同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)-第一章習(xí)題課ppt課件

1、（一函數(shù)的定義（一函數(shù)的定義（二極限的概念（二極限的概念（三連續(xù)的概念（三連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容函函 數(shù)數(shù)的定義的定義反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性雙曲函數(shù)與雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)1 1、函數(shù)的定義、函數(shù)的定義記記作作的的函函數(shù)數(shù)，是是對對應(yīng)應(yīng)，則則稱稱則則總總有有確確定定的的數(shù)數(shù)值值和和它它按按照照一一定定法法，變變量量集集如如果果對對于于每每個個數(shù)數(shù)是是一一個個給給定定的的數(shù)數(shù)是是兩兩

2、個個變變量量，和和設(shè)設(shè)定定義義)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因變變量量叫叫做做自自變變量量，叫叫做做這這個個函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域數(shù)數(shù)集集yxD.),(稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的值值域域函函數(shù)數(shù)值值全全體體組組成成的的數(shù)數(shù)集集DxxfyyW 函數(shù)的分類函數(shù)的分類函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項(xiàng)等函數(shù)有無窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )(1) 單值性與多值性單值性與多值性:若若對對于于每每一一個

3、個Dx ,僅僅有有一一個個值值)(xfy 與與之之對對應(yīng)應(yīng),則則稱稱)(xf為為單單值值函函數(shù)數(shù),否否則則就就是是多多值值函函數(shù)數(shù).xyoxey xyo1)1(22 yx2 2、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)(2) 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)有有對對于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱設(shè)設(shè),DxD ;)()()(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xfxfxf ;)()()(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xfxfxf yxoxyoxy 3xy (3) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性: 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D，如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn) 及 ，當(dāng) 時(shí)，恒有： (1) ,則稱函數(shù) 在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或

4、(2) , 則稱函數(shù) 在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。1x2x21xx )()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0時(shí)為減函數(shù)時(shí)為減函數(shù)當(dāng)當(dāng) x;0時(shí)為增函數(shù)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)當(dāng) x.)(,)(, 0,否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)成成立立有有若若XxfMxfXxMDX (4) 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:;), 0()0 ,(上上無無界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，如果存在一個不為零的，如果存在一個不為零的數(shù)數(shù)l,使得對于任一使得

5、對于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,則稱則稱f(x)為周期函數(shù)為周期函數(shù),l 稱為稱為 f(x) 的周期的周期.（通（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.Dx Dlx )(5) 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:oyx11xxy 1 T3 3、反函數(shù)、反函數(shù).)()(1稱稱為為反反函函數(shù)數(shù)確確定定的的由由xfyxfy 0 yexy如如4 4、隱函數(shù)、隱函數(shù).)(0),(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)由方程由方程xfyyxF xysinh )(1xfy sinhar x)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy

6、 5、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系則則函數(shù)函數(shù)是一一對應(yīng)是一一對應(yīng)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 圖象對稱于直線圖象對稱于直線的的與與6 6、基本初等函數(shù)、基本初等函數(shù)1冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx3對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxya4三角函數(shù)三角函數(shù);cosxy ;sin xy 5反三角函數(shù)反三角函數(shù);arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx7 7、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)

7、設(shè)函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD,而函數(shù)而函數(shù))(xu 的 值 域 為的 值 域 為 Z, 若若 ZDf, 則 稱 函 數(shù)則 稱 函 數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù).8 8、初等函數(shù)、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為初等函數(shù)稱為初等函數(shù).9 9、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙雙曲曲正

8、正切切雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinh xy 反雙曲正弦反雙曲正弦ar;tan xy 反反雙雙曲曲正正切切ar;cosh xy 反雙曲余弦反雙曲余弦ar;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx 左右極限左右極限兩個重要兩個重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無窮小無窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件判定極限判定極限存在的準(zhǔn)則存在的準(zhǔn)則無窮小的比較無窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性

9、質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)唯一性唯一性無窮小無窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無窮大無窮大 )(limxf定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) (不論它多么不論它多么小小),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N,使得對于使得對于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn., 0, 0 axNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使

10、使1 1、極限的定義、極限的定義定定義義N 定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的的一切一切x, ,對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極

11、限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng).)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理無窮小無窮小:極限為零的變量稱為無窮小極限為零的變量稱為無窮小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或記記作作絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大無窮大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或記記作作在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為恒不為零的無窮

12、小的倒數(shù)為無窮大零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系2 2、無窮小與無窮大、無窮小與無窮大定理定理1 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小乘積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理定理. 0,)()(l

13、im)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果推論推論2 23 3、極限的性質(zhì)、極限的性質(zhì)4 4、求極限的常用方法、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)

14、算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng)),(00rxUx (或或Mx )時(shí)時(shí),有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.5 5、判定極限存在的準(zhǔn)則、判定極限存在的準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.(夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則)(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某某過過程程.)1(lim1e 某某過過程程6 6

15、、兩個重要極限、兩個重要極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無窮小是等價(jià)的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地7 7、無窮小的比較、無窮小的比較定理定理(等價(jià)無窮小替換定理等價(jià)無窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè).),0, 0(lim)3(無無窮窮小小階階的的是是是是就就說說如如果果kkCCk 定定理理 若若)(limxf存存在在

16、,則則極極限限唯唯一一.8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的唯一性、極限的唯一性左右連續(xù)左右連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義間斷點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) 無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第一類 第二類第二類定義定義1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一鄰域內(nèi)有定義的某一鄰域內(nèi)有定義

17、, ,如果當(dāng)自變量的增量如果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對應(yīng)的函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)的增量的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連的連續(xù)點(diǎn)續(xù)點(diǎn). .1 1、連續(xù)的定義、連續(xù)的定義).()(lim200 xfxfxx 定義定義定理定理.)()(00既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)處處在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfx

18、fxfbxxf 3 3、連續(xù)的充要條件、連續(xù)的充要條件2 2、單側(cè)連續(xù)、單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf :)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件

19、中只xfxxxf4 4、間斷點(diǎn)的定義、間斷點(diǎn)的定義(1) 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf (2)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5 5、間斷點(diǎn)的分類、間斷點(diǎn)的分類跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)特點(diǎn): :.,0右極限都

20、存在右極限都存在處的左處的左函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)跳躍型跳躍型0yx0 x0yx0 x0yx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)0yx0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)的的第第二二為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)至至少少有有一一個個不不存存在在右右極極限限處處的的左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf.,)(,),(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)則則稱稱處處左左連連續(xù)續(xù)在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間baxfbxaxba 6 6、閉區(qū)間的連續(xù)性、閉區(qū)間的連續(xù)性7

21、7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1 1 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若8 8、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)

22、連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9 9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值的函數(shù)一定有最大值和最小值. .定理定理 3(3(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba,

23、上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號異號( (即即0)()( bfaf),),那末在開區(qū)間那末在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù))(xf的一個零的一個零點(diǎn)點(diǎn), ,即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) )(ba ，使，使0)( f. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在該區(qū)間上有界. .推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值與最小值m之間的任何值之間的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ba, 上上連續(xù)，且在這區(qū)間的

24、端點(diǎn)取不同的函數(shù)值連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值 Aaf )( 及及 Bbf )(, ,那末，對于那末，對于A與與B之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)C，在開區(qū)間，在開區(qū)間 ba,內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使得，使得cf )( )(ba . .二、典型例題二、典型例題例例1 1.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即例例2 2).(. 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其其中中設(shè)設(shè) 解解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性,1xxt

25、 令令,11tx 即即代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,12)11()(xxfxf 即即,111uux 令令,11ux 即即代入上式得代入上式得,)1(2)1()11(uuuufuf ,)1(2)1()11(xxxxfxf 即即 xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組. 1111)( xxxxf例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 那么那么xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim24

26、2原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例4 4.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設(shè)設(shè),)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 310)1sin1tan1(1limxxxx 原原式式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)

27、sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原原式式例例5 5).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式設(shè)設(shè) 解解, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中可可設(shè)設(shè)babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab從從而而得得xxxxp 232)(故故例例6 6.1,2cos1,1)(的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 xxxxxf 解解改改寫寫成成將將)(xf 1, 111,2c

28、os1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然 xf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(連連續(xù)續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連續(xù)連續(xù)在在 xf例例7 7).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得證證明明

29、必必有有一一點(diǎn)點(diǎn)且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上綜上,1 , 021, 0 必有一點(diǎn)必有一點(diǎn).)()21(成成立立使使 ff 一、一、

30、 選擇題：選擇題：1 1函數(shù)函數(shù)21arccos1 xxy的定義域是的定義域是（ ）(A)(A)1 x；(B)(B)13 x；(C)(C)1,3( ；(D)(D) 131 xxxx. .2.2.函數(shù)函數(shù) 30 , 104, 3)(2xxxxxf的定義域是的定義域是（ ）(A)(A)04 x；(B)(B)30 x; ;(C)(C)3,4( ; ;(D)(D) 3004 xxxx. .測測 驗(yàn)驗(yàn) 題題3 3、函函數(shù)數(shù)xxxysincos 是是（ ）( (A A) )偶偶函函數(shù)數(shù)； ( (B B) )奇奇函函數(shù)數(shù)；( (C C) )非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù)；( (D D) )奇奇偶偶函函數(shù)數(shù). .

31、4 4、函函數(shù)數(shù)xxf2cos1)( 的的最最小小正正周周期期是是（ ） ( (A A) )2 2 ； ( (B B) ) ； ( (C C) ) 4 4 ； ( (D D) )21 . .5 5、函函數(shù)數(shù)21)(xxxf 在在定定義義域域?yàn)闉椋?）( (A A) )有有上上界界無無下下界界； ( (B B) )有有下下界界無無上上界界；( (C C) )有有界界，且且 2121)( xf ；( (D D) )有有界界，且且 2122 xx . .6 6、與、與2)(xxf 等價(jià)的函數(shù)是等價(jià)的函數(shù)是（ ） (A) (A) x； (B) (B) 2)(x； (C)(C) 33)(x； (D)(D) x . .7 7、當(dāng)、當(dāng)0 x時(shí)，下列函數(shù)哪一個是其它三個的高階時(shí)，下列函數(shù)哪一個是其它三個的高階無窮小無窮小（ ） （A A）2x； （B B）xcos1 ； （C C）xxtan ； （D D）)1ln(x . .8 8、設(shè)設(shè), 0,00 ba則則當(dāng)當(dāng)（ ）時(shí)時(shí)有有 00110110.limbabxbxbaxaxannnmmmx . . ( (A A) )nm ； ( (B B) )nm ； ( (C C) )nm ； ( (D D) )nm ,任任意意取取 . .二二、求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域：9 9