概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題答案

1、上海第二工業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題1、 填空題1. 已知，則的關(guān)系是 獨(dú)立 。2已知互相對(duì)立，則的關(guān)系是 互相對(duì)立 。3.為隨機(jī)事件，則 0.3 。4. 已知，則 0.7 。5.為隨機(jī)事件，則_。6將一枚硬幣重復(fù)拋擲3次，則正、反面都至少出現(xiàn)一次的概率為 0.75 。7. 設(shè)某教研室共有教師11人，其中男教師7人，現(xiàn)該教研室中要任選3名為優(yōu)秀教師，則3名優(yōu)秀教師中至少有1名女教師的概率為_(kāi)。8. 設(shè)一批產(chǎn)品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，則第2次抽出的是次品的概率為_(kāi)。9. 3人獨(dú)立破譯一密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率為，則此密碼被譯出的概率為_(kāi)。10隨機(jī)變量

2、能取，取這些值的概率為，則常數(shù)_。11隨機(jī)變量分布律為，則_0.4_。12.是的分布函數(shù)，則分布律為_(kāi)。13隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則_。14. 隨機(jī)變量，_0.025 。15. 設(shè)，若, 則_3_。（注：）16設(shè)，其分布函數(shù)為，則有 1 。17已知隨機(jī)變量的分布律為，則隨機(jī)變量函數(shù)的分布律為_(kāi)。18. 已知隨機(jī)變量的概率分布為,則的分布函數(shù)為_(kāi)。19. 若服從的分布是，則服從的分布是 。20設(shè)，且相互獨(dú)立，則_。21若，獨(dú)立，則服從的分布是 。22.，獨(dú)立，則服從的分布是 。23. 隨機(jī)變量，則_5_，_3.2_。24. 隨機(jī)變量，則_-4_，_。25. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，其中在上服從均勻分

3、布，服從正態(tài)分布服從參數(shù)為的泊松分布，記,則_12_。26. 若是取自總體的一個(gè)樣本，則服從_。27設(shè)是的無(wú)偏估計(jì)，則必須滿足條件 。28總體以等概率取值，則未知參數(shù)的矩估計(jì)量為_(kāi)。29設(shè)為的樣本，則關(guān)于的矩估計(jì)量是 。30設(shè)由來(lái)自正態(tài)總體容量為9的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,得樣本均值,則未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為_(kāi)。（附：）二、選擇題1設(shè)為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是（ A ）。(A) （B） (C) (D) 2事件滿足：（ A ）。（A）0.7 （B）0.3 （C）0.6 （D）0.83.連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)，其中常數(shù)值為（ C ）。（A） （B） （C） （D）4若可以成為某隨機(jī)

4、變量的概率密度函數(shù)，則隨機(jī)變量的可能值充滿區(qū)間( B ),（A） （B） （C） （D）5. 當(dāng)隨機(jī)變量的可能值充滿區(qū)間( A ),則可以成為某隨機(jī)變量的密度函數(shù)。（A） （B） （C） （D）6. 隨機(jī)變量服從參數(shù)的指數(shù)分布，則（ D ）。（B） （B） （C） （D）7. 隨機(jī)變量服從，若增大，則（ D ）。（C） 單調(diào)增大 （B）單調(diào)減小 （C）增減不定 （D）保持不變8. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度，則的概率密度是（ B ）。（A） （B） （C） （D）9. 關(guān)于聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ C ）。（A）二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是正態(tài)分布（B）二維均勻分布的兩個(gè)邊緣分

5、布未必是均勻分布（C）邊緣分布可以唯一的確定聯(lián)合分布（D）聯(lián)合分布可以唯一的確定邊緣分布10. 設(shè)（）的聯(lián)合分布函數(shù)為，則其邊緣分布函數(shù)（ B ）。（A） （B） （C） （D）11. 隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，則必有（ C ）。（A） （B） （C） （D）。12關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ C ）。（A）服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的任一線性變換后仍然服從正態(tài)分布（B）邊緣分布是正態(tài)分布，聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布（C）聯(lián)合分布是正態(tài)分布，邊緣分布不一定是正態(tài)分布（D）正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望決定了密度函數(shù)的對(duì)稱軸，方差決定了密度函數(shù)的陡峭程度13. 已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則二項(xiàng)分布的參數(shù)的

6、值為（ B ）。（A） （B） （C） （D）14已知隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的可能取值為，且，則對(duì)應(yīng)于的概率為（ A ）。（B） （B）（C）（D）15.設(shè)隨機(jī)變量，則下列計(jì)算正確的是（ C ）。（A） （B） （C） （D）16設(shè)隨機(jī)變量密度函數(shù)為，已知，若，則下列計(jì)算正確的是（ D ）。（A） （B） （C） （D）17. 已知總體服從參數(shù)的泊松分布（未知），為的樣本，則（ C ）。（A）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 （B）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量（C）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 （D）是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量18. 設(shè)總體，其中已知，未知。是取自總體的一個(gè)樣本，則非統(tǒng)計(jì)量是（ D ）。（A） （B）（C） （D）。19. 人的體重為隨機(jī)變量

7、，10個(gè)人的平均體重記為，則（ A ）。(A) （B）(C) (D) 20設(shè)服從正態(tài)分布，為取自總體的一個(gè)樣本，則（ B ）。（A） （B） （C） （D）。21設(shè)服從正態(tài)分布，為的樣本，則（ C ）。（A） （B） （C） （D）22設(shè)服從正態(tài)分布，則服從（ A ）。（A） （B） （C） （D）23. 從總體中抽取樣本，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ B ）。（A）服從正態(tài)分布 （B）服從 （C） （D）24. 設(shè)是總體的方差存在，為的樣本，以下關(guān)于無(wú)偏估計(jì)量的是（ D ）。（A） （B） （C） （D）25. 從總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量 ， ， ， 都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)量，則其中更有效的估計(jì)

8、量是（ C ）。（A） （B） （C） （D）26. 設(shè)是總體的方差，為的樣本，則樣本方差為總體方差的（ C ）。（A）矩估計(jì)量（B）最大似然估計(jì)量（C）無(wú)偏估計(jì)量（D）有偏估計(jì)量27. 設(shè)是參數(shù)置信度為的置信區(qū)間，則以下結(jié)論正確的是（ C ）。（A） 參數(shù)落在區(qū)間之內(nèi)的概率為（B） 參數(shù)落在區(qū)間之外的概率為（C） 區(qū)間包含參數(shù)的概率為（D） 對(duì)不同的樣本觀察值，區(qū)間的長(zhǎng)度相同28. 設(shè)為總體的未知參數(shù)，為樣本統(tǒng)計(jì)量，隨機(jī)區(qū)間是的置信度為的置信區(qū)間，則有（ B ）。（A） （B）（C） （D）29在假設(shè)檢驗(yàn)中，表示原假設(shè)，表示對(duì)立假設(shè)，則稱為犯第一類錯(cuò)誤的是（ A ）。(A) 不真，接受 (B

9、) 不真，接受(C) 不真，接受 (D) 不真，接受30總體，樣本，假設(shè)檢驗(yàn)，則的拒絕域?yàn)椋?D ）。（A） （B） （C） （D）三、計(jì)算題1某廠生產(chǎn)的100個(gè)產(chǎn)品中，有95個(gè)優(yōu)質(zhì)品，采用不放回抽樣，每次從中任取一個(gè)，求：（1）第一次抽到優(yōu)質(zhì)品；（2）第一次、第二次都抽到優(yōu)質(zhì)品；（3）第一次、第二次都抽到優(yōu)質(zhì)品、第三次抽到非優(yōu)質(zhì)品的概率。解：設(shè)：第次取到優(yōu)質(zhì)品， （1）； （2）；（3）。2玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱中含0，1只殘次品的概率分別為0.8和0.2，一個(gè)顧客欲購(gòu)買一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)顧客開(kāi)箱驗(yàn)貨，顧客隨機(jī)的察看了4只，若無(wú)殘次品則購(gòu)買下該箱玻璃杯，否則退回。試問(wèn)：顧客購(gòu)

10、買該箱玻璃的概率。解：設(shè)且已知：3. 有甲、乙、丙三個(gè)盒子，其中分別有一個(gè)白球和兩個(gè)黑球、一個(gè)黑球和兩個(gè)白球、三個(gè)白球和三個(gè)黑球。擲一枚骰子，若出現(xiàn)1，2，3點(diǎn)則選甲盒，若出現(xiàn)4點(diǎn)則選乙盒，否則選丙盒。然后從所選中的盒子中任取一球。求：（1）取出的球是白球的概率；（2）當(dāng)取出的球?yàn)榘浊驎r(shí)，此球來(lái)自甲盒的概率。解：取到白球，：取到黑球；：甲盒；：乙盒；：丙盒（1） 取到白球的概率 。 （2）取到白球是從甲盒中取出的概率。4. 設(shè)一盒中有5個(gè)紀(jì)念章，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中等可能地任取3個(gè)，用表示取出的3個(gè)紀(jì)念章上的最大號(hào)碼，求：（1）隨機(jī)變量的分布律；（2）分布函數(shù)。解：設(shè)為取出的3個(gè)紀(jì)

11、念章上的最大號(hào)碼，則的可能取值為；于是的分布律為， 。5某型號(hào)電子管，其壽命（以小時(shí)計(jì)）為一隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)（1）試求一個(gè)電子管使用150小時(shí)不用更換的概率；（2）某一電子設(shè)備中配有10個(gè)這樣的電子管，電子管能否正常工作相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量表示10個(gè)電子管中使用150小時(shí)不用更換的個(gè)數(shù)，求的分布律。解：（1）設(shè)電子管的壽命為隨機(jī)變量，（2）設(shè)10個(gè)電子管中使用150小時(shí)不用更換的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則依題意，。6. 某人有9把鑰匙，其中只有一把能打開(kāi)一門。今任取一把試開(kāi)，不能打開(kāi)者除去，求打開(kāi)此門所需要試開(kāi)次數(shù)（記為隨機(jī)變量）的數(shù)學(xué)期望和方差。解：設(shè)打開(kāi)門的次數(shù)，可能取值為。所以，于是，。7

12、. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，；試求：（1）常數(shù)；（2）；（3）設(shè)，求。解：（1）； ； 于是，。 （2）， 。 （3）。8某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)72分，96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0-84分之間的概率。附表：00.51.01.52.02.53.00.5000.6290.8410.9330.9770.9940.999解：設(shè)考生外語(yǔ)成績(jī),。9. 口袋里有2個(gè)白球，3個(gè)黑球?，F(xiàn)不放回地依次摸出2球，并設(shè)隨機(jī)變量， 。 試求：（1）的聯(lián)合分布律； （2）和的邊緣分布律；（3）問(wèn)是否獨(dú)立？ （4）。解：（1）聯(lián)合分布為：

13、0101（2），（3），所以與獨(dú)立。（4）。 10設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且等可能的取1，2，3為值，定義隨機(jī)變量，試求：（1）的聯(lián)合分布律；(2)是否相互獨(dú)立？解：（1）因?yàn)楠?dú)立，依題意的聯(lián)合分布為X Y12311/91/91/921/91/91/931/91/91/9又因?yàn)椋瑒tU V12311/90022/91/9032/92/91/9這里其余同理可得。（2）。11.設(shè)同時(shí)獨(dú)立地?cái)S一枚硬幣和一顆骰子兩次，用表示兩次中硬幣出現(xiàn)的正面次數(shù)，用表示兩次骰子點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4的次數(shù)。（1）求的聯(lián)合分布。（2）求的和分布。（3）解：設(shè)可能取值為0，1，2；可能取值為0，1，2.于是， . 由于與相互獨(dú)立，所以

14、聯(lián)合分布為 Y X012012和分布為：，。12. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，試求：（1）的邊緣概率密度；（2）。解：（1） （2）。13. 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，試求：（1）隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)；（2）。解：（1）因?yàn)榉木鶆蚍植?，所以其?lián)合密度函數(shù)為 。（2）。14. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率為（1）求的兩個(gè)邊緣密度；（2）判斷是否相互獨(dú)立；（3）求； （4）求的分布函數(shù)。解：（1）（2），不獨(dú)立；（3）（4）。15. 設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度（1） 求常數(shù)A；（2）求聯(lián)合分布函數(shù)；（3）求邊緣密度；并問(wèn)是否獨(dú)立？（4）求。解：（1）由于，得。（2）當(dāng)或時(shí)，因?yàn)椋?，。?dāng)時(shí)，；所

15、以，。（3）邊緣密度函數(shù)為：； 由于，所以獨(dú)立。（4） 。或。16設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從（0，1）均勻分布，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，試求：（1）隨機(jī)變量的分布的密度函數(shù)；（2）。解：（1）因?yàn)?，又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，則（2）因?yàn)橐驗(yàn)榉木鶆蚍植?，所以因?yàn)榉闹笖?shù)分布，所以故。17.設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度求：（1）（2）解：（1）；（2）18. 設(shè)總體的概率密度列其中是未知參數(shù)，得到總體的樣本值：1，3，0，2，3，3，1，3，（1）求參數(shù)的矩估計(jì)值；（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)值 。解：（1）；。（2）；，； ，因?yàn)椋陨崛?，所以?9. 設(shè)總體的概率密度為，其中的未知參數(shù)，是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，（

16、1）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量 。解：（1），于是未知參數(shù)的矩估計(jì)量為。（2） 構(gòu)造似然函數(shù)；取對(duì)數(shù)：；令，即未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值為。20設(shè)總體服從正態(tài)分布，為其樣本，試求：（1）的矩估計(jì)量；（2）若，多大時(shí)方能使的90%的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)1？()解：（1）由矩估計(jì)法知（2）記關(guān)于的置信區(qū)間長(zhǎng)度為L(zhǎng)當(dāng)時(shí)，。21從一批釘子中隨機(jī)抽取16枚,測(cè)得其長(zhǎng)度(單位:厘米)為： 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11. 假設(shè)釘子的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,求總體均值的

17、置信度為90%的置信區(qū)間。 (保留到小數(shù)后四位）解： 所以的置信度為90%的置信區(qū)間為：。22某大學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，抽得20個(gè)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為，樣本方差， 假設(shè)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，求的置信度為98%的置信區(qū)間。（保留到小數(shù)后四位）（附：）解：由題意，的置信度為98%的置信區(qū)間為：。23. 要求一種元件的使用壽命為1000小時(shí)。今從一批這種元件中隨機(jī)抽取25件，測(cè)得其壽命的平均值為950小時(shí)。已知該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)的正態(tài)分布，試在顯著性水平下確定這批元件是否合格？ （附：） 解：假設(shè)：，：； 統(tǒng)計(jì)量：，, 所以，拒絕，即認(rèn)為這批元件不合格。24設(shè)某次考試的考生成績(jī)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36

18、位考生的成績(jī),算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分,問(wèn)在顯著性水平0.05下,是否可認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分?并給出檢驗(yàn)過(guò)程。 ； 解：已知 假設(shè)； 統(tǒng)計(jì)量：所以，所以接受假設(shè)，即認(rèn)為在顯著性水平下全體考生平均成績(jī)?yōu)?0分。25. 正常人的脈搏平均為72次/分。某醫(yī)生測(cè)得10例慢性鉛中毒患者的脈搏均值為67.4次/分，標(biāo)準(zhǔn)差為5.929。設(shè)人的脈搏次數(shù)/分近似服從正態(tài)分布。(1) 取a =0.05，是否可以認(rèn)為鉛中毒患者的脈搏均值為72次/分。(2) 求鉛中毒患者脈搏均值的0.95的置信區(qū)間。（附：）解：（1）假設(shè)；;末知， ， ，所以，故拒絕假設(shè)，即認(rèn)為鉛中毒患者的脈搏均值不是72次/分。（