概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總結

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率1.1 隨機事件一、給出事件描述，要求用運算關系符表示事件：二、給出事件運算關系符，要求判斷其正確性：1.2 概率古典概型公式：P（A）=實用中經常采用“排列組合”的方法計算補例1：將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多少？解：設A：“每個盒子恰有1個球”。求：P(A)=？所含樣本點數(shù)：所含樣本點數(shù)：補例2：將3封信隨機地放入4個信箱中，問信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少？解：設Ai ：“信箱中信的最大封數(shù)為i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？所含樣本點數(shù)：A1所含樣本點數(shù)：A2所含樣本點數(shù)： A3所含樣本

2、點數(shù)：注：由概率定義得出的幾個性質：1、0P（A）12、P()=1，P() =01.3 概率的加法法則定理：設A、B是互不相容事件（AB=），則：P（AB）=P（A）+P（B）推論1：設A1、 A2、 An 互不相容，則P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An)推論2：設A1、 A2、 An 構成完備事件組，則P(A1+A2+.+ An)=1推論3： P（A）=1P（）推論4：若BA，則P(BA)= P(B)P(A)推論5（廣義加法公式）：對任意兩個事件A與B，有P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)補充對偶律：1.4 條件概率與乘法法則條件概率公式：P(A

3、/B)=（P(B)0）P(B/A)= （P(A)0）P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有時須與P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）中的P（AB）聯(lián)系解題。全概率與逆概率公式：全概率公式：逆概率公式： （注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 獨立試驗概型事件的獨立性：貝努里公式（n重貝努里試驗概率計算公式）：課本P24另兩個解題中常用的結論1、定理：有四對事件：A與B、A與、與B、與，如果其中有一對相互獨立，則其余三對也相互獨

4、立。2、公式：第二章 隨機變量及其分布一、關于離散型隨機變量的分布問題1、求分布列：確定各種事件，記為x寫成一行； 計算各種事件概率，記為p k寫成第二行。得到的表即為所求的分布列。注意：應符合性質1、（非負性） 2、（可加性和規(guī)范性）補例1：將一顆骰子連擲2次，以x 表示兩次所得結果之和，試寫出x的概率分布。解：所含樣本點數(shù)：66=36所求分布列為：1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36pk12111098765432x補例2：一袋中有5只乒乓球，編號1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以x表示取出3只球中最大號碼，試寫出x的概率分布。解：

5、所含樣本點數(shù)：=106/103/101/10p k543x所求分布列為：2、求分布函數(shù)F(x)：分布函數(shù)二、關于連續(xù)型隨機變量的分布問題：xR，如果隨機變量x的分布函數(shù)F（x）可寫成F（x）=，則x為連續(xù)型。稱概率密度函數(shù)。解題中應該知道的幾個關系式： 第三章 隨機變量數(shù)字特征一、求離散型隨機變量x 的數(shù)學期望Ex =？數(shù)學期望（均值）二、設x 為隨機變量，f(x)是普通實函數(shù)，則=f(x)也是隨機變量，求E=?xx1x2xkpkp1p2pk= f(x)y1y2yk以上計算只要求這種離散型的。補例1：設x的概率分布為：x1012pk求：，的概率分布；。解：因為x1012pk=x12101=x2

6、1014所以，所求分布列為：=x12101pk和：=x21014pk當=x1時，E=E（x1）=2+(1)+0+1+=1/4當=x2時，E=E x2=1+0+1+4+=27/8三、求x 或的方差Dx =？ D=？實用公式=其中，=補例2：x202pk0.40.30.3求：E x 和D x 解：=20.4+00.3+20.3=0.22=（2）20.4+020.3+220.3=2.8=2=2.8（0.2）2=2.76第四章 幾種重要的分布常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）名稱概率分布或密度期望方差參數(shù)范圍二項分布n pn p q0P0泊松分布不要求0指數(shù)分布不要求0解題中經常需要運用的E

7、 x 和D x 的性質（同志們解題必備速查表）E x的性質D x 的性質第五章 參數(shù)估計8.1 估計量的優(yōu)劣標準（以下可作填空或選擇）若總體參數(shù)的估計量為，如果對任給的0，有，則稱是的一致估計；如果滿足，則稱是的無偏估計；如果和均是的無偏估計，若，則稱是比有效的估計量。8.3 區(qū)間估計：幾個術語1、設總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個統(tǒng)計量及，對于給定的（01）滿足：則稱隨機區(qū)間（，）是的100（1）的置信區(qū)間，和稱為的100（1）的置信下、上限，百分數(shù)100（1）稱為置信度。一、求總體期望（均值）E x 的置信區(qū)間1、總體方差已知的類型據(jù)，得1，反查表（課本P260表）得臨界值；=

8、求d= 置信區(qū)間（-d，+d）補簡例：設總體隨機取4個樣本其觀測值為12.6，13.4，12.8，13.2，求總體均值的95%的置信區(qū)間。解：1=0.95，=0.05（U）=1=0.975，反查表得：U=1.96=0.3，n=4 d=0.29所以，總體均值的=0.05的置信區(qū)間為：（d，d）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、總體方差未知的類型（這種類型十分重要！務必掌握?。?jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；確定=和求d= 置信區(qū)間（-d，+d）注：無特別聲明，一般可保留小數(shù)點后兩位，下同。二、求總體方差的置信區(qū)間據(jù)和自由度n1（n為樣本數(shù)）

9、，查表得臨界值：和確定=和上限 下限置信區(qū)間（下限，上限）典型例題：補例1：課本P166之16 已知某種木材橫紋抗壓力的實驗值服從正態(tài)分布，對10個試件作橫紋抗壓力試驗得數(shù)據(jù)如下（單位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469試對該木材橫紋抗壓力的方差進行區(qū)間估計（0.04）。解：=0.04，又n=10，自由度n1=9查表得，=19.7=2.53=457.5=+=1240.28上限=4412.06下限=566.63所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為（566.63，4412.06）第六章 假設檢驗必須熟練掌握一個正態(tài)總體假設檢驗的執(zhí)行標準一般思路：

10、1、提出待檢假設H02、選擇統(tǒng)計量3、據(jù)檢驗水平，確定臨界值4、計算統(tǒng)計量的值5、作出判斷檢驗類型：未知方差，檢驗總體期望(均值)根據(jù)題設條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；由樣本值算出？和？從而得到；作出判斷典型例題：對一批新的某種液體的存貯罐進行耐裂試驗，抽查5個，得到爆破壓力的數(shù)據(jù)（公斤/寸2 ）為：545，545，530，550，545。根據(jù)經驗爆破壓認為是服從正態(tài)分布的，而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2 ，問這種新罐的爆破壓與過去有無顯著差異？（=0.05）解：H0:= 549選擇統(tǒng)計量=0.05，n

11、1=4，查表得：=2.776又=543s2=57.=1.772.776接受假設，即認為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。檢驗類型：未知期望(均值)，檢驗總體方差根據(jù)題設條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P264表）得臨界值：和；由樣本值算出？和？從而得到；若則接受假設，否則拒絕!補例：某廠生產銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布，折斷力方差=64，今從一批產品中抽10根作折斷力試驗，試驗結果（單位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信這批銅絲折斷力的方差也是64？（=0.0

12、5）解： H0:=64選擇統(tǒng)計量=0.05，n1=9，查表得：=2.7=19又=575.2s2=75.73=2.70，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，則有。（14）獨立性兩個事件的獨立性設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨立。與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設ABC是三個事

13、件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概公式設事件滿足1兩兩互不相容，2，則有。全概率公式解決的是多個原因造成的結果問題，全概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；（16）貝葉斯公式設事件，及滿足1 ，兩兩互不相容，0，1，2，2 ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概率。，（，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“

14、由果朔因”的推斷。將試驗可看成分為兩步做，如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。（17）伯努利概型我們作了次試驗，且滿足u 每次試驗只有兩種可能結果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗是重復進行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，。第二章 隨機變量及其分布（1）離散型隨機變量的分布律設離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk

15、，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機變量的分布密度設是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質：1、 。2、 。3、4、P(x=a)=0,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0（3）離散與連續(xù)型隨機變量的關系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質上是一個累積函數(shù)。

16、 可以得到X落入區(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入區(qū)間（ ，x內的概率。分布函數(shù)具有如下性質：1 ；2 是單調不減的函數(shù)，即時，有 ；3 ， ；4 ，即是右連續(xù)的；5 。對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設隨機變量的分布律為，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np

17、=，n）。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設隨機變量的值只落在a，b內，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即axb 其他，則稱隨機變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為 axb 0， xb。當ax1x2b時，X落在區(qū)間（）內的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。記住積分公式：正態(tài)分布設隨機變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質：1 的圖形是關于對稱的；2 當時，為最大值；dtexFxt-=2

18、22)(21)(smps若，則的分布函數(shù)為參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。（6）分位數(shù)下分位表：；上分位表：。（7）函數(shù)的分布函數(shù)離散型已知的分布列為，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應將對應的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。（2）定理法：當Y=g(X)嚴格單調并且可導時:其中h(y)是g(x)的反函數(shù)（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序對（x,y），則稱為離散型隨機量。設=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的