同濟大學高等數學-第一章習題課ppt課件

1、（一函數的定義（一函數的定義（二極限的概念（二極限的概念（三連續(xù)的概念（三連續(xù)的概念一、主要內容一、主要內容函函 數數的定義的定義反函數反函數隱函數隱函數反函數與直接反函數與直接函數之間關系函數之間關系基本初等函數基本初等函數復合函數復合函數初等函數初等函數函函 數數的性質的性質單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調性單調性有界性有界性周期性周期性雙曲函數與雙曲函數與反雙曲函數反雙曲函數1 1、函數的定義、函數的定義記記作作的的函函數數，是是對對應應，則則稱稱則則總總有有確確定定的的數數值值和和它它按按照照一一定定法法，變變量量集集如如果果對對于于每每個個數數是是一一個個給給定定的的數數是是兩兩

2、個個變變量量，和和設設定定義義)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因變變量量叫叫做做自自變變量量，叫叫做做這這個個函函數數的的定定義義域域數數集集yxD.),(稱稱為為函函數數的的值值域域函函數數值值全全體體組組成成的的數數集集DxxfyyW 函數的分類函數的分類函數函數初等函數初等函數非初等函數非初等函數( (分段函數分段函數, ,有無窮多項等函數有無窮多項等函數) )代數函數代數函數超越函數超越函數有理函數有理函數無理函數無理函數有理整函數有理整函數( (多項式函數多項式函數) )有理分函數有理分函數( (分式函數分式函數) )(1) 單值性與多值性單值性與多值性:若若對對于于每每一一個

3、個Dx ,僅僅有有一一個個值值)(xfy 與與之之對對應應,則則稱稱)(xf為為單單值值函函數數,否否則則就就是是多多值值函函數數.xyoxey xyo1)1(22 yx2 2、函數的性質、函數的性質(2) 函數的奇偶性函數的奇偶性:偶函數偶函數奇函數奇函數有有對對于于關關于于原原點點對對稱稱設設,DxD ;)()()(為為偶偶函函數數稱稱xfxfxf ;)()()(為為奇奇函函數數稱稱xfxfxf yxoxyoxy 3xy (3) 函數的單調性函數的單調性: 設函數f(x)的定義域為D，區(qū)間I D，如果對于區(qū)間I上任意兩點 及 ，當 時，恒有： (1) ,則稱函數 在區(qū)間I上是單調增加的；或

4、(2) , 則稱函數 在區(qū)間I上是單調遞減的；單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數。1x2x21xx )()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0時為減函數時為減函數當當 x;0時為增函數時為增函數當當 x.)(,)(, 0,否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數數成成立立有有若若XxfMxfXxMDX (4) 函數的有界性函數的有界性:;), 0()0 ,(上上無無界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 設函數設函數 f(x) 的定義域為的定義域為D，如果存在一個不為零的，如果存在一個不為零的數數l,使得對于任一使得

5、對于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,則稱則稱f(x)為周期函數為周期函數,l 稱為稱為 f(x) 的周期的周期.（通（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）常說周期函數的周期是指其最小正周期）.Dx Dlx )(5) 函數的周期性函數的周期性:oyx11xxy 1 T3 3、反函數、反函數.)()(1稱稱為為反反函函數數確確定定的的由由xfyxfy 0 yexy如如4 4、隱函數、隱函數.)(0),(稱為隱函數稱為隱函數所確定的函數所確定的函數由方程由方程xfyyxF xysinh )(1xfy sinhar x)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy

6、 5、反函數與直接函數之間的關系、反函數與直接函數之間的關系則則函數函數是一一對應是一一對應設函數設函數,)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 圖象對稱于直線圖象對稱于直線的的與與6 6、基本初等函數、基本初等函數1冪函數冪函數)( 是常數是常數 xy2指數函數指數函數)1, 0( aaayx3對數函數對數函數)1, 0(log aaxya4三角函數三角函數;cosxy ;sin xy 5反三角函數反三角函數;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx7 7、復合函數、復合函數設函數

7、設函數)(ufy 的定義域的定義域fD,而函數而函數)(xu 的 值 域 為的 值 域 為 Z, 若若 ZDf, 則 稱 函 數則 稱 函 數)(xfy 為為x的的復合函數復合函數.8 8、初等函數、初等函數由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數的函數,稱為初等函數稱為初等函數.9 9、雙曲函數與反雙曲函數、雙曲函數與反雙曲函數2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙雙曲曲正

8、正切切雙曲函數常用公式雙曲函數常用公式;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar;tan xy 反反雙雙曲曲正正切切ar;cosh xy 反雙曲余弦反雙曲余弦ar;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx 左右極限左右極限兩個重要兩個重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質的性質極限存在的極限存在的充要條件充要條件判定極限判定極限存在的準則存在的準則無窮小的比較無窮小的比較極限的性質極限的性

9、質數列極限數列極限函函 數數 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價無窮小等價無窮小及其性質及其性質唯一性唯一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關系關系無窮大無窮大 )(limxf定義定義 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數 (不論它多么不論它多么小小),總存在正數總存在正數N,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就稱常數那末就稱常數a是數列是數列nx的極限的極限,或者稱數列或者稱數列nx收斂于收斂于a,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn., 0, 0 axNnNn恒恒有有時時使

10、使1 1、極限的定義、極限的定義定定義義N 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數如果對于任意給定的正數 ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數總存在正數 , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的的一切一切x, ,對應的函數值對應的函數值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數那末常數A就叫函數就叫函數)(xf當當0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時時使使當當左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當右極限右極

11、限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理無窮小無窮小:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或記記作作絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數為無窮小無窮大的倒數為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮

12、小的倒數為無窮大零的無窮小的倒數為無窮大. .無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數和有限個無窮小的代數和仍是無窮小仍是無窮小.定理定理2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質無窮小的運算性質定理定理. 0,)()(l

13、im)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設設推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數數而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數是正整數而而存在存在如果如果推論推論2 23 3、極限的性質、極限的性質4 4、求極限的常用方法、求極限的常用方法a.多項式與分式函數代入法求極限多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運

14、算性質求極限利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限利用左右極限求分段函數極限.準則準則 如果當如果當),(00rxUx (或或Mx )時時,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.5 5、判定極限存在的準則、判定極限存在的準則準準則則 單單調調有有界界數數列列必必有有極極限限.(夾逼準則夾逼準則)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某某過過程程.)1(lim1e 某某過過程程6 6

15、、兩個重要極限、兩個重要極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無設設;),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地7 7、無窮小的比較、無窮小的比較定理定理(等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設設.),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的是是是是就就說說如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在

16、,則則極極限限唯唯一一.8、等價無窮小的性質、等價無窮小的性質9、極限的唯一性、極限的唯一性左右連續(xù)左右連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數連續(xù)函數的的 性性 質質初等函數初等函數的連續(xù)性的連續(xù)性間斷點定義間斷點定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件連續(xù)函數的連續(xù)函數的運算性質運算性質非初等函數非初等函數的連續(xù)性的連續(xù)性 振蕩間斷點振蕩間斷點 無窮間斷點無窮間斷點 跳躍間斷點跳躍間斷點 可去間斷點可去間斷點第一類第一類 第二類第二類定義定義1 1 設函數設函數)(xf在點在點0 x的某一鄰域內有定義的某一鄰域內有定義

17、, ,如果當自變量的增量如果當自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應的函數對應的函數的增量的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就稱函數那末就稱函數)(xf在點在點0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連的連續(xù)點續(xù)點. .1 1、連續(xù)的定義、連續(xù)的定義).()(lim200 xfxfxx 定義定義定理定理.)()(00既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處在在是是函函數數處處連連續(xù)續(xù)在在函函數數xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數若函數xxfx

18、fxfbxxf 3 3、連續(xù)的充要條件、連續(xù)的充要條件2 2、單側連續(xù)、單側連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內有定義內有定義在在若函數若函數xxfxfxfxaxf :)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點點函函數數xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數函數則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件

19、中只xfxxxf4 4、間斷點的定義、間斷點的定義(1) 跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點點為為函函數數則則稱稱點點但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxf (2)可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點的可去間斷點為函數為函數義則稱點義則稱點處無定處無定在點在點或或但但處的極限存在處的極限存在在點在點如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、間斷點的分類、間斷點的分類跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點特點: :.,0右極限都

20、存在右極限都存在處的左處的左函數在點函數在點x可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點跳躍型跳躍型0yx0 x0yx0 x0yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點0yx0 x第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00類類間間斷斷點點的的第第二二為為函函數數則則稱稱點點至至少少有有一一個個不不存存在在右右極極限限處處的的左左在在點點如如果果xfxxxf.,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數數則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點點處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點點內內連連續(xù)續(xù)如如果果函函數數在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 6 6、閉區(qū)間的連續(xù)性、閉區(qū)間的連續(xù)性7

21、7、連續(xù)性的運算性質、連續(xù)性的運算性質定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數若函數xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 嚴格單調的連續(xù)函數必有嚴格單調的連嚴格單調的連續(xù)函數必有嚴格單調的連續(xù)反函數續(xù)反函數. .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點點函函數數若若8 8、初等函數的連續(xù)性、初等函數的連續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復合函數則復合函數連續(xù)連續(xù)在點在點而函數而函數且且連續(xù)

22、連續(xù)在點在點設函數設函數xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函數在定義域內是連續(xù)的基本初等函數在定義域內是連續(xù)的. .定理定理5 5 一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內的區(qū)間.9 9、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值的函數一定有最大值和最小值. .定理定理 3(3(零點定理零點定理) ) 設函數設函數)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,

23、上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內至少有函數內至少有函數)(xf的一個零的一個零點點, ,即至少有一點即至少有一點 )(ba ，使，使0)( f. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數必取得介于最大值M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設函數設函數)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上上連續(xù)，且在這區(qū)間的

24、端點取不同的函數值連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數之間的任意一個數C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內至少有一點內至少有一點 ，使得，使得cf )( )(ba . .二、典型例題二、典型例題例例1 1.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數求函數xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即例例2 2).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中設設 解解利用函數表示法的無關特性利用函數表示法的無關特性,1xxt

25、 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(解聯立方程組解聯立方程組. 1111)( xxxxf例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時時當當解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim24

26、2原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn時時當當例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設設,)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)

27、sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原原式式例例5 5).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項式是多項式設設 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23為為待待定定系系數數其其中中可可設設babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab從從而而得得xxxxp 232)(故故例例6 6.1,2cos1,1)(的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 xxxxxf 解解改改寫寫成成將將)(xf 1, 111,2c

28、os1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內連續(xù)內連續(xù)在在顯然顯然 xf,1時時當當 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時時當當 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(連連續(xù)續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連續(xù)連續(xù)在在 xf例例7 7).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得證證明明

29、必必有有一一點點且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設設證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零點定理知由零點定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上綜上,1 , 021, 0 必有一點必有一點.)()21(成成立立使使 ff 一、一、

30、 選擇題：選擇題：1 1函數函數21arccos1 xxy的定義域是的定義域是（ ）(A)(A)1 x；(B)(B)13 x；(C)(C)1,3( ；(D)(D) 131 xxxx. .2.2.函數函數 30 , 104, 3)(2xxxxxf的定義域是的定義域是（ ）(A)(A)04 x；(B)(B)30 x; ;(C)(C)3,4( ; ;(D)(D) 3004 xxxx. .測測 驗驗 題題3 3、函函數數xxxysincos 是是（ ）( (A A) )偶偶函函數數； ( (B B) )奇奇函函數數；( (C C) )非非奇奇非非偶偶函函數數；( (D D) )奇奇偶偶函函數數. .

31、4 4、函函數數xxf2cos1)( 的的最最小小正正周周期期是是（ ） ( (A A) )2 2 ； ( (B B) ) ； ( (C C) ) 4 4 ； ( (D D) )21 . .5 5、函函數數21)(xxxf 在在定定義義域域為為（ ）( (A A) )有有上上界界無無下下界界； ( (B B) )有有下下界界無無上上界界；( (C C) )有有界界，且且 2121)( xf ；( (D D) )有有界界，且且 2122 xx . .6 6、與、與2)(xxf 等價的函數是等價的函數是（ ） (A) (A) x； (B) (B) 2)(x； (C)(C) 33)(x； (D)(D) x . .7 7、當、當0 x時，下列函數哪一個是其它三個的高階時，下列函數哪一個是其它三個的高階無窮小無窮?。?） （A A）2x； （B B）xcos1 ； （C C）xxtan ； （D D）)1ln(x . .8 8、設設, 0,00 ba則則當當（ ）時時有有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx . . ( (A A) )nm ； ( (B B) )nm ； ( (C C) )nm ； ( (D D) )nm ,任任意意取取 . .二二、求求下下列列函函數數的的定定義義域域：9 9