雙曲線解答題5

1、雙曲線解答題52 280、設(shè)雙曲線 篤一與=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)M(xo,yo),左、右焦點(diǎn)為Fi、F2,離心 a b率為e,記r|MF, ,r2 = MF2| ,求證該雙曲線的焦半徑公式是：ri= a +ex（）, r2 = a ex381、求證：以雙曲線焦半徑為直徑的圓，必與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相切82、求證：等軸雙曲線上任一點(diǎn)到中心的距離是這點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離的比例 中項(xiàng)83、已知雙曲線的焦點(diǎn)為Fi、F2( F1F2 = 2c),實(shí)軸長為2a試證明：平面內(nèi)到兩 焦點(diǎn)Fi、F2的距離的平方差的絕對值等于(2a)2的點(diǎn)的軌跡是已知雙曲線的兩條 準(zhǔn)線84、等軸雙曲線的頂點(diǎn)A

2、,平行于實(shí)軸的弦MN,求證： AMN是直角三角形.85、 求證：雙曲線上任一點(diǎn)到兩條漸近線的距離的積等于定值.2 286、 經(jīng)過雙曲線-y1的右焦點(diǎn)F的直線I與一條漸近線I 1垂直于A，交8 16另一條漸近線l2于B，求證：線段AB被雙曲線的左準(zhǔn)線平分。2 287、已知雙曲線C:篤-爲(wèi) JF1、F2分別是它的左右焦點(diǎn) 拋物線l的焦點(diǎn)與a bC的右焦點(diǎn)重合,l的準(zhǔn)線與C的左準(zhǔn)線重合,P是C和l的一個交點(diǎn).求證：世d 一血九| PF2 | PF1 |288、點(diǎn)P在雙曲線-a2 y b2=1 上,F1、F2為焦點(diǎn), PF1F2的內(nèi)切圓切x軸于A點(diǎn),如圖,求證：A為雙曲線的頂點(diǎn).2 289、已知AB是

3、雙曲線務(wù)-占=1過焦點(diǎn)F1的任意一條弦，以AB為直徑的圓 a2 b2被F1相應(yīng)的準(zhǔn)線截得圓弧 MN,求證：弧MN的度數(shù)為定值.90、求證：經(jīng)過雙曲線上任一點(diǎn)，作兩條直線分別平行于兩條漸近線，則圍成的平行四邊形的面積為定值91、 F1MF2的頂點(diǎn)Fl、F2是雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線2 白上若/ FiMF2=r,求證： F1MF2的面積 S=b2ctg丁2 292、AB是雙曲線篤-爲(wèi)=1的一條弦,AB的中點(diǎn)為M,雙曲線中心為O,如果AB、a bb2OM的斜率分別為k、ko,求證：kko=.a93、設(shè)一直線交雙曲線于點(diǎn) A、B,交雙曲線的漸近線于點(diǎn) C、D,求證：I

4、 AC = BD2 294、已知點(diǎn)A是雙曲線篤-與=1上的動點(diǎn)，0是雙曲線中心，線段0A的中點(diǎn)a b為M.試求點(diǎn)M的軌跡方程，并證明點(diǎn)M的軌跡是與已知雙曲線離心率相等的雙 曲線.95、 證明：兩條準(zhǔn)線把兩焦點(diǎn)間的線段分成 1： 2： 1的雙曲線是等軸雙曲線.96、設(shè)雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦距、離心率分別為 2a、2b、2c、e;焦點(diǎn)到 相應(yīng)準(zhǔn)線的距離叫焦準(zhǔn)距，記為p;過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長度記為d.求b2證：(1)p= (2)d = 2ep.c97、設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在漸近線上的射影為 G,求證：G是準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)2 298、已知直線I和雙曲線 篤-與=1(a>0,b>

5、0)及其漸近線依次交于 A,B,C,D a b四點(diǎn)(如圖),求證：|AB|=|CD|.99、證明：雙曲線的一條漸近線和一條準(zhǔn)線交于 H點(diǎn)則由雙曲線中心O到H 的線段長等于雙曲線的實(shí)半軸長.2 2100、雙曲線 牛-專=1( b> a> 0)上有兩點(diǎn)A、B,它們與中心O的連線互相垂a b直'求證丘+a是定值.2 2101、雙曲線x2 -yT=1中一條準(zhǔn)線和一漸近線的交點(diǎn)為 M，與這條準(zhǔn)線相對a b應(yīng)的焦點(diǎn)為F,求證：MF與這條漸近線垂直。102、設(shè)A、B是等軸雙曲線x2 y2=a2的兩個頂點(diǎn)，MN是該雙曲線垂直于x 軸的弦，如圖所示，求證：/ MAN +Z MBN=1800.

6、2yz =1(a>0, b>0)的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，P是其右b2103、設(shè)F1、F2為雙曲線2-a支上的一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，設(shè)/ PF1F2=a，/ PF2F1= B，e為雙曲線的離心率,e -1求證：t *ctg 104、求證：雙曲線的漸近線、過焦點(diǎn)與該漸近線垂直的直線以及對應(yīng)此焦點(diǎn) 的準(zhǔn)線經(jīng)過同一點(diǎn)。105、過點(diǎn)P( 2,2 )的直線被雙曲線x2 2y2=8截得的弦MN的中點(diǎn)恰好為P,求|MN|的值.，點(diǎn)M(3.2,2.4)是其準(zhǔn)線和漸近線的交點(diǎn),求106、已知雙曲線以兩坐標(biāo)為對稱軸 此雙曲線的方程.2 2107、一個圓的圓心在雙曲線釘bk% 0,b0)的右焦點(diǎn)F2上該圓過雙曲線的中

7、心，交雙曲線于點(diǎn)P直線PF1(F1是雙曲線的左焦點(diǎn))是該圓的切線，求雙曲 線的離心率e.108、已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為C-3,0)。(1)求雙曲線C的方程； 若直線I: y =kx 2與雙曲線C恒有兩個不同的交點(diǎn) A和B，且OA OB 2（其中0為原點(diǎn)），求k的取值范圍雙曲線解答題5 解答與提示80、提示：利用雙曲線第二定義81、提示：利用雙曲線定義和三角形中位線定理證明兩圓圓心距等于半徑之 和或半徑之差的絕對值。82、利用焦半徑公式.2 283、設(shè) Fi (- c, 0)、F2(c, 0), M(x , y)為軌跡上任意一點(diǎn)，則 |(x+c) +y -222a

8、(x - c) +y |=4a 所以 x =： c84、提示：證明MA、NA的斜率乘積為-1_2.285、提示：用距離公式計(jì)算，定值為光86、F(2.6,0), l_h =丨:JT¥6），代入漸近線方程2y16得.設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（X0,y0),貝U X0=(xa + xb)=-22.63左準(zhǔn)線方程為x=-3、6, AB被左準(zhǔn)線平分87、證明：|PFi |IPF2Ic又lPF1ITP護(hù)a -專晉12a2ca _ IPF21 cIPF1 |PFi | |FiF2 | |PFJ _ I PFi |PFi|-|PF2| IF1F2I|PiF2 |= | PF2 |88、證明： 如圖：|P

9、Fi|=|PM|+ |MFi|=|PM|+ |FiA| |PF?|=|PN|+ |NF2|=|PN|+ |F2A| 又|PF1|PF2|=2a |FiA| + |F2A|=|FiF2|=2c, |PM|=|PN|得 |FiA| |F2A|=|FiF2| |F2A| |F2A|=2a 2|F?A|=2c 2a 二 |F2A|=c a A(a,O)即卩A為雙曲線一個頂點(diǎn)，同理可證，點(diǎn)P在左支上時，點(diǎn)A ' ( a,0).89、先證圓與準(zhǔn)線相交,然后得弧MN的弧度數(shù)為2arccose為雙曲線離e 心率).90、定值為丄ab,a、b為雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長.291、提示：在厶FiMF2中使

10、用余弦定理，并結(jié)合|MFi - MF2 = =2a93、提示：設(shè)雙曲線方程為92、提示：類比于橢圓。b2x2-a2y2=a2b2,則漸近線方程為b2x2-a2y2=0,再設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理證明線段AB與CD的中點(diǎn)重合.94、X2a 2(2)2=1離心率都為.a2 b2a95、略96、略97、略98、證明：若直線I不與x軸垂直，則可設(shè)I的方程為y=kx+m,代入雙曲線方程 b2x2 a2y2 a2b2=0,并整理得 (b2 a2k2)x2 2a kmx a2(m2+b2)=0,設(shè)A(X1,y1),D(X2,y2),則捲 x?2 a2 km2 2 2 b -a k.再將y=kx+m代入雙曲線

11、漸近線方程得 b2x2 a2y2=0,并整理得(b2 a2k2)x2 2a2kmx a2m2=0,設(shè) B(X3,y3),C(X4,y4),則2a2kmX3 X422 2 .X1+X2=X3+X4.b -a k這說明線段AD的中點(diǎn)和線段BC的中點(diǎn)重合,故|AB|=|CD|.99、略100、定值為 丄-厶.提示：選擇中心為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系a ba2X 2101、解：M : $ c，M( ,-ab)，F(xiàn)(c, 0)，bc cy = _ x. aKmf=-,b MF與漸近線y= -x垂直 a102、略解.記/ MAX= a，/ MBX= B ,貝U 0v a V B V 90°. 由對稱性/

12、MNA= 2 a，/ MBN=2 B ,設(shè) M(X1, y1)(x1>0, y1>0),則 X12 y12=a2.tg a =tgZ MAX= tg B = / MBN= ,捲 +aXj a2 tga tg B = y1 = =1二 tga =tg B =tg(900 B ).X1 + aX1 - a x1 - a0v 90 B V 90 , 0V a V 90 . a =90 B 由此，可得結(jié)論，/ MAN +Z MBN=1800.103、提示：應(yīng)用正弦定理及比例的性質(zhì).104、 略105、2 . 3022小 22106、x -y 才或-9xy =1169256 16107、2解

13、：雙曲線務(wù)a2=1 (a> 0,b> 0)沖心(0,0),c2=a2+b2, b左焦點(diǎn)F1(-1,0),右焦點(diǎn)F2(c,0)圓的方程為(x-c)2+y2=c2由題意,PF1為圓的切線 PF1丄PF2, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2(1)又點(diǎn) P在雙曲線上，.|PF1|-|PF2|=2 又|P冋I是圓的半徑， |PF2匸c,2 2 2|PF1|=2a+c,|F1F2|=2c代入(1)式，得(2a+c) +c =(2c),22 c 2 c4si+4ac-2c2=0,A ()2 - 2() - 2 =0.a ac1 二.、3，又 e> 1,二 e=1. 3 .a2 2108、解：（1）設(shè)雙曲線方程為 篤-爲(wèi)=1 （a 0,b 0）.a b由已知得a二、.3,c =2,再由a2b2=22,得 b2 =1.2=1.1 得 (1 -3k2)x2 - 6. 2kx - 9 = 0.故雙曲線C的方程為-y232(2)將y = kx 、2代入3由直線 I 與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得1 -3k2 =0,：=(6、2k)2 36(1 -3k2) =36(1-k2)