概率論習題及答案習題詳解

1、習題七( A )1、設總體服從參數(shù)為和的二項分布，為取自的一個樣本，試求參數(shù)的矩估計量與極大似然估計量.解：由題意，的分布律為： .總體的數(shù)學期望為則.用替換即得未知參數(shù)的矩估計量為. 設是相應于樣本的樣本值，則似然函數(shù)為取對數(shù)，.令，解得的極大似然估計值為.從而得的極大似然估計量為.2,、設為取自總體的一個樣本,的概率密度為其中參數(shù)，求的矩估計.解：取為母體的一個樣本容量為的樣本，則用替換即得未知參數(shù)的矩估計量為.3、設總體的一個樣本, 的概率密度為 其中是未知參數(shù)，是已知常數(shù),求的最大似然估計.解：設為樣本的一組觀測值，則似然函數(shù)為取對數(shù) 解極大似然方程 得的極大似然估計值為從而得的極大似

2、然估計量為.4、設總體服從幾何分布 試利用樣本值,求參數(shù)的矩估計和最大似然估計.解：因,用替換即得未知參數(shù)的矩估計量為.在一次取樣下，樣本值即事件同時發(fā)生，由于相互獨立，得聯(lián)合分布律為,即得極大似然函數(shù)為取對數(shù) 解極大似然方程 得的極大似然估計值為從而得的極大似然估計量為. 5、設總體的概率密度為為未知參數(shù), 為總體的一樣本,求參數(shù)的最大似然估計.解：設為樣本的一組觀測值，則似然函數(shù)為取對數(shù) 解極大似然方程 得的極大似然估計值從而得的極大似然估計量為.6、證明第5題中的最大似然估計量為的無偏估計量.證明：由第5題知的最大似然估計量為故 又從而 ，即是的無偏估計.7,、設總體的概率密度為,為未知

3、參數(shù), 為總體的一個樣本,求參數(shù)的的矩估計量和最大似然估計量.解：因用替換即得未知參數(shù)的矩估計量為從而得未知參數(shù)的估計量為設為樣本的一組觀測值，則似然函數(shù)為取對數(shù)解極大似然方程得的極大似然估計值從而得未知參數(shù)的估計量為.8、設總體,已知,為未知參數(shù), 為的一個樣本, 求參數(shù),使為的無偏估計.解：由無偏估計的定義，要使為的無偏估計，則又由題意知總體，從而且由對稱性有從而有 ，即.9、設是參數(shù)的無偏估計量,且有,試證不是的無偏估計量.證明：因為是參數(shù)的無偏估計量，故，且有即不是的無偏估計量.10、設總體,是來自的樣本,試證：估計量;都是的無偏估計,并指出它們中哪一個最有效.證明：總體,是來自的樣本

4、，則即估計量都是的無偏估計.又有 ，從而估計量最有效.11,、設是總體的一個樣本,證明：是的相合估計量.證明：由題意，總體，則由樣本的獨立同分布性知，即是的無偏估計.又，且故，有故是的相合估計量12、設總體的數(shù)學期望為,方差為,分別抽取容量為和的兩個獨立樣本,分別為兩樣本均值,試證明:如果滿足,則是的無偏估計量,并確定,使得最小.解：由題意，且,分別為容量為和的兩個獨立樣本得樣本均值，故，.當時，有，即是的無偏估計量.令，由知函數(shù)的穩(wěn)定點為，且，故為函數(shù)唯一極小值點，即當時，最小.13、設是總體的一個樣本, 的概率密度為,未知，已知,試求的置信水平為的置信區(qū)間.解：由題意，統(tǒng)計量，則給定置信度

5、為時，有由置信區(qū)間的定義知，的置信水平為的置信區(qū)間為.14、從大批彩色顯像管中隨機抽取100只,其平均壽命為10000小時,可以認為顯像管的壽命服從正態(tài)分布.已知均方差小時,在置信水平0.95下求出這批顯像管平均壽命的置信區(qū)間.解：設是母體的樣本容量為的子樣，則顯像管平均壽命構造統(tǒng)計量，有由題意，查表可得，故顯像管平均壽命的置信度為的置信區(qū)間為：.15、設隨機地調(diào)查26年投資的年利潤率(%),得樣本標準差,設投資的年利潤率服從正態(tài)分布,求它的方差的區(qū)間估計(置信水平為0.95). 解：由題意，構造統(tǒng)計量，則給定置信水平為，有取，查表可得，故方差的置信度為的置信區(qū)間為.16,、從一批釘子中抽取1

6、6枚,測得其長度為(單位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.設釘子的長度服從正態(tài)分布,試求總體均值的置信水平為0.90的置信區(qū)間.解：設是母體的樣本容量為的子樣，由題意知，.構造統(tǒng)計量，有由題意，查表可得，故顯像管平均壽命的置信度為的置信區(qū)間為：.17、生產(chǎn)一個零件所需時間(單位：秒),觀察25個零件的生產(chǎn)時間得,.試求和的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解：設是母體的樣本容量為25的子樣，由題意知，.構造統(tǒng)計量，有由題意，查表可得，故

7、參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間為：.構造統(tǒng)計量，則給定置信水平為，有取，查表可得，故方差的置信度為的置信區(qū)間為.18、產(chǎn)品的某一指標，已知，未知.現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取只對該指標進行測定,問需要多大,才能以95%的可靠性保證的置信區(qū)間長度不大于0.01?19、設和兩批導線是用不同工藝生產(chǎn)的,今隨機地從每批導線中抽取5根測量其電阻,算得,若批導線的電阻服從,批導線的電阻服從,求的置信水平為0.90的置信區(qū)間.20,、從甲乙兩個蓄電池廠的產(chǎn)品中分別抽取6個產(chǎn)品,測得蓄電池的容量(A.h)如下:甲廠 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙廠135 , 140 , 142 ,

8、136 , 138 , 140設蓄電池的容量服從正態(tài)分布,且方差相等,求兩個工廠生產(chǎn)的蓄電池的容量均值差的95%置信區(qū)間.（ B ）1、設總體的概率分別為 0 1 2 3 其中是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求的矩估計值和最大似然估計值.解：由題意可知總體為離散型隨機變量，則總體的數(shù)學期望為有，由樣本值可知，用替換即得未知參數(shù)的矩估計量為，矩估計值.設是相應于樣本的樣本值，則似然函數(shù)為取對數(shù) 解極大似然方程 有，從而又當時，矛盾，故舍去.所以的最大似然估計值2、設和是參數(shù)的兩個相互獨立的無偏估計量,且方差,試確定常數(shù),使得是的無偏估計量,且在一切

9、這樣的線性估計類中方差最小.解：由題意，和是參數(shù)的兩個相互獨立的無偏估計量，則.要使得是的無偏估計量，有恒成立，即.又，相互獨立，且，則令，由知函數(shù)的穩(wěn)定點為，且，故線性估計類中方差最小時，.3、在測量反應時間中,一心理學家估計的標準差為0.05秒,為了以0.95的置信水平使他對平均反應時間的估計誤差不超過0.01秒,應取多大的樣本容量.習題八1在正常情況下，某煉鋼廠的鐵水含碳量（%）.一日測得5爐鐵水含碳量如下： 4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在顯著性水平下，試問該日鐵水含碳量得均值是否有明顯變化.解：設鐵水含碳量作為總體，則，從中選取容量為5的樣本，測得.由題意，設原假設

10、為構造檢驗統(tǒng)計量 ，則在顯著性水平下，查表可得，拒絕原假設，即認為有顯著性變化.2根據(jù)某地環(huán)境保護法規(guī)定，傾入河流的廢物中某種有毒化學物質(zhì)含量不得超過3ppm.該地區(qū)環(huán)保組織對某廠連日傾入河流的廢物中該物質(zhì)的含量的記錄為：.經(jīng)計算得知, .試判斷該廠是否符合環(huán)保法的規(guī)定.（該有毒化學物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布）解：設有毒化學物質(zhì)含量作為總體，則，從中選取容量為15的樣本，測得，.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統(tǒng)計量，則，在顯著性水平下,查表可得，即拒絕原假設，接受備擇假設，認為該廠不符合環(huán)保的規(guī)定.3某廠生產(chǎn)需用玻璃紙作包裝，按規(guī)定供應商供應的玻璃紙的橫向延伸率不應低于65.已知該指標服

11、從正態(tài)分布，.從近期來貨中抽查了100個樣品，得樣本均值，試問在水平上能否接受這批玻璃紙？解：設玻璃紙的橫向延伸率為總體，則，從中選取容量為100的樣本，測得.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統(tǒng)計量，則在顯著性水平下,查表可得，即拒絕原假設，接受備擇假設，不能接受該批玻璃紙.4某紡織廠進行輕漿試驗，根據(jù)長期正常生產(chǎn)的累積資料，知道該廠單臺布機的經(jīng)紗斷頭率（每小時平均斷經(jīng)根數(shù)）的數(shù)學期望為9.73根，標準差為1.60根.現(xiàn)在把經(jīng)紗上漿率降低20%，抽取200臺布機進行試驗，結果平均每臺布機的經(jīng)紗斷頭率為9.89根，如果認為上漿率降低后均方差不變，問斷頭率是否受到顯著影響（顯著水平=0.0

12、5）？解：設經(jīng)紗斷頭率為總體，則，從中選取容量為200的樣本，測得.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統(tǒng)計量，則在顯著性水平下,查表可得，即接受原假設，認為斷頭率沒有受到顯著影響.5 某廠用自動包裝機裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態(tài)分布.某日開工后，隨機抽查10箱,重量如下（單位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.問包裝機工作是否正常，即該日每箱重量的數(shù)學期望與100是否有顯著差異?（顯著性水平=0.05）解：設每箱重量為總體，則，從中選取容量為10的樣本，測得，.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢

13、驗統(tǒng)計量，則，在顯著性水平下,查表可得，即接受原假設，認為每箱重量無顯著差異.6某自動機床加工套筒的直徑X服從正態(tài)分布.現(xiàn)從加工的這批套筒中任取5個，測得直徑分別為(單位:)，經(jīng)計算得到 , .試問這批套筒直徑的方差與規(guī)定的有無顯著差別？（顯著性水平）解：設這批套筒直徑為總體，則，從中選取容量為5的樣本，測得，.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統(tǒng)計量，則，在顯著性水平下,查表可得，從而，即接受原假設，認為這批套筒直徑的方差與規(guī)定的無顯著差別.7.甲、乙兩臺機床同時獨立地加工某種軸，軸的直徑分別服從正態(tài)分布、（未知）.今從甲機床加工的軸中隨機地任取6根，測量它們的直徑為，從乙機床加工的軸

14、中隨機地任取9根，測量它們的直徑為，經(jīng)計算得知： , 問在顯著性水平下，兩臺機床加工的軸的直徑方差是否有顯著差異？解：設兩臺機床加工的軸的直徑分別為總體，則、，從總體中選取容量為6的樣本，測得從總體中選取容量為9的樣本，測得由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統(tǒng)計量，則，在顯著性水平下,查表可得，從而，即接受原假設，認為兩臺機床加工的軸的直徑方差無顯著差異.8.某維尼龍廠根據(jù)長期正常生產(chǎn)積累的資料知道所生產(chǎn)的維尼龍纖度服從正態(tài)分布，它的標準差為0.048.某日隨機抽取5根纖維，測得其纖度為1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.問該日所生產(chǎn)得維尼龍纖度的均方差是否有顯著變化（顯著

15、性水平=0.1）？解：設維尼龍纖度為總體，則，從中選取容量為5的樣本，測得，.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統(tǒng)計量，則在顯著性水平下,查表可得即拒絕原假設，認為維尼龍纖度的均方差有顯著變化.9.某項考試要求成績的標準差為12，先從考試成績單中任意抽出15份，計算樣本標準差為16，設成績服從正態(tài)分布，問此次考試的標準差是否符合要求（顯著性水平=0.05）?解：設考試成績?yōu)榭傮w，則，從中選取容量為15的樣本，測得.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統(tǒng)計量，則.在顯著性水平下,查表可得，從而，即接受原假設，認為此次考試的標準差符合要求.10.某卷煙廠生產(chǎn)甲、乙兩種香煙，分別對他們的尼古丁含量（單位：毫克）作了六次測定,獲得樣本觀察值為：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定這兩種煙的尼古丁含量都服從正態(tài)分布，且方差相等,試問這兩種香煙的尼古丁平均含量