講課 第四章 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、1第四章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算4.1 位移的概念及位移計(jì)算的目的位移的概念及位移計(jì)算的目的4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理4.3 變形體體系的虛功原理和結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式變形體體系的虛功原理和結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式4.5 圖乘法圖乘法4.6 支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算4.7 互等定理互等定理 4.4 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算21.結(jié)構(gòu)位移產(chǎn)生的原因4.1 位移的概念及位移計(jì)算的目的位移的概念及位移計(jì)算的目的引起結(jié)構(gòu)位移的原因引起結(jié)構(gòu)位移的原因（1 1）荷載；）荷載；（2 2）溫度改變；）溫度改變；（3 3）支座位移

2、；）支座位移；（4 4）制造誤差；）制造誤差； （5 5）材料收縮）材料收縮結(jié)構(gòu)位移結(jié)構(gòu)位移:建筑結(jié)構(gòu)在荷載或其他因素的作用下，會(huì)發(fā)生變形建筑結(jié)構(gòu)在荷載或其他因素的作用下，會(huì)發(fā)生變形 . 由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)由于變形，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的位置將會(huì)移動(dòng)移動(dòng)，桿件的截面，桿件的截面 會(huì)會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)位移。，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)稱為結(jié)構(gòu)位移。2. 結(jié)構(gòu)位移的種類結(jié)構(gòu)位移的種類（1 1）某點(diǎn)的線位移某點(diǎn)的線位移（2）某截面的角位移某截面的角位移（3）兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移（4）兩截面間的相對(duì)角移兩截面間的相對(duì)角移線位移：線位移：角位移：角位移：絕對(duì)位移絕對(duì)位移相對(duì)位移相對(duì)

3、位移4.1 位移的概念及位移計(jì)算的目的位移的概念及位移計(jì)算的目的線位移：線位移：角位移：角位移： 一般來(lái)說(shuō)，結(jié)果的位移與結(jié)構(gòu)一般來(lái)說(shuō)，結(jié)果的位移與結(jié)構(gòu)的幾何尺寸相比都是極其微小的。的幾何尺寸相比都是極其微小的。AAxAy44.1 位移的概念及位移計(jì)算的目的位移的概念及位移計(jì)算的目的53. 計(jì)算位移的目的 （1）為了校核結(jié)構(gòu)的剛度。為了校核結(jié)構(gòu)的剛度。工程上，吊車梁允許的撓度工程上，吊車梁允許的撓度1/6001/600的跨度的跨度 （2）結(jié)構(gòu)制造和施工的需要。結(jié)構(gòu)制造和施工的需要。 （3）為分析超靜定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。為分析超靜定結(jié)構(gòu)打下基礎(chǔ)。另外，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定和動(dòng)力計(jì)算也以位移為基礎(chǔ)。另外，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)

4、定和動(dòng)力計(jì)算也以位移為基礎(chǔ)。 結(jié)構(gòu)力學(xué)中計(jì)算位移的一般方法是以虛功原理為基礎(chǔ)的。本章先介紹結(jié)構(gòu)力學(xué)中計(jì)算位移的一般方法是以虛功原理為基礎(chǔ)的。本章先介紹剛體及變形體系的虛功原理，然后討論靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。剛體及變形體系的虛功原理，然后討論靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。起拱高度起拱高度4.1 位移的概念及位移計(jì)算的目的位移的概念及位移計(jì)算的目的施工完畢后：施工完畢后：施工前：施工前：6復(fù)習(xí)功的概念4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理PABP常力作的功COSPT 力偶作的功PPdMPdTPP7力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功PPW21力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力在非

5、自身所產(chǎn)生的位移上所作的功tPWPCtt1. 實(shí)功和虛功實(shí)功和虛功4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理84.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理（1）位移的雙腳標(biāo)符號(hào)位移的雙腳標(biāo)符號(hào)ABP11211P22212k j位移發(fā)生的位置位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因產(chǎn)生位移的原因位移的大小位移的大小AB122P2122AB112P11211.實(shí)功和虛功實(shí)功和虛功94.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理1. 實(shí)功和虛功實(shí)功和虛功（2）外力的虛功外力的虛功ABP11211P22212AB122P2122AB112P1121實(shí)功實(shí)功：力在本身引起的位移上作的功。：力在本身引起的位移上作的功

6、。 實(shí)功恒為正實(shí)功恒為正虛功虛功：力在其它因素引起的位移上作：力在其它因素引起的位移上作的功。力與位移是彼此無(wú)關(guān)的量，分的功。力與位移是彼此無(wú)關(guān)的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無(wú)關(guān)的狀別屬于同一體系的兩種彼此無(wú)關(guān)的狀態(tài)。態(tài)。Tkj=Pkkj考察力作功的過(guò)程 靜力加載：0P虛功是代數(shù)量，有正有負(fù)。虛功是代數(shù)量，有正有負(fù)。注意：作功的力必須和位移在一條作用線上，否則，二者的乘積就不是功。注意：作功的力必須和位移在一條作用線上，否則，二者的乘積就不是功。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理2. 廣義力及廣義位移廣義力及廣義位移作作功功的的兩兩因因素素力：力： 集中力、力偶、一對(duì)集中力、一對(duì)力

7、偶、一個(gè)力系集中力、力偶、一對(duì)集中力、一對(duì)力偶、一個(gè)力系 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為廣義力廣義力位移：線位移位移：線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移、一組位移角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移、一組位移 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為廣義位移廣義位移 在在虛功表達(dá)式虛功表達(dá)式中涉及兩方面因素：一個(gè)是與力有關(guān)的因素，它中涉及兩方面因素：一個(gè)是與力有關(guān)的因素，它可以是一個(gè)力、一個(gè)力偶、一對(duì)力、一對(duì)力偶，甚至是一個(gè)力系，可以是一個(gè)力、一個(gè)力偶、一對(duì)力、一對(duì)力偶，甚至是一個(gè)力系，這些與力有關(guān)的因素稱為這些與力有關(guān)的因素稱為廣義力廣義力；另一個(gè)與廣義力相應(yīng)的位移因素；另一個(gè)與廣義力相應(yīng)的位移因素。把這些與位移有關(guān)的因素稱為。把這些與位

8、移有關(guān)的因素稱為廣義位移廣義位移。111P11122P21221P2P12（1）屬同一體系；）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移）均為可能狀態(tài)。即位移 應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件； 力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。 （3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)；）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)；3.虛功的兩種狀態(tài)虛功的兩種狀態(tài) 力狀態(tài)力狀態(tài) 位移狀態(tài)位移狀態(tài)AB122P2122AB112P11214.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理1212 虛功并不是不存在的功，只是強(qiáng)調(diào)作功過(guò)程中位移與力無(wú)關(guān)的特點(diǎn)虛功并不是不存在的功，只是強(qiáng)調(diào)作功過(guò)程中位移與力無(wú)關(guān)的特點(diǎn)（位移狀態(tài)中的位移并非由

9、于第一種狀態(tài)上的力所引起的），則第一種（位移狀態(tài)中的位移并非由于第一種狀態(tài)上的力所引起的），則第一種狀態(tài)上的力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的功，即為虛功。狀態(tài)上的力在第二種狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的功，即為虛功。上式中，上式中，Pk(k=1,2n)為廣義力，為廣義力， ki (k,i=1,2n)為與廣義力為與廣義力Pk相相應(yīng)的廣義位移。應(yīng)的廣義位移。 Tkj=Pk（廣義力）（廣義力） kj（廣義位移）（廣義位移）當(dāng)廣義位移與廣義力方向一致時(shí)，虛功為正，相反時(shí)為負(fù)。當(dāng)廣義位移與廣義力方向一致時(shí)，虛功為正，相反時(shí)為負(fù)。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理 應(yīng)該指出應(yīng)該指出，在虛功方程中，力狀態(tài)

10、與位移狀態(tài)是彼此獨(dú)立的，因，在虛功方程中，力狀態(tài)與位移狀態(tài)是彼此獨(dú)立的，因此，不僅可把位移狀態(tài)視為虛設(shè)的，也可把力狀態(tài)視為虛設(shè)的。此，不僅可把位移狀態(tài)視為虛設(shè)的，也可把力狀態(tài)視為虛設(shè)的。它們各有不同的應(yīng)用。它們各有不同的應(yīng)用。 4. 虛功原理的兩種應(yīng)用虛功原理的兩種應(yīng)用 對(duì)于對(duì)于剛體體系剛體體系，虛功原理敘述為：，虛功原理敘述為：計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的另一個(gè)普遍方法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的另一個(gè)普遍方法 虛功原理虛功原理，它等價(jià)于平衡方程。，它等價(jià)于平衡方程。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理 所謂剛體體系是指體系只發(fā)生所謂剛體體系是指體系只發(fā)生剛體位移，而不產(chǎn)生變形。剛體位移，而不產(chǎn)生變形。

11、W外外=0兩種應(yīng)用兩種應(yīng)用: :虛設(shè)位移虛設(shè)位移 虛位移原理求虛位移原理求靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力。虛設(shè)力系虛設(shè)力系 虛力原理求虛力原理求剛體體系的位移剛體體系的位移。0XXPPFF PPX10XPpFF XPbFFa解：解：扛桿是一個(gè)可變體系，可繞扛桿是一個(gè)可變體系，可繞 C 點(diǎn)自由點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖(b)示。把這個(gè)剛體位移取作示。把這個(gè)剛體位移取作虛虛位移，可得出虛功方程為：位移，可得出虛功方程為： XPACB ab(a)例：圖例：圖(a)示扛桿，其中示扛桿，其中B端作用巳知荷載端作用巳知荷載FP ，求扛桿平衡時(shí)在，求扛桿平衡時(shí)在A端需加的未知力。端需加的未知力。X

12、P 設(shè)設(shè) 表示位移表示位移 和和 之間的之間的比例系數(shù)：比例系數(shù)： XPPba ACB(b)ACB(c)通常取通常取 (數(shù)值為1)1X單位位移法單位位移法(1)虛設(shè)位移狀態(tài)虛設(shè)位移狀態(tài)求未知力求未知力（虛功的應(yīng)用之一（虛功的應(yīng)用之一虛位移原理虛位移原理） FPFX4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理15 這里用的是剛體體系這里用的是剛體體系虛位移原理虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程。方程。幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明： 求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系位移關(guān)系。 虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無(wú)關(guān)，故可虛設(shè)。虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無(wú)關(guān)

13、，故可虛設(shè)。小結(jié)：小結(jié)： 求解問(wèn)題直接，不涉及約束力。求解問(wèn)題直接，不涉及約束力。 虛功原理（這里用虛位移原理）的特點(diǎn)是用幾何方法解決平衡問(wèn)題。虛功原理（這里用虛位移原理）的特點(diǎn)是用幾何方法解決平衡問(wèn)題。例：如圖例：如圖(a)所示簡(jiǎn)支梁，現(xiàn)欲求所示簡(jiǎn)支梁，現(xiàn)欲求B支座反力支座反力X。步驟如下步驟如下 FpBAal圖圖(a)首先解除首先解除B支座的約束，以相應(yīng)的未知支座的約束，以相應(yīng)的未知力力X代替，于是原結(jié)構(gòu)變成了具有一個(gè)自代替，于是原結(jié)構(gòu)變成了具有一個(gè)自由度的體系，它在荷載與未知力由度的體系，它在荷載與未知力X的共同的共同作用下處于平衡狀態(tài)。作用下處于平衡狀態(tài)。使該體系產(chǎn)生符合約束條件的無(wú)限

14、小使該體系產(chǎn)生符合約束條件的無(wú)限小虛位移，如圖虛位移，如圖(c)所示。所示。 FpX圖圖(b) X p圖圖(c) 在圖在圖(b)所示的所示的力狀態(tài)力狀態(tài)與圖與圖(c)所示的所示的位移位移狀態(tài)狀態(tài)之間建立虛功方程：之間建立虛功方程： 012ppxFXT(a) 這就是虛功方程的應(yīng)用之一這就是虛功方程的應(yīng)用之一虛位移原理虛位移原理，其特點(diǎn)是將一個(gè)靜力問(wèn)，其特點(diǎn)是將一個(gè)靜力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題。題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題。 4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理012ppxFXT(a) 由由(a)易得易得 pxpFX (b) lx，appFlaX (c)若在位移狀態(tài)中令若在位移狀態(tài)中令 x=1，則，則(a)

15、式變?yōu)槭阶優(yōu)?0112ppFXTFpBAal圖圖(a)FpX圖圖(b) X p圖圖(c) lappFlaX 像這樣，沿未知力方向虛設(shè)單位位移的方法稱為像這樣，沿未知力方向虛設(shè)單位位移的方法稱為單位位移法。單位位移法。該方法該方法在用機(jī)動(dòng)法做梁的影響線時(shí)將會(huì)用到。在用機(jī)動(dòng)法做梁的影響線時(shí)將會(huì)用到。 4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理(2)虛設(shè)力狀態(tài)虛設(shè)力狀態(tài)求位移求位移（虛功方程的應(yīng)用之二（虛功方程的應(yīng)用之二虛力原理）虛力原理） 如圖如圖(a)所示的靜定梁，支座所示的靜定梁，支座B處向下移動(dòng)距離處向下移動(dòng)距離 ，現(xiàn)欲求，現(xiàn)欲求D點(diǎn)的垂直位移點(diǎn)的垂直位移 DV l/2Bll/2A圖圖(a

16、)DCl/2 DV解：求解：求 DV，可設(shè)受力狀態(tài)如圖，可設(shè)受力狀態(tài)如圖(b)所示所示DFp圖圖(b)BACVBVAVC021BDVpVFT由虛功原理得由虛功原理得 這就是虛功方程的應(yīng)用之二這就是虛功方程的應(yīng)用之二虛力原理虛力原理，其特點(diǎn)是將一個(gè)，其特點(diǎn)是將一個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力問(wèn)題。幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力問(wèn)題。 若令：若令：Fp=1，則，則pBFV4343DV43BV此時(shí)，稱為此時(shí)，稱為單位荷載法。單位荷載法。在求結(jié)構(gòu)的位移時(shí)將會(huì)用到。在求結(jié)構(gòu)的位移時(shí)將會(huì)用到。 同樣可得同樣可得43DV195.總結(jié)總結(jié)單位位移法：?jiǎn)挝晃灰品ǎ海?）撤除與未知力對(duì)應(yīng)的約束，使原來(lái)的約束力變成主動(dòng)力）撤除與未知力對(duì)

17、應(yīng)的約束，使原來(lái)的約束力變成主動(dòng)力X。（2）把體系可能發(fā)生的位移當(dāng)作虛位移，設(shè)與未知力和荷載）把體系可能發(fā)生的位移當(dāng)作虛位移，設(shè)與未知力和荷載P相應(yīng)相應(yīng)的虛位移分別為的虛位移分別為X 和和P，根據(jù)虛功原理根據(jù)虛功原理 ，列出虛功方程。，列出虛功方程。 若符合剛體體系的虛功原理，則根據(jù)若符合剛體體系的虛功原理，則根據(jù)W外外=0，虛功方程為：，虛功方程為： X X + P P =0（3）求出）求出X與與P的關(guān)系，代入上式，即可求出未知力。的關(guān)系，代入上式，即可求出未知力。 該法的關(guān)鍵步驟是找出該法的關(guān)鍵步驟是找出X與與P的關(guān)系。的關(guān)系。4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理20單位荷載法：?jiǎn)?/p>

18、位荷載法：（1）在某點(diǎn)沿?cái)M求位移的方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載。）在某點(diǎn)沿?cái)M求位移的方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載。（2）在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出支座反力）在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出支座反力R，根據(jù)虛，根據(jù)虛功原理功原理 ，列出虛功方程。，列出虛功方程。 若符合剛體體系的虛功原理，則根據(jù)若符合剛體體系的虛功原理，則根據(jù)W外外=0，虛功方程為：，虛功方程為： 1 + RC=0（3）求解方程即可求出位移）求解方程即可求出位移 。 4.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理214.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理6.應(yīng)用虛功原理時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題應(yīng)用虛功原理時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題（1）

19、力和位移都是廣義的，廣義力包括力和力偶，）力和位移都是廣義的，廣義力包括力和力偶， 廣義位移包括線位移，角位移，相對(duì)線位移，相對(duì)角位移。廣義位移包括線位移，角位移，相對(duì)線位移，相對(duì)角位移。（2）線荷載對(duì)應(yīng)的位移是線位移，力偶對(duì)應(yīng)的是角位移。）線荷載對(duì)應(yīng)的位移是線位移，力偶對(duì)應(yīng)的是角位移。（3）無(wú)論實(shí)位移還是虛位移都十分微小，因此虛位移等于）無(wú)論實(shí)位移還是虛位移都十分微小，因此虛位移等于一的說(shuō)法僅表示虛位移是一個(gè)單位的微小位移，不能說(shuō)位移大一的說(shuō)法僅表示虛位移是一個(gè)單位的微小位移，不能說(shuō)位移大小是一弧度。小是一弧度。（4）虛功原理所說(shuō)的外力包括外荷載也包括支座反力。）虛功原理所說(shuō)的外力包括外荷載

20、也包括支座反力。（5）必須能正確地判斷體系的位移圖。）必須能正確地判斷體系的位移圖。22變形體的虛功原理變形體的虛功原理： 設(shè)設(shè)變形體在力系作用下處于變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，又設(shè)又設(shè)變形體由于其它變形體由于其它原因產(chǎn)生原因產(chǎn)生符合約束條件的微小的連續(xù)變形符合約束條件的微小的連續(xù)變形，則外力在相應(yīng)位，則外力在相應(yīng)位移上所做的移上所做的外力虛功外力虛功T T 恒等于整個(gè)變形體各個(gè)微段內(nèi)力在變恒等于整個(gè)變形體各個(gè)微段內(nèi)力在變形上所做的形上所做的內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功WW。WW外外= =WW內(nèi)內(nèi) 剛體體系的虛功原理與變形體體系的虛功原理唯一不同剛體體系的虛功原理與變形體體系的虛功原理唯一不同

21、之處就是之處就是是否需要考慮內(nèi)力所作的功是否需要考慮內(nèi)力所作的功。4.3 變形體體系的虛功原理變形體體系的虛功原理23AB力狀態(tài)力狀態(tài)PqMds2.內(nèi)力虛功的計(jì)算內(nèi)力虛功的計(jì)算RARB位移狀態(tài)位移狀態(tài)qN NN N+d+dN NQ QQ Q+d+dQQMMMM+d+dMMdsdsdsduds dvd dsAB4.3 變形體的虛功原理變形體的虛功原理微段微段ds上的內(nèi)力虛功為上的內(nèi)力虛功為dW=Ndu+Qdv+Md整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功為整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功為sMsQsNWddds, sv, suddddddsMsQsNddd244.3 變形體的虛功原理變形體的虛功原理3. 虛功原理的兩種應(yīng)用虛功原理

22、的兩種應(yīng)用平面桿件結(jié)構(gòu)的虛功方程為平面桿件結(jié)構(gòu)的虛功方程為ddd (12-2)TWNsQ sMs 虛位移原理虛位移原理虛力原理虛力原理sMsQsNWdddX X + P P =sMsQsNWddd 1 + RC= P + RC=式中：式中：位移狀態(tài)中沿力位移狀態(tài)中沿力P方向的位移方向的位移 C位移狀態(tài)中沿支座反力位移狀態(tài)中沿支座反力R方向的支座位移方向的支座位移 在虛功方程中有兩組獨(dú)立的物理量，即平衡力系在虛功方程中有兩組獨(dú)立的物理量，即平衡力系P、R、Q、N、M和滿足約束條件的微小連續(xù)位移及變形、和滿足約束條件的微小連續(xù)位移及變形、 c、du、dv、d ，式中每一項(xiàng)都是虛功。式中每一項(xiàng)都是虛

23、功。254. 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式 設(shè)平面桿系結(jié)構(gòu)由于設(shè)平面桿系結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化及支座移荷載、溫度變化及支座移動(dòng)等因素引起位移如圖。動(dòng)等因素引起位移如圖。P2P1KkkKKjKj利用虛功原理利用虛功原理c1c2c3kkPK=1實(shí)際狀態(tài)位移狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)位移狀態(tài)ds虛擬狀態(tài)力狀態(tài)虛擬狀態(tài)力狀態(tài)dsKkkkM、Q、Njjj、v、uddd外力虛功外力虛功332211jCRCRCRPKKW外外=CRKj內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功W內(nèi)內(nèi)=jkjkjkdMdvQduN可得可得jkjjkKjdMdvQduNCR 求任一指定截面求任一指定截面K K沿沿任一指定方向任一指定方向 k kk k上的上的位

24、移位移KjKj 。t1t24.3 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 （4-1）26cRdMdvQduNjkjkjkKj 這便是平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式，計(jì)算時(shí)虛設(shè)單這便是平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式，計(jì)算時(shí)虛設(shè)單位荷載的指向可以任意假定，若計(jì)算結(jié)果為正，所求位移位荷載的指向可以任意假定，若計(jì)算結(jié)果為正，所求位移KjKj P PK K=1=1同向，反之反向。這種方法又稱為同向，反之反向。這種方法又稱為單位荷載法單位荷載法。P2P1KkkKKjKjc1c2c3kkPK=1實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)ds虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)力狀態(tài)力狀態(tài)dsKkkkM、Q、Njjj、v、udddt

25、1t24.3 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 274.3 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式適用范圍與特點(diǎn)：適用范圍與特點(diǎn)：2） 形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：各種廣義荷載。）變形原因：各種廣義荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。）材料種類：各種變形固體材料。1） 適于小變形，可用疊加原理。適于小變形，可用疊加原理。5. 位移計(jì)

26、算公式的普遍性表現(xiàn)位移計(jì)算公式的普遍性表現(xiàn)6. 虛擬狀態(tài)的設(shè)置虛擬狀態(tài)的設(shè)置 虛單位荷載法不僅可用來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)的線位移，而且可用來(lái)虛單位荷載法不僅可用來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)的線位移，而且可用來(lái)計(jì)算其他性質(zhì)的位移，只要虛擬狀態(tài)中的單位荷載是與所求位計(jì)算其他性質(zhì)的位移，只要虛擬狀態(tài)中的單位荷載是與所求位移相應(yīng)的廣義力即可。移相應(yīng)的廣義力即可。在應(yīng)用單位荷載法計(jì)算時(shí)，應(yīng)據(jù)所求位在應(yīng)用單位荷載法計(jì)算時(shí)，應(yīng)據(jù)所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。例如例如:A求求AHAH實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)A1A求求 A A1虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)4.3 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式當(dāng)求

27、結(jié)構(gòu)的某點(diǎn)當(dāng)求結(jié)構(gòu)的某點(diǎn)A的線位移時(shí)的線位移時(shí)可在該點(diǎn)沿其位移方向加一個(gè)可在該點(diǎn)沿其位移方向加一個(gè)單位荷載。單位荷載。當(dāng)求結(jié)構(gòu)某截面當(dāng)求結(jié)構(gòu)某截面A的的角位移時(shí)，可在該截面角位移時(shí)，可在該截面處加一個(gè)單位力偶。處加一個(gè)單位力偶。296. 虛擬狀態(tài)的設(shè)置虛擬狀態(tài)的設(shè)置A實(shí)際狀態(tài)實(shí)際狀態(tài)AA虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)B求求ABAB11B求求 ABAB114.3 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式當(dāng)求結(jié)構(gòu)的某兩點(diǎn)當(dāng)求結(jié)構(gòu)的某兩點(diǎn)A、B沿沿其連線方向的相對(duì)線位移時(shí)，其連線方向的相對(duì)線位移時(shí)，可在該兩點(diǎn)沿其連線加上兩個(gè)可在該兩點(diǎn)沿其連線加上兩個(gè)方向相反的虛單位荷載。方向相反的虛單位荷載。

28、當(dāng)求結(jié)構(gòu)兩個(gè)截面的相對(duì)當(dāng)求結(jié)構(gòu)兩個(gè)截面的相對(duì)角位移時(shí)，可在這兩個(gè)截面角位移時(shí)，可在這兩個(gè)截面上加兩個(gè)方向相反的單位上加兩個(gè)方向相反的單位力偶。力偶。30單位荷載法單位荷載法 我們知道，按照我們知道，按照虛力原理虛力原理建立的虛功方程（建立的虛功方程（4-1）式中，外力虛）式中，外力虛功一項(xiàng)是功一項(xiàng)是虛設(shè)力系的外力虛設(shè)力系的外力與與相應(yīng)位移相應(yīng)位移的乘積。因此，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)氐某朔e。因此，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x擇虛擬荷載，把需求的位移選擇虛擬荷載，把需求的位移 包括在外力虛功中，同時(shí)為了能直接包括在外力虛功中，同時(shí)為了能直接得到所求位移，在虛功方程中不再包含其它未知位移。為此，在選擇得到所求位移，在虛

29、功方程中不再包含其它未知位移。為此，在選擇虛力系時(shí)，就應(yīng)當(dāng)虛力系時(shí)，就應(yīng)當(dāng)在擬求位移在擬求位移 方向上設(shè)置虛擬荷載方向上設(shè)置虛擬荷載，而在其它地方，而在其它地方不再設(shè)置荷載，并且為了計(jì)算方便，該虛擬荷載可取為無(wú)量綱的一個(gè)不再設(shè)置荷載，并且為了計(jì)算方便，該虛擬荷載可取為無(wú)量綱的一個(gè)單位值。單位值。 例如：如圖示桁架，假設(shè)由于例如：如圖示桁架，假設(shè)由于溫 度 變 化 使 桿溫 度 變 化 使 桿 A C 、 B C 各 伸 長(zhǎng)各 伸 長(zhǎng) l=1.2mm，使桁架發(fā)生了變形，求，使桁架發(fā)生了變形，求由此而引起的由此而引起的C點(diǎn)點(diǎn) 豎向位移豎向位移 CV。 ABCD CV4m4m3m圖圖(a)位移狀態(tài)位

30、移狀態(tài)31AFp=1BCD1/ 21/20-5/ 6-5/ 612/ 32/ 3圖圖(b)虛擬受力狀態(tài)虛擬受力狀態(tài)對(duì)于本題對(duì)于本題 iiNCVlF注意：正號(hào)表示所得位移注意：正號(hào)表示所得位移 CV的方的方向與虛擬單位荷載的方向一致。向與虛擬單位荷載的方向一致。應(yīng)用虛力原理，建立虛功方程如下應(yīng)用虛力原理，建立虛功方程如下 011212dxFUTiNCV由此得由此得 iiNiNiNCVlFdxFdxFmm6 . 1BCNBCACNAClFlFABCD CV4m4m3m圖圖(a)位移狀態(tài)位移狀態(tài)321.靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算 當(dāng)結(jié)構(gòu)只受到荷載作用時(shí)當(dāng)結(jié)構(gòu)只受到荷

31、載作用時(shí)，求，求K K點(diǎn)沿指定方向的位移點(diǎn)沿指定方向的位移KPKP，此時(shí)此時(shí)沒(méi)有支座位移沒(méi)有支座位移，故式，故式（4-1）為為PkpkPkkpdMdvQduN式中：kkkM、Q、N 為虛擬狀態(tài)中微段上的內(nèi)力；為虛擬狀態(tài)中微段上的內(nèi)力；d P、duP、dvP為為實(shí)際實(shí)際狀態(tài)中微段上的變形。由材料力學(xué)知狀態(tài)中微段上的變形。由材料力學(xué)知 （a）dP=EIdsMPduP=EAdsNPdvP =GAdskQP將以上諸式代入式（將以上諸式代入式（a a）得）得GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp（ 4-2 ）4.4 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算334.4 結(jié)構(gòu)在荷

32、載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算GAdsQQkEAdsNNEIdsMMpkPkpkkp注：注： （1）符號(hào)說(shuō)明）符號(hào)說(shuō)明 （2）正負(fù)號(hào)）正負(fù)號(hào)k-為截面形狀系數(shù)為截面形狀系數(shù)1.29101AA（4-3）342. 2. 討討 論論 (1) (1) 梁和剛架梁和剛架(2) 桁架桁架EAlNNdsEANNEAdsNNPKPkPkkp(3)組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)KP=EIdsMMPkEAlNNPk在實(shí)際計(jì)算時(shí)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況在實(shí)際計(jì)算時(shí)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況, ,式式（4-3）可以簡(jiǎn)化：可以簡(jiǎn)化：4.4 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算EIdsMMpkkp(4) 拱結(jié)構(gòu)拱結(jié)

33、構(gòu)KP=EAdsNNEIdsMMPkpk（4-4）（4-5）35例例 求圖示剛架求圖示剛架A點(diǎn)點(diǎn) 的的 豎豎 向位向位移移Ay。EA、EI為常數(shù)為常數(shù)。ABCqL LLAABC1解：解：1. 選擇虛擬狀態(tài)選擇虛擬狀態(tài)xx選取坐標(biāo)如圖選取坐標(biāo)如圖。則各桿彎矩方程為則各桿彎矩方程為: :ABAB段：段：xMBCBC段：段：LM2. 實(shí)際狀態(tài)中各桿彎矩方程為實(shí)際狀態(tài)中各桿彎矩方程為ABAB段：段：BCBC段：段：MP=MP=xx22qx22qL3. 代入公式代入公式（4-4）得得Ay=EIqL854，( )EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx4.4

34、結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算36例例 ：求圖示桁架求圖示桁架C點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移CP。圖中桿旁數(shù)值為桿件的截。圖中桿旁數(shù)值為桿件的截面積，并設(shè)各桿面積，并設(shè)各桿E=2.1104kN/cm2。10kN5kN10kN2m1m2m1m8cm28cm28cm28cm24cm24cm24cm2ACBDEPk=1ACBDE桿件l(cm)A(cm2)Nk(kN)NP(kN)NkNPl(kN.cm)NkNPl/A(kN.cm-1)CDCEADBEABDEAE 2002242002242001002248888444-2.002.24-2.002.24-1.000.000.00-3

35、0.0022.36-30.0027.95-12.500.00-5.5912000112191200014024 2500 0.00 0.001500140215001735 625 0.00 0.0010.32cm()KKPPCPN N lN N ldsEAEA4.4 結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算37當(dāng)結(jié)構(gòu)符合下述條件時(shí)：當(dāng)結(jié)構(gòu)符合下述條件時(shí)：（1 1）桿軸為直線；）桿軸為直線；（2 2）EIEI= =常數(shù)；常數(shù)；（3 3）兩個(gè)彎矩圖中至少有一）兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形。個(gè)是直線圖形。 上述上述 積分可以得到簡(jiǎn)化。積分可以得到簡(jiǎn)化。MP圖圖xy面積面積 設(shè)兩個(gè)彎

36、矩圖中，設(shè)兩個(gè)彎矩圖中，M圖為一段直線，圖為一段直線，MP圖為任意形狀：圖為任意形狀：ABOABMPxMtgdxEIsMMPdd =MPdxx圖M1. 圖乘公式: 計(jì)算梁和剛架在荷載作用下的位移時(shí)，要計(jì)算積分EIsMMpkkpdEIxMxPdtgxxMEIPdtgdtgxEIxEIctgEIyc形心形心CxCyCyC=xCtg 如果結(jié)構(gòu)上各桿段均可圖乘，則：如果結(jié)構(gòu)上各桿段均可圖乘，則：EIycEIsMMpkkpd4.5 圖乘法圖乘法圖乘法的注意事項(xiàng) （1）必須符合上述三個(gè)前提條件； （2）豎標(biāo)yC只能取自直線圖形； （3）與yC在桿件同側(cè)乘積取正號(hào)，異側(cè)取負(fù)號(hào)。2. 簡(jiǎn)單圖形的面積公式和形心

37、位置Lh2L/3L/32hLLhab（L+a)/3(L+b)/32hL形心形心4.5 圖乘法圖乘法39Lh二次拋物線頂點(diǎn)L/232hL二次拋物線Lh3L/4L/43L/85L/8 1 21=2/3(hL)2=1/3(hL)頂點(diǎn)4.5 圖乘法圖乘法403 .把復(fù)雜圖形化為簡(jiǎn)單圖形把復(fù)雜圖形化為簡(jiǎn)單圖形 當(dāng)圖形的面積和形心位置不便確定當(dāng)圖形的面積和形心位置不便確定時(shí)，將它分解成簡(jiǎn)單圖形，之后分別與時(shí)，將它分解成簡(jiǎn)單圖形，之后分別與另一圖形相乘，然后把所得結(jié)果疊加。另一圖形相乘，然后把所得結(jié)果疊加。例如：例如：圖MMMP P圖圖abcd dLdxMMP )22(1baybLyaLEIya=2/3c+

38、1/3dyb=1/3c+2/3d圖MMP圖圖abcdyayb此時(shí)此時(shí)ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybyadxMMMPbPa)(bbaayyabdxMMEIP1 dxMMdxMMPbPa4.5 圖乘法圖乘法41 當(dāng)當(dāng)yC C所屬圖形是由若干段直線組成時(shí)，或各桿段的所屬圖形是由若干段直線組成時(shí)，或各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段相乘分段相乘，然后疊加。，然后疊加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1( 1y1+ 2y2+ 3y3)EI1EI2EI3=333222111EIyEIyEIy4.5 圖乘法圖乘法42 例例 4-3 求下圖所示剛架求下圖所示剛架C、D

39、兩點(diǎn)間距離的改變。設(shè)兩點(diǎn)間距離的改變。設(shè)EIEI= =常數(shù)。常數(shù)。ABCDLhq解：解：1. 作實(shí)際狀態(tài)的作實(shí)際狀態(tài)的MMP P圖。圖。MP圖圖M2. 設(shè)置虛擬狀態(tài)并作設(shè)置虛擬狀態(tài)并作圖M。11hhyC=h3. 圖乘計(jì)算圖乘計(jì)算（）CD=EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3形心8qL24.5 圖乘法圖乘法43例例 4-4 求圖示剛架求圖示剛架A A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移Ay Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：解： 1. 作作MP圖、圖、圖MP2PL2PLPLMP圖圖M1L；2. 圖乘計(jì)算。圖乘計(jì)算。Ay=（）2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=

40、16EIPL3)-2EI123L)PL4.5 圖乘法圖乘法44 例4-5 求圖示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移Cy。 EI=常數(shù)。qABCL2L8qL2M圖11y2y3解：1. 作MP圖2. 作M圖3. 圖乘計(jì)算y1=8L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy18qL2MP圖232L4.5 圖乘法圖乘法45ABCDMP（kN.m）例4-6求圖示剛架C截面的角位移 c ；點(diǎn)B的水平線位移BH ;點(diǎn)D 的豎向線位移DV 。ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI305560解：解：1、作、作MP圖圖2、求、求 c ;圖作1MABC圖1MM1=119EI140)43412

41、)(532()214)(6021()314)(3021(3EI1c（ ）4.5 圖乘法圖乘法46EIEIEI3190 )323)(33021(1 )413432)(3532()234)(6021(4)(2)3021(-31HBABCDMP（kN.m）3055603、求、求BH;圖作2MABC圖2MP2=133（ ）ABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EI4.5 圖乘法圖乘法47ABCDMP（kN.m）3055604、求、求DV;圖作3MABCD2m2m3m10kN10kN/m40kNEI3EIABC圖3MP2=11EIEI9170 2)212)(532(2)322)(6021

42、()2304)(121(-31VD（ ）4.5 圖乘法圖乘法48 對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)并不引起內(nèi)力，結(jié)構(gòu)材料也不產(chǎn)生應(yīng)變。此時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移是剛體位移。計(jì)算公式化簡(jiǎn)：Kc=cR 例4-7：圖示三鉸剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m,水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A 。hL/2L/2BxBxByBy實(shí)ABC解： 虛擬狀態(tài)如圖。ABC1BVLVB1BHhHB21 由式得AhLBxBy2h.204012060=0.0075rad （）虛4.6 支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算1.支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算49（1）靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生溫

43、度變化時(shí)的反應(yīng)特點(diǎn)靜定結(jié)構(gòu)發(fā)生溫度變化時(shí)的反應(yīng)特點(diǎn) 靜定結(jié)構(gòu)沒(méi)有多余約束，在溫度變化時(shí)不產(chǎn)生反力和內(nèi)力；靜定結(jié)構(gòu)沒(méi)有多余約束，在溫度變化時(shí)不產(chǎn)生反力和內(nèi)力； 由于材料熱脹冷縮，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。由于材料熱脹冷縮，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。（2）溫度變化作用下靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式溫度變化作用下靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式 設(shè)圖示結(jié)構(gòu)外側(cè)溫度升高設(shè)圖示結(jié)構(gòu)外側(cè)溫度升高 t1，內(nèi)側(cè)溫度升高，內(nèi)側(cè)溫度升高 t2 ,求求K點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移Kt 。t t1 1t t2 2KKKtKPK=1實(shí)虛1）溫度變化規(guī)律的假定溫度變化規(guī)律的假定沿截面高度線性變化；沿截面高度線性變化； 材料的線脹系數(shù)為材料的線脹系數(shù)為

44、 單位長(zhǎng)度在溫單位長(zhǎng)度在溫度改變度改變11時(shí)伸長(zhǎng)（或縮短）值。時(shí)伸長(zhǎng)（或縮短）值。4.6 支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算2.支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算50dxt1t2t2dxt1dxdtt t1 1t t2 2KKKtKPK=1實(shí)虛2）微段的變形微段的變形dxdx 溫度改變只引起材料纖維的伸溫度改變只引起材料纖維的伸長(zhǎng)或者縮短，因此：長(zhǎng)或者縮短，因此：微段桿軸線處的伸長(zhǎng)，微段桿軸線處的伸長(zhǎng)，桿件截面無(wú)剪應(yīng)變桿件截面無(wú)剪應(yīng)變,0;dd0 xtut22;21021211212210ttthhhthhthhhhthhtt時(shí)，微段兩端截面的相對(duì)角位移，微段兩端截面的相對(duì)角位移，;ddddd1212xhtxhtthxtxtthh1h2dxkMkNkMkNkQkQt04.6 支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算支座移動(dòng)和溫度改變引起的位移計(jì)算51Kt此時(shí)由式（4-6）可得：t t1 1t t2 2KKKtdsdxht1t2t2dxt1dxdtKdsPK=1dx實(shí)虛MMNNKtdxhtMdxtNk0k)()(3）位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式0;, xtutdd00 dd