正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別方法探究

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別方法探究摘 要：正項(xiàng)級(jí)數(shù)是一類重要的級(jí)數(shù)，對(duì)于研究一般項(xiàng)級(jí)數(shù)及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性有十分重要的意義本文主要討論了判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一些常用方法，并進(jìn)行了推廣，使其適用范圍更加廣泛，計(jì)算更加方便然后，討論各個(gè)判別法之間的聯(lián)系，判斷其強(qiáng)弱性最后，結(jié)合典型例題驗(yàn)證本文中判別法的有效性關(guān)鍵詞：正項(xiàng)級(jí)數(shù)；斂散性；判別法1 引言級(jí)數(shù)的收斂性是用部分和數(shù)列的極限來(lái)定義的一般來(lái)說(shuō)，部分和不易求得，需要依靠級(jí)數(shù)斂散性的判別法來(lái)進(jìn)行判定就正項(xiàng)級(jí)數(shù)而言，從部分和有界這個(gè)充要條件出發(fā)，推出了比較判別法它需要用已知斂散性的級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象若用等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象，就得到了柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法但

2、當(dāng)極限為1時(shí)，這兩個(gè)判別法失效若要得出結(jié)果，需要找出比等比級(jí)數(shù)收斂的更慢的級(jí)數(shù)作為比較級(jí)數(shù)，分別以級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象，得到了拉貝判別法和高斯判別法，它們的判別范圍要廣泛得多此外，可以利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性及其積分性質(zhì)，把無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分作為比較對(duì)象來(lái)判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，稱為積分判別法與之對(duì)應(yīng)的還有導(dǎo)數(shù)判別法2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)概念1定義1 設(shè)是可列無(wú)窮個(gè)實(shí)數(shù)，我們稱它們的“和” 為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù))，記為，其中稱為級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)定義2 如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即，則稱此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義3 取級(jí)數(shù)的前項(xiàng)之和，記為，則稱為級(jí)數(shù)的部分和，為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列定義4 如果部分和數(shù)列收斂

3、于有限數(shù)，則稱級(jí)數(shù)收斂，且稱它的和為，記為；如果部分和數(shù)列發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的常用判別法3.1 比較判別法1定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有上界定理2 (比較判別法) 設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在常數(shù)，成立，則(1) 當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；(2) 當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散推論 (比較判別法的極限形式) 設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果與是同階無(wú)窮小量，即，則(1) 當(dāng)時(shí)，與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；(2) 當(dāng)且級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂；(3) 當(dāng)且級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散3.2 柯西判別法與達(dá)朗貝爾判別法根據(jù)比較原則，可利用已知收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象來(lái)判別其他級(jí)數(shù)的斂散性柯西判別法

4、與達(dá)朗貝爾判別法是以等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象而得到的3.2.1柯西判別法及其推廣2定理3 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 推論1 (廣義柯西判別法1) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果()，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 證 因?yàn)椋磳?duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有 (1)對(duì)于任意常數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，有 (2)取，當(dāng)時(shí)，式(1)和式(2)同時(shí)成立(1) 當(dāng)時(shí)，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時(shí)，有，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法，級(jí)數(shù)收斂(2) 當(dāng)時(shí)，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時(shí)，有，正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散(3) 當(dāng)時(shí)

5、，取，那么對(duì)任意和常數(shù)，有而級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)收斂故不能確定級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散推論2 (廣義柯西判別法2) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果(其中且)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 證 因?yàn)?，即?duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時(shí)，有因?yàn)?，又正?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知，級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí)，取足夠小，使由上述討論，存在，當(dāng)時(shí)，有，那么，所以級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，取，那么， 而級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)收斂故不能確定級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散例1 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 若采用柯西判別法，需要計(jì)算，較為繁瑣而由廣義柯西判別法1知，該級(jí)數(shù)收斂(2) 因?yàn)?，由廣義柯

6、西判別法2知原級(jí)數(shù)收斂3.2.2 達(dá)朗貝爾判別法及其推廣定理4 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則(1) 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2) 當(dāng)或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) 當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的斂散性推論 (廣義的達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則(1) 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；(2) 當(dāng)或時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散證 (1) 當(dāng)時(shí)，對(duì)，存在，當(dāng)時(shí)，有即設(shè)，則，即，從而其中是任意正整數(shù)，可見，對(duì)，都有考慮級(jí)數(shù)的部分和序列即有上界，從而存在，設(shè)注意到故，即，所以收斂(2) 如果，則從某項(xiàng)開始，此時(shí)，故原級(jí)數(shù)發(fā)散例2 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 取，由于，所以原級(jí)數(shù)收斂(2) 取 ，由于，所以原級(jí)數(shù)收斂引理3 設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若

7、存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式與成立，則(1) 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；(2) 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散證 由已知條件，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式成立不妨取自然數(shù)，并令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則唯一存在一個(gè)自然數(shù)，使，故若，則；若，則唯一存在一個(gè)自然數(shù)，使，其中，于是有，且由于，經(jīng)過(guò)有限步，假設(shè)第步，必有，于是由定理2即可證明定理5 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，那么當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散4證 (1) 當(dāng)時(shí)，可以選取，使得，根據(jù)極限定義，應(yīng)有正整數(shù)，使當(dāng)時(shí)，有與又因?yàn)?，可選實(shí)數(shù)，使令，則級(jí)數(shù)收斂，且由極限的性質(zhì)，存在，使得當(dāng)時(shí)，有成立取，則當(dāng)時(shí)，根據(jù)引理，級(jí)數(shù)收斂(2) 當(dāng)時(shí)，選取，使得，根據(jù)極限定義，應(yīng)有正整數(shù)，

8、使當(dāng)時(shí)，有與令，則級(jí)數(shù)發(fā)散，且，根據(jù)引理，級(jí)數(shù)發(fā)散例3 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 因?yàn)閯t由定理5可知，級(jí)數(shù)收斂(2) 因?yàn)閯t由定理5可知，級(jí)數(shù)收斂3.2.3 柯西判別法與達(dá)朗貝爾判別法的關(guān)系性質(zhì) 若，則證 令，則，且，可以推出定理6 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散證 由上述性質(zhì)可知，可得于是由柯西判別法，便可得證例4 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)； (2)解 (1) 設(shè)，則，由于，根據(jù)定理6知，原級(jí)數(shù)收斂(2) 設(shè)，則根據(jù)定理6，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散3.3 積分判別法和導(dǎo)數(shù)判別法定理7 (積分判別法) 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)單調(diào)遞減，作單調(diào)遞減的連

9、續(xù)減函數(shù)，使，則級(jí)數(shù)與廣義積分同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散定理8 (導(dǎo)數(shù)判別法) 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有定義且，且在處存在，則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：證 不妨設(shè)對(duì)一切，都有，由在處存在，易知在處連續(xù)，且在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)充分性：由，令，則有，又級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂必要性：設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則如果，則，于是有由級(jí)數(shù)發(fā)散，知級(jí)數(shù)發(fā)散，與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，即例5 討論級(jí)數(shù)的斂散性，其中為常數(shù)解 取它在上非負(fù)，單調(diào)減少且連續(xù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故級(jí)數(shù)，當(dāng)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散例6 判別級(jí)數(shù)的斂散性解 令，則又，故即在處二階可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)判別法知級(jí)數(shù)收斂3.4 拉貝判別法與高斯判別法5柯西判別法和達(dá)朗貝爾判別法是基于

10、把所要判別的級(jí)數(shù)與某一等比級(jí)數(shù)相比較的想法得到的也就是說(shuō)，如果給定級(jí)數(shù)通項(xiàng)收斂于零的速度比某收斂的等比級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度快，則能判定該級(jí)數(shù)收斂如果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢，則無(wú)法判斷拉貝以級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象，得到了拉貝判別法高斯以級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象，得到了高斯判別法2定理9 (拉貝判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限存在，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散定理10 (高斯判別法) 如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足條件則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散證 (1) 當(dāng)，取適合，我們證明，當(dāng)時(shí)，有不等式為此目的，我們注意，所以根據(jù)已知條件，就有 ()因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，上式取正值，即這說(shuō)明當(dāng)充分大時(shí)，數(shù)列是單調(diào)減的，因而有界：，即

11、從而級(jí)數(shù)收斂(2) 當(dāng)時(shí)，在式()中取就有故當(dāng)充分大時(shí)有，即數(shù)列是單調(diào)增的于是當(dāng)時(shí)有即，所以級(jí)數(shù)發(fā)散推論 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且極限存在，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散例7 設(shè)，試討論級(jí)數(shù)的斂散性解 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)可化為，此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí)，(1) 采用拉貝判別法則時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散(2) 采用高斯判別法則時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散注 雖然高斯判別法要比拉貝判別法更加精密，但是其運(yùn)算過(guò)程也相對(duì)復(fù)雜從理論上講，按照這個(gè)思路進(jìn)行下去，還可以找到新的、判別范圍更廣泛的判別法，但這些判別法也更加復(fù)雜4 結(jié)束語(yǔ)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法是多種多樣的，文中僅列出了一些常用的判別方法在使用的過(guò)程中，需

12、要根據(jù)不同題目的特點(diǎn)，選取適宜的判別方法進(jìn)行判斷同時(shí)，本文選取了一些典型例題，用以檢驗(yàn)相關(guān)理論的有效性正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法也可用于判定負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性，也可以推廣到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別中參考文獻(xiàn)1 陳紀(jì)修等數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))M北京，高等教育出版社2004：15-252 劉三陽(yáng)，李廣民數(shù)學(xué)分析十講M北京，科學(xué)出版社2011：131-1453 李鐵烽正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斂的一種新的比值判別法J數(shù)學(xué)通報(bào)，1990(1)：46-474 吳慧伶正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別的一個(gè)推廣J麗水學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，28(5)：24-265 何琛，史濟(jì)懷，徐森林?jǐn)?shù)學(xué)分析(第三冊(cè))M北京，高等教育出社1985：34-3

13、5The Study of Positive Series Convergence and Divergence DiscriminanceAbstract：Series of positive terms is a kind of important series, it has a very important significance to the study of other series. This paper studies the discrimination of positive series convergence and divergence of some commonly used methods, has methods promoted，making them applicable to a wider range and calculates more convenient. And then we discuss the link between