九年級數(shù)學(xué)分式中的整式的除法分式及其基本性質(zhì)分式的運(yùn)算華東師大版知識精講

1、初三數(shù)學(xué)初三數(shù)學(xué)分式中的整式的除法，分式及其基本性質(zhì)，分式的運(yùn)算分式中的整式的除法，分式及其基本性質(zhì)，分式的運(yùn)算華華東師大版東師大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 第 21 章 分式中的整式的除法，分式及其基本性質(zhì)，分式的運(yùn)算知識與技能 1. 知道同底數(shù)冪的除法法則，并能運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算； 2. 能用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算； 3. 能進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算； 4. 掌握分式的基本概念，會(huì)在代數(shù)式中辨別分式； 5. 會(huì)運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分； 6. 熟練進(jìn)行分式的加減乘除運(yùn)算； 7. 掌握分式的乘方； 8. 會(huì)根據(jù)運(yùn)算順序和法則，進(jìn)行簡單的四則混合運(yùn)算。教學(xué)過

2、程（一）知識點(diǎn)回顧 1. 同底數(shù)冪的除法法則：即同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，用式子表示為（m，n 為正整數(shù)，）aaamnm nmna ， 0 2. 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：是將系數(shù)及同底數(shù)冪分別相除，如果某個(gè)字母只在被除式里出現(xiàn)，則將該字母及其指數(shù)直接寫到商里面。 3. 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。（注意：不要漏項(xiàng)，即所得的結(jié)果項(xiàng)數(shù)應(yīng)與被除式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同；要注意商的符號，弄清多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號是什么，相除時(shí)要帶著符號與單項(xiàng)式相除。） 4. 分式的概念：形如（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B0）的式子叫做分式，AB其中 A 叫分式的分子

3、，B 叫分式的分母（注意：分式的典型特征是分式的分母中含有字母） 分式有意義的條件：分式的分母必須不等于零。 分式的值是零的條件：分母不等于零，分子等于零。 分式的基本性質(zhì)：即分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零 的整式，分式的值不變。用式子表示為。（這里要求 B0，M0）ABAMBMABAMBM， 約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子分母中的公因式約去，使分式變得簡單。（注意：如果分式的分子，分母都是單項(xiàng)式，就直接約去分子，分母的公因式，即分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低次冪；如果分子、分母都是多項(xiàng)式，就先分解因式，找出公因式再進(jìn)行約分；約分時(shí)一定要徹底。） 通分：即把幾個(gè)異

4、分母的分式分別化為與原來的分式相等的同分母的分式，為進(jìn)行分式的加減奠定基礎(chǔ)。 （注意：通分的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各個(gè)分式中分母的最簡公分母，即各分母所有因式的最高次冪的積。求最簡公分母的一般方法是：a. 如果各分母都是單項(xiàng)式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同字母都寫在積里；b. 如果各分母都是多項(xiàng)式，就要先把它們分解因式，然后把各個(gè)因式當(dāng)作一個(gè)字母，再按照單項(xiàng)式的方法從系數(shù)、相同因式、不同因式三個(gè)方面確定）。 5. 分式的運(yùn)算： 分式的乘除法：分式的乘除歸根結(jié)底是乘法運(yùn)算，實(shí)質(zhì)就是分式的約分，其運(yùn)算結(jié)果要化為最簡分式，分式乘分式，用分子的積作積的分子，用分母的積做積

5、的分母；分式除以分式，把除式分子，分母顛倒位置后，與被除式相除。 分式的乘方：把分子、分母各自乘方，用式子表示為（n 為正整數(shù)），( )ababnnn乘方時(shí)一定要把分式加上括號。 分式的加減法，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即；異分母的分式相加減，先通分，變成同分母的分式再加減，計(jì)算結(jié)果要acbcabc化成最簡分式。 分式的混合運(yùn)算：混合運(yùn)算的順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號，計(jì)算結(jié)果化為最簡分式。【典型例題典型例題】 例 1. 計(jì)算： ()()aa2432 ()()3332yxxy 分析：分析：先應(yīng)用冪的乘方把兩個(gè)底數(shù)都化為同底數(shù)再進(jìn)行相

6、除。 把看成一個(gè)整體，把轉(zhuǎn)化為，也可把()()xyyx33、()xy 32()32yx，通常為方便起見，常改變偶數(shù)次冪的項(xiàng)；()()3333yxxy轉(zhuǎn)化成 解：()()aa2432aaa862 ()()3332yxxy ()()33332yxyxyx 例 2. 已知的值。36923241mnmn，求 分析：分析：運(yùn)用冪的有關(guān)性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為含有已知條件的代數(shù)式。3241mn 解法一：解法一： 333333324124222mnmnmn() ()()39322mn ，36923393623272412222mnmnmn()() 解法二：解法二： ，92933222nnnn() 333324124m

7、nmn ()()3336232722222mn 例 3. 下列運(yùn)算正確的是（ ） A. ()()62336332a baba b B. ()() 21323332x yxyxy C. ()() a b ca bab4534 D. ()( .)x y zx yxyz322052 分析：分析：A 中是錯(cuò)誤的；B 中，aaabbb33632， 21323是錯(cuò)誤的；C 中被除式里的 c 在商中丟掉 3，這是錯(cuò)誤的。xxx3 答案：答案：D。 例 4. 計(jì)算： 324522a x yaxy() 6325642322a b ca b cab c()() 分析：分析：中有括號，應(yīng)先按積的乘方運(yùn)算出，然后再按

8、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法()axy22則相除，注意符號。中三個(gè)單項(xiàng)式相除可以一起相除。 解：解：324522a x yaxy() 332452242a x ya x yx y 6325642322a b ca b cab c()() ()()()()63252632422 aaabbbccca bc 例 5. 計(jì)算： ()()3595923453745553a ba ba ba b 分析：分析：此題就是考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，易錯(cuò)點(diǎn)在于相除時(shí)各項(xiàng)的符號容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。 解：解：()()3595923453745553a ba ba ba b 353495349234535374535553a ba ba

9、 ba ba ba b()()() 45125622a bb 例 6. 已知一個(gè)多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的積是，試求該多項(xiàng)式。22x yx yx y32212 分析：分析：已知兩個(gè)因式的積和一個(gè)因式，求另一個(gè)因式就是用積去除以已知因式，注意符號。 解：解：()()x yx yx y3222122 x yx yx yx y322222122()() 1214xy 該多項(xiàng)式為1214xy 例 7. 在下列式子中，哪些是整式，哪些是分式 。1305251018222xa bxyybcaxya，. 分析：分析：看一個(gè)式子是否為分式，關(guān)鍵是看其分母中有無字母。 解：解：整式有：。a bxyya2223051018

10、，. 分式有：。125xbcaxy， 例 8. 當(dāng) x 取何值時(shí)，下列分式有意義？ （1）（2）xx1211| | x （3）（4）412xx xxx22 分析：分析：只有當(dāng)分式的分母不等于零時(shí)，分式才有意義。 解：解：（1）由有意義。xxxxx 202212，得，當(dāng) 時(shí)，分式 （2）有意義。由，可得 ，當(dāng) 且 時(shí)，分式| | |xxxxx 1011111 （3）由有意義。xxxxx221011141，得 ，當(dāng) 且 時(shí)，分式 （4）由當(dāng) x0 且 x2xxx xxx212202002 ，得，()時(shí)，有意義。分式xxx22 例 9. 下列分式中 x 為何值時(shí)，分式的值為零？ | | xx1128

11、2822xxx 分析：分析：只有當(dāng)分式的分母不等于零時(shí)，分式才有意義？ 解：解：當(dāng)，即時(shí)，分式的值為零。| | xx 1010 x 1| | xx11 當(dāng)?shù)闹禐榱恪?80280228282222xxxxxxx ，即時(shí)，分式 例 10. 不改變分式的值，將下列分式的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù)。 （1）（2）0300205.xyxy13141223xyxy 分析：分析：式中的分子、分母要同乘以 50；中的分子分母要同乘以 12，即分子、分母同乘各分母的最小公倍數(shù)。 解：解：（1）0300205.xyxy( .)( .)03500020550155025xyyxyxy （2）13141223xyxy

12、()()1314121223124368xyxyxyxy 例 11. 將下列各式進(jìn)行約分。 123232xyx ynn162032xxxx 2432x xyy yx()()xyzxyz2222()() 分析：分析：式直接約分；、兩式需先進(jìn)行因式分解，讓分子分母中產(chǎn)生公因式，再進(jìn)行約分；式需將看作整體，并統(tǒng)一成相同的因式。()()xyyx或 解：解：123232xyx ynn 34342222x yx yx yx ynn() 162032xxxx xxxxxx xxxxxxx()()()()()()()()44544454452 2432x xyy yx()()2422223222x xyy x

13、yxyx xyxyyx xyy()()()()()() xyzxyz2222()()()()()()xyz xyzxyz xyzxyzxyz 例 12. 通分 xabya bc6922，aaaa1216122， 分析：分析：的最簡公分母是；的最簡公分母是1822a b c() ()aa112 解：，xabya bca b c69182222與的最簡公分母是 ，xabxacabacacxa b c63633182222 ya bcyba bcbbya b c92922182222 aaaaaa1216111222與的最簡公分母是() () aaaaaaaaaaa121111121112222()

14、()()()() () 6161111661122aaaaaaaa()()()()() () 點(diǎn)評：找準(zhǔn)最簡公分母是通分的關(guān)鍵。 例 13. 計(jì)算：（考查分式的乘除法和乘方） （1）mmmmm2244323 （2）mnmnnmmnmnm2222()() 分析：分析：（1）式中分子、分母先進(jìn)行因式分解；（2）式需將中間一項(xiàng)先乘方。 解：解：（1）mmmmm2244323 ()()()()mmmmmmmm22133221 （2）mnmnnmmnmnm2222()() ()()()()mn mnmnnmm nmmnmnmn22222 14. 計(jì)算（考查分式的加減運(yùn)算） （1）xyxyxyxyxyxy

15、3223222222 （2）mnnmnmnmnm22 （3）16416434922xyxyxyx （4）aa242 分析：（1）中所有分式的分母相同；（2）中運(yùn)用符號法則易化成同分母，再運(yùn)用同分母分式相加減的法則進(jìn)行；（3）先通分將各分式分母化成同分母；（4）將 a+2 看作整體，兩個(gè)代數(shù)式通分，公分母為。a 2122aa或 解：解：（1）xyxyxyxyxyxy3223222222 ()()()()()()xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy xyxy322332232222222222 （2）mnnmnmnmnm22 mnnmnnmmnmmnnmnmnmnm22221 （3）1

16、6416434922xyxyxyx 12 3212 323232312 3212 3233232()()()()()()()()xyxyxyxyxxyxyxxyxy 322 3232322 3232322 3232xyxyxyxyxyxyxxyxy()()()()()() 3232322 3232xyxyxxyxy()()()() 323262 3232xyxyxxyxy()() 462 3232132yxxyxyxy()() （4）aa242 aaaaaa214222242()() aa22 例 5. 計(jì)算：（考查分式的混合運(yùn)算） （1）()xyxxyyyx2222 （2）xxxxxxx22

17、3323122 （3）()xxxxxxxx1346322 分析：分析：（1）式先算乘法，再算加法；（2）式先分解因式，除法變成乘法；（3）式則先算括號內(nèi)的部分。 解：（1）()xyxxyyyx2222 ()()()xyxxy xyyyx22 xxyyxyxyxy2222 ()()xy xyxyxy （2）xxxxxxx223323122 x xxxxxx()()()3121322 xxxxx22222 （3）()xxxxxxxx1346322 x xxxx xxxx x()()()()()()()1433233 xxxxx xxx2271232() 623263()()xx xxxx 點(diǎn)評：點(diǎn)

18、評：對分式的混合運(yùn)算，因式分解是關(guān)鍵，認(rèn)真細(xì)心是保證。 例 16. 化簡，求值。 （1），其中xxxxxx111131234()x 31 （2），其中 a 滿足()aaaaaaaa221444222aa2210 分析：分析：（1）式將分子分母能分解因式的因式分解，然后約分、通分，最后代入數(shù)值。 （2）式在化簡之后，根據(jù)式子特征，應(yīng)將看成一個(gè)整體來處理。aa22 解：（1）xxxxxx111131234() xxxxxxxx11111131223()()()() xxxxx113121 當(dāng)x 312311232 33時(shí)，原式 （2）()aaaaaaaa221444222 （先去括號）()()aa

19、 aaaaa2212242 aa aaaaaaa aa aa2412422124()()()()()()()() aaaa aaaa aa22424424()()()() 12122a aaa() 當(dāng)時(shí)，aa2210aa221 原式。111 點(diǎn)評：點(diǎn)評：（2）式中注意到括號內(nèi)與括號外的式子有公因式可約，因此考慮到了分配律，使運(yùn)算簡便。 例 17. 已知的值。abcabcbaccab0111111，求 ()()() 分析：分析：由于所給式中各項(xiàng)都有 a、b、c，只是括號內(nèi)的項(xiàng)不相同，可abc 0，考慮將其變得相同，提取公因式后剩下，從而得解。abc 解：解：abcbaccab()()()1111

20、11 abcaabacbbcabcc()()()111111111111 aabcbabccabcabcabcabc()()()()()()1111111111111113011133 點(diǎn)評：點(diǎn)評：考查分式化簡時(shí)的靈活應(yīng)用。 例 18. 計(jì)算：2002220021200220023200223232 分析：分析：若直接進(jìn)行計(jì)算，數(shù)字較大且易出錯(cuò)，這里不妨設(shè) 2002=a，然后轉(zhuǎn)化為分式的求值運(yùn)算，將會(huì)比較簡便。 解：解：設(shè)2002 a 則原式aaaaaaaaaaaaa323232232221321222()()()() ()()()()aaaaaaaa1112122001200466766822 例 19. 化簡： 11112123199100aaaaaaa()()()()()() 分析：分析：本題通過通分化簡是不可能的，利用1121231341910的方法來解決本題較易，所查知識11212131314191101110910點(diǎn)是分式的拆項(xiàng)化簡。 解：解：原式111211131211001991100aaaaaaaa【模擬試題模擬試題】一. 計(jì)算 1. ()()()()xyyxxyxy 7632 2. ()()() ()aaaa324352322 3. ()() ()()aaaa33432332 4. ()5() 551nn