對(duì)稱(chēng)性與守恒定律

1、第七章對(duì)稱(chēng)性與守恒定律§7.1守恒量的平均值和測(cè)量取值幾率1.力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的方程在本征態(tài)中，如果測(cè)量力學(xué)量 F，則每時(shí)刻都可測(cè)得確定值。而在任意狀態(tài)x,t中測(cè)量，力學(xué)量F 般不顯含時(shí)間t，則在每一時(shí)刻測(cè)量結(jié)果一般沒(méi)有確定值。但' x,t可以按F的本征態(tài)系n做完全展開(kāi)，所以測(cè)量 F本征值的幾率是確定的，有確定的分布。這樣，每一時(shí)刻在任意態(tài)x,t下，力學(xué)量F有確定的平均值。在定態(tài)下，不顯含時(shí)間t的力學(xué)量算符F的平均值不隨時(shí)間變化。x,t : t時(shí)刻的任意狀態(tài)(歸一化的)F 屮(x,t 円(x,t » =嚴(yán)* (x,t)? (x,t )dx其中x,t和F?都可能

2、是時(shí)間的函數(shù)，則 F也可以是時(shí)間的函數(shù)。量子力學(xué)中，討論力學(xué)量隨時(shí)間的變化是通過(guò)討論力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化來(lái)反映的。F 屮利用H?的厄密性QH?：dF 1 o -j cF即dF=4 F?,HU 力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的方程。dt 請(qǐng) -戲2.守恒量定義：在任意狀態(tài)下，力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化，即為與時(shí)間無(wú)關(guān)的常量。dF-數(shù)學(xué)：0（ F與t無(wú)關(guān)的常量）dt力學(xué)量守恒的條件:F: F?： ?dF?0說(shuō)明F不顯含時(shí)間t（0）（ F不顯含t，0而 不一定為0）.t: t:tdt?: F: F: F: F不特別聲明，一般/日_ 0，如？ ， p， LdFdx dy dz dt；-t:x: y:z:

3、t=0即F?與H?對(duì)易，也可以作為守恒量的定義性質(zhì)特點(diǎn) 體系在任意狀態(tài)下，平均值不隨時(shí)間變化。這是守恒量物理上的定義。 體系在任意狀態(tài)下，測(cè)量力學(xué)量（不顯含t）取值的幾率分布不隨時(shí)間變化。證明：F為守恒量，因?yàn)閮蠬? =0，所以F?、H?有共同完全本征函數(shù)系鳥(niǎo)，則有2化=En*n 和刖n = fn對(duì)任意態(tài)匸r,t'一 It 八 Cn t ； rnCn t十八r,t.2為了求Cn （t ）隨時(shí)間的變化=談（仙九）=«”（r_r,t»r,t ：利用h?的厄密性jtIt ,； - ET n "t 卽 t關(guān)于Cn t的一階微分方程，其解為:iCn t =Cn0 e

4、 ；iEnt.Cn (t | = Cn (0 )與t無(wú)關(guān)。d |Cn (t fdt 冋題：量子體系的守恒量一定取確定值嗎？不一定（一定取確定的平均值）量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。若初始時(shí)刻，體系不處于守恒量 F的本征態(tài)，則此后任意時(shí)刻也不會(huì)處于 F的本征態(tài), 即守恒量不取確定值，違者違背性質(zhì)。若初始時(shí)刻體系處于守恒量 F的本征態(tài)，則此后任何時(shí)刻它將處于 F的屬于同一本征 值的本征態(tài)中，否則也違背性質(zhì) 。這時(shí)守恒量的量子數(shù)稱(chēng)為好量子數(shù)，就是與能量 同時(shí)有確定值的力學(xué)量的量子數(shù)。3.守恒定律舉例說(shuō)明F不顯含t,則至=0，F(xiàn)?, H? =0自由粒子的

5、動(dòng)量（守恒）因?yàn)?#177;4-Rp? =0 ,量子力學(xué)中的動(dòng)量守恒定律所以動(dòng)量是守恒量中心力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)粒子的角動(dòng)量（ l?,己,Ly, LZ）（守恒）U 7二U r，中心勢(shì)場(chǎng)，對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)各向同性2L?-I?點(diǎn)2 U r ，=0=0不顯含時(shí)間可以證明 pH卜0,即角動(dòng)量是守恒量物理理解：在繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)變換下，如r2二樣，J2 = I 2 = j|_；也表現(xiàn)為一個(gè)標(biāo)量,即不變化。而勢(shì)U r也不變化，于是F?在繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)變換下保持不變，可以證明, 這時(shí)軌道角動(dòng)量L和L?是守恒量，即=0?2?數(shù)學(xué)理解：如對(duì) L'，將L與F?采用球坐標(biāo)的表述。球極坐標(biāo)下：V212. I '1=/"

6、y I z air ：r .: r r sinr?-1 ；：22r? sin?:1-2 r 2rjsin"、-2二宀冷rr2 cr JLr、422丿r H?二U rL?2只對(duì)角變量作用，r與二，獨(dú)立2r2L?,f? =0-的函數(shù)與r的函數(shù)對(duì)易,L?與r無(wú)關(guān)同理叫=2 !?, = 0 , i=x,y,z dt 諱- -即量子力學(xué)中的角動(dòng)量守恒定律如庫(kù)侖場(chǎng)中的電子，氫原子哈密頓不顯含時(shí)間體系的能量（守恒）乩0.:tH?,H -=o，即能量是守恒量cl H d 二所以 凹 =1 呂R =0,即量子力學(xué)中的能量守恒定律 dt if-如一維無(wú)限深勢(shì)阱的粒子，線(xiàn)性諧振子等等哈密頓對(duì)空間反演不變時(shí)

7、的宇稱(chēng)（守恒）已學(xué)過(guò)，宇稱(chēng)指波函數(shù)在空間反演（t > -r ）下的奇偶性屮（-r =型（r ）,+偶宇稱(chēng)，-奇宇稱(chēng)把這種對(duì)波函數(shù)的空間反演運(yùn)算用宇稱(chēng)算符表示。宇稱(chēng)算符P :對(duì)波函數(shù)的空間反演運(yùn)算P-r,t宇稱(chēng)本征值：護(hù)-r*,t 二 PP r,t =P?:,t = r,t即P2算符的本征值為1P2 =1所以P算符的本征值為土 1， P = 一11偶宇稱(chēng)附=屮宇稱(chēng)守恒：證明：如果H? r =H -r，即哈密頓量在空間反演下保持不變，則體系宇稱(chēng)是守恒量即0, H? =0證明：P,H? r r,t 二 PRT,t 一 H? r P r,tH?-.t -H? r P r,tH?訐R -r=H?

8、r ? r,t -H? r ? r,t =0所以P,F? =0問(wèn)題：宇稱(chēng)守恒的狀態(tài)，宇稱(chēng)一定有確定值（即處在宇稱(chēng)本征態(tài)）嗎? 不一定。（看初態(tài)）例2.7.1粒子在勢(shì)場(chǎng)U X中運(yùn)動(dòng)，求坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符對(duì)時(shí)間的微商。£ £_ -2 - -解粒子的H=E U X，將一X = 0代入（2.7.5 ）式，利用Xn, Pk丄i : nk，2t可得dxdti'+U（x）Lxp2T33en Xn ,_n 呂kd33二二enn A kA2Pk33e/Pk !-Xn, pj !Xn, Pk Ipk '2i'J n =1 kd 3en 2 p ki ''

9、 nk n=1 k 仝（）以乘上式兩邊，即有dt（）這表明，經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量表達(dá)式的量子力學(xué)中以算符的形式出現(xiàn)，坐標(biāo)算符對(duì)時(shí)間的微商就是速度算符：。同理,=0代入（2.7.5 ）式，并利用.:tp,U X I- -i U X （見(jiàn)習(xí)題 2.2.7 ）,即有dP 1 p, H 1 p, - U x 1 p,U x LU x 二 F dt ii 2i（2.7.8 ）式中F是作用力算符。這表明，經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程在量子力學(xué)中將以算符的形式出現(xiàn), 動(dòng)量算符對(duì)時(shí)間的微商正好等于力算符。將式（2.7.7 ）和（2.7.8 ）式對(duì)-：X態(tài)求平均，即得坐標(biāo)平均值X與動(dòng)量平均值 p的運(yùn)動(dòng)方程式dx pdT（2.7

10、.9 ）將（2.7.9 ）式與（2.7.10 ）式聯(lián)立可得d2xdt2（2.7.10 ）（2.7.11 ）式稱(chēng)為厄任費(fèi)斯特（Ehrenfest ）方程，由于與年頓方程相似又稱(chēng)為“量子力學(xué) 中的年頓方程”，但它與經(jīng)典力學(xué)的年頓方程存在本質(zhì)的區(qū)別：（1） 在經(jīng)典力學(xué)中,d2xdt2給出的是坐標(biāo)x的加速度；在量子力學(xué)中，由于每一時(shí)刻般沒(méi)有確定值,d2xdt2給出的是坐標(biāo)平均值的加速度。（2）在經(jīng)典力學(xué)中，位于 x的粒子所受的力- 'U x僅決定于該點(diǎn)的勢(shì)場(chǎng)，而且受力的大小與粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)；在量子力學(xué)中，起作用的是力的平均值F - -* x,P U x s ix,t d（2.7.11 ）x

11、,t 有關(guān)。在量子力學(xué)中將以平均值或算符的形式出它是涉及整個(gè)勢(shì)場(chǎng)的作用，而且與粒子所處的狀態(tài)總之，經(jīng)典力學(xué)中有關(guān)力學(xué)量之間的關(guān)系式, 現(xiàn)。2.7.2守恒量及其性質(zhì)1守恒量的定義在任意態(tài)中，如果體系某一力學(xué)量的平均值F對(duì)時(shí)間的微商為零，即* e *二 C； t ” n X'- x,t d . C.C.=皂 Cn（t f +c.C. = 0i疏（）2這表明，守恒量 F取值的概率分布為 cn（q不隨時(shí)間而變。（2） 性質(zhì)二：若初始時(shí)刻體系不處于守恒量F的本征態(tài)，則此后任何時(shí)刻體系也不會(huì)處于F本征態(tài)，即守恒量不取確定值，否則便會(huì)違背性質(zhì)一；若初始時(shí)刻體系處于守恒量F宀的本征態(tài)，則此后任何時(shí)刻它

12、都處于F的同一本征值的本征態(tài)中，否則也違背性質(zhì)一。例如，在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，由于H不顯含t，能量是守恒量。若粒子的初始狀態(tài)不是能量的本征態(tài)，而是各種能量本征態(tài)的線(xiàn)性疊加態(tài)，則此后任何時(shí)刻也如此。又如自由粒子的動(dòng)量是守恒量，若自由粒子的初始狀態(tài)不是動(dòng)量的本征態(tài)（平面波），而是各種波數(shù)的平面波的線(xiàn)性疊加態(tài)（波包），則此后任何時(shí)刻也如此。與守恒量對(duì)應(yīng)的量子數(shù)，稱(chēng)為好量子數(shù)，可以用它作為描述體系狀態(tài)的特征參數(shù)。當(dāng)體系處于守恒量 F的本征態(tài)時(shí)，便可用好量子數(shù)來(lái)標(biāo)記這個(gè)態(tài)。在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，總是從所有的守恒量中選出一組力學(xué)量構(gòu)成完全集。由于表示守恒量的算符必與H對(duì)易，因此這宀個(gè)共同本征態(tài)也是能量

13、的本征態(tài)（定態(tài)）。例如，對(duì)于氫原子（見(jiàn) 4.2節(jié)）通常選擇H , L2和Lz作為力學(xué)量的完全集，定態(tài)；lm X就是E，L2和Lz同時(shí)有確定值的狀態(tài)，描述它們的主量子數(shù)n，角量子數(shù)I和磁量子數(shù)m都是好量子數(shù)。換句話(huà)說(shuō)，好量子數(shù)就是與能量 同時(shí)有確定值的力學(xué)量的量子數(shù)。（3） 性質(zhì)三：若體系有互相不對(duì)易的守恒量F和G，則體系的能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的。證由F為守恒量，有 F, H丄0，故F與H有共同的本征態(tài)，它們的本征值方程為H'=E'（）FT 二 f'-（）又由G為守恒量，有G, H丨=0，貝U(2.7.20 )HG=GH 】-EG' 可見(jiàn)，-：與G'均為H的本征

14、值為E的本征態(tài)。另一方面，F(xiàn),G丄0 ,故有（除個(gè)別例外）FGF wGF 二 fG'-（2.7.21 ）即不是F的本征態(tài)。由此式可見(jiàn)，-與G'-：是兩個(gè)不同的態(tài)。2即然兩個(gè)不同的態(tài)具有相同的能級(jí)E，可見(jiàn)能級(jí)E是簡(jiǎn)并的。例如，對(duì)于氫原子，Lx與Lz哈密頓算符具有確定宇稱(chēng)的條件。宀 宀動(dòng)能算符T具有偶宇稱(chēng)，如果勢(shì)能算符也具有偶宇稱(chēng)，即U x二U -x，則哈密頓算符H二T U x具有偶宇稱(chēng)。反之，如果勢(shì)能算符具有奇宇稱(chēng)，則哈密頓算符H =Tx沒(méi)有確定的宇稱(chēng)。 體系宇稱(chēng)守恒的條件。£若體系的哈密頓算符 H具有偶宇稱(chēng)（即空間反演不變性），即都是守恒量，但 Lx, L J-0，故

15、氫原子的能級(jí)是簡(jiǎn)并的。當(dāng)然，氫原子的基本是一個(gè)例外。盡管Lx,Lz L 0，但LxLzYoo二LzLxYoo = 0使氫原子的基態(tài)能級(jí)并不簡(jiǎn)并。因?yàn)檠尽?為常數(shù)，任何微分算符作用于丫。0均為零，這是一個(gè)非常特殊的例子。4. 奇宇稱(chēng)算符和偶宇稱(chēng)算符（1）定義：在空間反演 x-x下，若算符F-F，則F稱(chēng)為奇宇稱(chēng)算符；在空間1 £ £反演x-x下，若算符FF ,則F稱(chēng)為偶宇稱(chēng)算符3 二動(dòng)量算符P - I - -；二en 在空間反演Xn -Xn下，有P - P，稱(chēng)P為奇 n m Cx n宇稱(chēng)算符（也稱(chēng) P具有奇宇稱(chēng)）。2- 2 3 2動(dòng)能算符T22在空間反演xn-xn下，有T &g

16、t; -T，稱(chēng)T為2#2忖衣£偶宇稱(chēng)算符（也稱(chēng)T具有偶宇稱(chēng)）。H x, p 汙 H -x,-p（2.7.33 ）則體系的宇稱(chēng)守恒。證設(shè)匸x,t為任意波函數(shù)，利用（2.7.33 ）式，可得PH x, p - x,t 二 H x, p x,t 二 H x, p P - x,t由t x,t的任意性，便有 PH =HP，即P, H 1-0 ;同時(shí)P不顯含t，故宇稱(chēng)守恒。正如守恒量的性質(zhì)二所指出的：若初始時(shí)刻體系處于宇稱(chēng)的本征態(tài)（即有確定的宇稱(chēng)），則此后任何時(shí)刻體系的狀態(tài)將具有與初態(tài)相同的宇稱(chēng)；若初始時(shí)刻體系不處于宇稱(chēng)的本征態(tài)（即沒(méi)有確定的宇稱(chēng)），則此后任何時(shí)刻體系的狀態(tài)也沒(méi)有確定的宇稱(chēng)?？傊?/p>

17、，宇稱(chēng)守恒使 得初態(tài)的宇稱(chēng)性質(zhì)不隨時(shí)間而變。5. 能量本征態(tài)具有確定守稱(chēng)的條件當(dāng)H是偶宇稱(chēng)算符，且能量本征值無(wú)簡(jiǎn)并，則相應(yīng)的能量本征態(tài)具有確定的宇稱(chēng)。證 由于具有偶宇稱(chēng)的體系宇稱(chēng)守恒，故P,H J-0。對(duì)于能量本征態(tài),有H-二 E-（）1 £ £ £HP二 PH二 EP'（）即P'-：與t都是H的屬于E的本征態(tài)。在能量無(wú)簡(jiǎn)并的性況下，P'-：與-：只能相差一個(gè)常數(shù)因子P'-二（）若能量本征態(tài)也是宇稱(chēng)的本征態(tài)，因而能量本征態(tài)具有確定的宇稱(chēng)。若能量本征值有簡(jiǎn)并，盡管P'-：與是H的屬于E的本征態(tài)，但P*與不是同一個(gè)宀態(tài)，P &#

18、39;-，因此，-：不是P的本征態(tài)，也就沒(méi)有確定的宇稱(chēng)了（見(jiàn)例 ）尸2例2.7.2 一維自由粒子的 H 牛，問(wèn)：（1）動(dòng)量是不是守恒量？（2）宇稱(chēng)是不是守恒量？£（3）P與px是不是對(duì)易的？體系的能級(jí)是不是簡(jiǎn)并的？（4）能量的本征態(tài)有沒(méi)有確定的宇稱(chēng)？為什么？(2)(3)因?yàn)镻x不顯含時(shí)間，且 bx,Hl- P2Pxx，茹=0，故動(dòng)量為守恒量。_2因?yàn)镠具有偶宇稱(chēng)，故宇稱(chēng)守恒。24設(shè)t x為任意波函數(shù)，由于- x.-.-Pp： x；=ix =ii P'- xi=-pxP'- x()x；:x；:x這表明，P與Px不對(duì)易。宇恒量的性質(zhì)三指出，體系有互相不對(duì)易的守恒量時(shí)，體系

19、的能級(jí)是簡(jiǎn)并的。(4)能量的本征態(tài)屮px小缶/xx1-tP汕 5 窗°，均不具有確定xx的宇稱(chēng)。實(shí)際上1"PxX(2.7.38)Px?px(x)px(-x)=e"4(x)(2.7.39)即屮筮(x)不是宇稱(chēng)算符的本征態(tài)。此時(shí)盡管H?是偶宇稱(chēng)算符，因?yàn)轶w系的能級(jí)是簡(jiǎn)并的，所以_px(x)沒(méi)有確定的宇稱(chēng)。在經(jīng)典力學(xué)中，從牛頓方程出發(fā)，在一定條件下可以導(dǎo)出力學(xué)量的守恒定律， 粗看起來(lái)，守恒定律似乎是運(yùn)動(dòng)方程的結(jié)果但從本質(zhì)上來(lái)看，守恒定律比運(yùn)動(dòng)方 程更為基本，因?yàn)樗硎隽俗匀唤绲囊恍┢毡榉▌t，支配著自然界的所有過(guò)程，制 約著不同領(lǐng)域的運(yùn)動(dòng)方程.守恒定律的根源就是自然界存在

20、著的對(duì)稱(chēng)性，而所謂對(duì)稱(chēng)性，就是指體系的哈密頓算符在某種變換下的不變性.每一種變換下H?的不變性，都對(duì)應(yīng)著某一個(gè) 力學(xué)量的守恒定律如空間反演不變性對(duì)應(yīng)著對(duì)稱(chēng)守恒（§3.7）,空間平移不變性 對(duì)應(yīng)著動(dòng)量守恒，空間旋轉(zhuǎn)不變性對(duì)應(yīng)著角動(dòng)量守恒，時(shí)間平移不變性對(duì)應(yīng)著能 量守恒,等等.保持體系的哈密頓算符不變的變換稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)變換.本章第1節(jié)討論對(duì)稱(chēng)變換的性 質(zhì),以及對(duì)稱(chēng)變換與守恒量的關(guān)系.第2節(jié)討論具有時(shí)空連續(xù)變換下保持不變性 的體系所遵循的守恒定律.§7.2對(duì)稱(chēng)變換設(shè)體系的哈密頓算符H?在變換S下具有不變性，本節(jié)就從考慮對(duì)稱(chēng)變換S的 性質(zhì)開(kāi)始.一、對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)在變換S下，體系的任何狀

21、態(tài)變?yōu)殄⊿）=飆，即 屮=§和（S）顯然,對(duì)稱(chēng)變換滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：第一，e與h?對(duì)易.證 既然體系F?的在變換S下保持不變,因此，飆 與屮應(yīng)滿(mǎn)足相同的薛定諤方程,即i 以 即從左方作用于 式兩邊,利用逆算符的定義S節(jié)=1,得-:t比較式和式，可得S? JH?§ - H?.(5)以S?從左邊作用于(5)式的兩邊,即有H?§ = §H,S?,H?=0.即S?與H?對(duì)易.第二，S?為么正算符.證從幾率守恒可見(jiàn)屮di = £帥)*(帥)毗=.(7)比較上式兩端，即有§+§ = 1 ,§ + =§.(8)即S?

22、為么正算符見(jiàn)§3.2的(49)式.綜合上述,對(duì)稱(chēng)變換的變換算符S?是與體系哈密頓算符對(duì)易的么正算符.二、對(duì)稱(chēng)變換與守恒量的關(guān)系如果S?是厄米算符,則S?表示某個(gè)力學(xué)量,又由S?, H? = 0可知s是守恒量,見(jiàn) §3.7 的(13)式.如果S不是厄米算符，則S?就不表示力學(xué)量.對(duì)于連續(xù)變換，當(dāng)實(shí)參數(shù)趨于 零時(shí),連續(xù)變換算符S?( )光滑地銜接到單位算符S?( ) > I?, 當(dāng)> 0.(9)單位算符I?對(duì)應(yīng)于恒等變換.對(duì)于有限變換，§可表示為SeT(10)對(duì)于無(wú)窮小變換e > 0),準(zhǔn)確到的一階小量，S?可表示為(11)S? =1 i F?,利用

23、么正條件(8)式可得1 二 S? S?= (1 i I?) (1 i l?1 i (I? _ F?) ) 0( 2).(12)略去的咼階小量，即有f? = F?.(13)即F?是厄米算符,F?稱(chēng)為變換算符S?盧的生成元.由此可見(jiàn),當(dāng)S?不是厄米算符時(shí)，S?與某個(gè)力學(xué)量F相對(duì)應(yīng)另一方面,將S? =1 + i扎F?代入S?H? = 0可得(1 - i !?)$ -(1 i Fi (FW - HF?) = 0,由于 -0,故有F?,聞=0(14)可見(jiàn)F是體系的一個(gè)守恒量.綜合上述,若對(duì)稱(chēng)變換算符S?是厄米算符，則S為守恒量；若S?不是厄米算符, 則它的生成元F?所表示的力學(xué)量F是守恒量.最常見(jiàn)的變換

24、包括連續(xù)變換和分立變換 §3.7介紹的空間反演是分立變換， 若體系具有空間反演不變性(即P?,點(diǎn)二0),由于變換算符(宇稱(chēng)算符)P?是厄米 算符,故P為守恒量.下一節(jié)討論連續(xù)變換7.3對(duì)稱(chēng)變換與守恒定律連續(xù)時(shí)空變換本節(jié)首先求出連續(xù)時(shí)空變換的變換算符，然后分別討論當(dāng)體系具有空間平移 不變性、空間旋轉(zhuǎn)不變性和時(shí)間平移不變性時(shí)，將導(dǎo)致哪個(gè)力學(xué)量守恒.一、空間平移不變性(空間均勻性)與動(dòng)量守恒空間平移不變性就是指體系整體 r移動(dòng)時(shí),體系的哈密頓算符保持不變.當(dāng)沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)，體系就巨有空間平移不變性現(xiàn)在,我們首先尋找空間平移算符,從而證明空間平移不變性將導(dǎo)致體系的動(dòng)量守恒.空間平移算符 ?對(duì)波函

25、數(shù)的作用就是使體系的狀態(tài)從屮(r)態(tài)變?yōu)?(S)(r)二霑(r)(1)由圖10.1可見(jiàn)，'- (S)在r :r處的值等于-：在r的值,即(r 、r) =(r)(2)圖中no為、丁方向的單位矢量.(2)式也可改寫(xiě)為(S)(r) = (r 一后式表明，平移態(tài)* (S)在r處的值等于平移前波函數(shù)'在r - :r處的值.由此可見(jiàn), 體系整體平移r ,相當(dāng)于坐標(biāo)系平移-、：r .為了確定空間平移算符將(r r)作三維泰勒展開(kāi)(見(jiàn)習(xí)題1).一 I'- (r 一、丁)(r) 一、丁 (r)(一、丁 、)2'- (r)八：口 匚(r)=er、(r).n=on!將式和式代入式，并

26、將？二-i飛代入,可得S?r.，；(r) =：g(r) (r 、r)八'- (r)丨(r).(5)比較上式兩端，即有?<-r ?e ,易見(jiàn)平移算符不是厄米算符Sf = (e 護(hù)')=A 陽(yáng)(rX S虞故S毎不表示力學(xué)量.若體系具有空間平移不變性,則S西是對(duì)稱(chēng)變換,直與H?對(duì)易,即SH?=eF 曠R=0.由此得IP, H?H0.即平移算符S r的生成元P是守恒量這表明，如果體系在空間平移變換下保持不變，即體系所處的空間是均勻的， 則體系的動(dòng)量是守恒的.反之,如果體系受到外力 F - ' U (r)的作用,勢(shì)場(chǎng)U (r) 的存在使得空間不是均勻的,這時(shí),P,?=?,T

27、 lp = P,tp(r)- 0,動(dòng)量就不是 守恒量.例如，一個(gè)自由電子具有空間平移不變性，自由電子所處的空間是均勻的 所以自由電子的動(dòng)量守恒；氫原子中的電子處于中心場(chǎng)U(r)中，它所處的空間是不均勻的，不具有空間平移不變性，故氫原子中的電子的動(dòng)量不守恒.此外，正如在§3.7曾指出的，體系的動(dòng)量守恒表明動(dòng)量的平均值不隨時(shí)間而 變,并不意味著體系的動(dòng)量具有確定值，除非初始時(shí)刻體系處于動(dòng)量的本征態(tài).二、空間旋轉(zhuǎn)不變性(空間各向同性)與角動(dòng)量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性就是指體系整體繞任意軸n旋轉(zhuǎn)時(shí),體系的哈密頓算符不變.當(dāng)體系處于中心對(duì)稱(chēng)場(chǎng)或無(wú)外場(chǎng)時(shí)，體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性.現(xiàn)在尋找轉(zhuǎn)動(dòng)算符§ ；從而證明空間旋轉(zhuǎn)不變性將導(dǎo)致體系的角動(dòng)量守恒.當(dāng)體系整體沿n軸旋轉(zhuǎn)：(即門(mén)二 )時(shí)，矢徑端點(diǎn)移動(dòng)一 » ( 10) 式中門(mén)的方向垂直于門(mén)(即K)與r所在的平面，如圖10.2所示，將(10)式代入 式,即得'-(A y (L : Ze£ "(卩)咒(T).(11)利用三矢量混合乘積的公式（11）可改寫(xiě)為(a b) c = a (b C),(12)C l (小叫).(13)比較上式兩端，即得轉(zhuǎn)動(dòng)算符(