心距（OE），構(gòu)成垂徑

4、定理的基本圖形是解決本題的關鍵。 例2. 如圖所示，在兩個同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點，設大圓和小圓的半徑分別為a，b。 求證：AD·BD=a-b證明：作OEAB，垂足為E，連OA、OC 則OA=a，OC=b在RtAOE中，AE2=OA2-OE2 在RtCOE中，CE=OC-OE AE-CE=OA-OE2222222(22)-(OC2-OE2)=OA2-OC222=a-b22即(AE+CE)(AE-CE)=a-b CE=ED,AC=BDAE+CE=AE+ED=AD AE-CE=AC=BD22即ADBD=a-b點撥：本題應用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，再由勾股定理解題，很巧

5、妙。 例3. O的直徑為12cm，弦AB垂直平分半徑OC，那么弦AB的長為（ ） A. 3cmB. 6cmC. 63cmD. 123cm（2001年遼寧）解：圓的半徑為6cm，半徑OC的一半為3cm，故弦的長度為 26-3=232-1=63(cm) 故選C。例4. 如圖所示，以O為圓心，AOB120°，弓形高ND4cm，O222【典型例題】例1. 已知：在O中，弦AB12cm，O點到AB的距離等于AB的一半，求：AOB的度數(shù)和圓的半徑。點悟：本例的關鍵在于正確理解什么是O點到AB的距離。 解：作OEAB，垂足為E，則OE的長為O點到AB的距離，如圖2AB矩形EFGH的兩頂點E、F在弦

6、AB上，H、G在上，且EF4HE，求HE的長。解：連結(jié)AD、OG在ABC中，ABACBC AB2AC 故選D。點撥：本題考察弦、弧、圓心角之間的關系，要正確理解三者之間的關系定理。11AOD=AOB=120=6022OAODAOD為等邊三角形 ODAN NOND4cm ODOG8cm設HE=x，則MG=2x，MO=(x+4)cm 在RtOMG中，由MG+OM=OG得： (x+4)+(2x)=8例7. 已知O的半徑是10cm，AB是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）5A. 5cm B. 5cm C. 103cm D. cm A B解：如圖所示，OA=10cm，AOB120°

7、O1AOC=AOB=60在RtACO中，CO=AO·cosAOC=10 故選A。點撥：本題考察弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系，要正確構(gòu)造三角形，靈活運用。 例8. 等腰ABC的頂角A120°，腰ABAC10，ABC的外接圓半徑等于（ ） A. 20B. 15C. 10D. 522212，x2=-4（舍去） 512HE的長為cm5解得：x1=點撥：借助幾何圖形的性質(zhì)，找出等量關系，列出方程求解，這是解決幾何計算題的常用方法。例5. 已知，AB是O的弦，半徑OCAB于點D，且AB=8cm，OC=5cm，則DC的長為（ ） A. 3cmB. 2.5cm1=5(cm) 2解：如圖

8、所示，連結(jié)OA、OB ABAC10AB=AC由垂徑定理的推論，得OA垂直平分BC，垂足為D 又BAC120° ABCACB30° BAO60° 又OAOBAOB是等邊三角形 半徑OAOBAB10 故選C。C. 2cm D. 1cm（2001年北京東城區(qū)）解：OD=-4=3 DC=5-3=2(cm) 故選C。常見錯誤：將DC錯算為OD，即算出OD就不再計算DC了，從而錯選A。這種錯誤十分常見，一定要注意慎重的計算完全。例6. 在O中，AB=2AC，那么（ ）A. AB=ACB. AB=2AC C. AB>2ACD. AB<2AC點撥：垂徑定理及其推論是很

9、重要的性質(zhì)，主要解題思路是構(gòu)造特殊的三角形，然后應用定理解題。例9. 點P為半徑是5的O內(nèi)一點，且OP3，在過點P的所有弦中，長度為整數(shù)的弦一共有（ ） A. 2條解：如圖所示，連結(jié)BC。AB=2ACAC=BC AC=BCB. 3條 C. 4條 D. 5條（2002年山東）解：選C。點撥：圓是中心對稱圖形，故與P點對稱的點，關于中點對稱有一個，關于軸對稱有2個。因此，長度為整數(shù)弦一共有4條。例10. 如圖所示，M、N分別是O的弦AB、CD的中點，ABCD。求證：AMNCNM點悟：由弦ABCD，想到利用弧，圓心角、弦、弦心距之間的關系定理，又M、N分別為AB、CD的中點，如連結(jié)OM、ON，則有O

10、MON，OMAB，ONCD，故易得結(jié)論。 證明：連結(jié)OM、ONO為圓心，M、N分別為弦AB、CD的中點 OMAB，ONCD ABCD OMON OMNONM AMN90°OMN CNM90°ONM AMNCNM點撥：有弦中點，常用弦心距利用垂徑定理及圓心角、弧、弦、弦心距之間關系定理來證題。例11. 在O1與O2中，分別有40°的MN和M1N1，那么： （1）MN與M1N1相等嗎？ （2）MO1N與M1O2N1相等嗎？ 錯解：（1）因為MN與M1N1都是40°的弧角就相等?？梢娝皇芩鶎Φ幕∠嗟扰c否來制約。 正解：（1）不一定相等。（2）相等。【模擬試題

11、】（答題時間：30分鐘）一. 選擇題。1. 下列命題中，正確的命題是（ ）A. 平分一條弦的直徑，垂直平分這條弧所對的弦 B. 平分弦的直徑垂直于弦，并平分弦所對的弧C. 在O中，AB、CD是弦，若AC=BD，則ABCD D. 圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓的每一條直徑2. 已知P為O內(nèi)一點，且OP3cm，如果O的半徑是4cm，那么過P點的最短弦等于（ ） A. 2cm A. 10B. 3cm B. 26C.7cmD. 27cm3. 弓形弦長24，弓形高為8，則弓形所在圓的直徑是（ ）C. 13D. 5AB 4. 在直徑是10cm的O中，為60°，則弦AB的弦心距是（ ） 155A. 1

12、03cm B. C. 53cm D. 3cm 3cm225. AB、CD分別為大小不同圓的弦，共ABCD，那么AB、CD的關系是（ ）A. AB=CD B. AB>CD C. AB<CD D. 不確定二. 填空題。6. 已知AB為O直徑，AC為弦，ODBC交AC于D，AC6cm，則DC_。 7. 直角三角形外接圓的圓心在_，它的半徑為_一半。 8. 若一個圓經(jīng)梯形ABCD四個頂點，則這個梯形是_梯形。 9. 弦AB把O分3：7，則AOB_。10. 若O半徑是4，P在O內(nèi)，PO2，則過P點的最短的弦所對劣弧是_度。11. O中，弦AB垂直直徑CD于點P，半徑OA4cm，OP2cm，則

13、AOB_，1 所以MNMN1（2）MN與M1N1相等，所以M1O1N=M1O2N1常見錯誤：（1）誤以為弧的度數(shù)相等弧亦相等，兩弧相等必須是在同圓或等圓的前提下，看它們是否“重合”；（2）應該知道圓心角是角，它的大小是可以用度數(shù)來衡量的，度數(shù)相同的ADC_，BD度數(shù)為_，ADC周長為_ cm。三. 解答題。12. 如圖，O的兩弦AB，CD互相垂直于H，AH4，BH6， CH3，DH8，求O半徑。O13. 已知：如圖，C為O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CDCO，若AD度數(shù) 50°，求BE的度數(shù)。DAE4 為試題答案一. 選擇題。1. A 2. D 3. B 4. D 5. D二. 填空題。6. 3cm7. 斜邊中點，斜邊長8. 等腰9. 108°10. 120°11. 120°，30°或60°，60°或120°，12+4三. 解答題。12. 過O分別作OMA