初三數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、（2015大連）如圖1，在ABC中，C=90°，點(diǎn)D在AC上，且CDDA，DA=2，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿射線DC、射線DA運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線段QR，使QR=PQ，連接PR，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)PQ=x，PQR與ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0x，xm時(shí)，函數(shù)的解析式不同）（1）填空：n的值為；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）當(dāng)x=時(shí)，PQR與ABC重疊部分的面積就是PQR的面積，然后根據(jù)PQ=，QR=PQ，求出n的值是多少即

2、可（2）首先根據(jù)S關(guān)于x的函數(shù)圖象，可得S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式有兩種情況：當(dāng)0x時(shí)，S=×PQ×RQ=x2，判斷出當(dāng)點(diǎn)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，x=2AD=4，據(jù)此求出m=4；然后求出當(dāng)x4時(shí)，S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式即可【解答】解：（1）如圖1，當(dāng)x=時(shí)，PQR與ABC重疊部分的面積就是PQR的面積，PQ=，QR=PQ，QR=，n=S=×（）2=×=（2）如圖2，根據(jù)S關(guān)于x的函數(shù)圖象，可得S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式有兩種情況：當(dāng)0x時(shí)，S=×PQ×RQ=x2，當(dāng)點(diǎn)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，x=2AD=4，m=4當(dāng)x4時(shí)，S=SAPFSAQE=APFGAQEQ

3、，AP=2+，AQ=2，AQEAQ1R1，QE=，設(shè)FG=PG=a，AGFAQ1R1，AG=2+a，a=，S=SAPFSAQE=APFGAQEQ=（2）（2）（2）（2）=x2+S=x2+綜上，可得S=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：圖象應(yīng)用信息廣泛，通過(guò)看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，還可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力用圖象解決問(wèn)題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖（2015秋沙河口區(qū)期末）RtABC中，ACB=90°，BC=4，如圖1，點(diǎn)P從C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R是射線PB上一點(diǎn)，PR=3CP，過(guò)點(diǎn)R作QRBC，且QR

4、=aCP，連接PQ，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)CP=x，ABC與PQR重合部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0x，xm，mxn時(shí)，函數(shù)的解析式不同）（1）a的值為4；（2）求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）由圖2可知當(dāng)x=時(shí)S=，且此時(shí)Q點(diǎn)在線段AB上，利用三角形面積公式即可求出a的值；（2）由Q點(diǎn)和R點(diǎn)的位置，可將整個(gè)移動(dòng)過(guò)程分成三部分，借用三角形相似，找個(gè)各邊的關(guān)系，分割圖形，既能找出S和x之間的關(guān)系式【解答】解：（1）由圖2可知，當(dāng)x=時(shí)，點(diǎn)Q在線段AB上，且此時(shí)的S=，PR=3CP=，QR=aCP=a，QR

5、BC，S=PRQR=××a=，即27a=108，解得a=4故答案為4（2）當(dāng)x=時(shí)，Q點(diǎn)在線段AB上，如圖3，ACBC，QRBC，ACQR，ABCQBR，=QR=4CP=，PR=3CP=，BR=BCCPPR=，AC=QR=3當(dāng)點(diǎn)Q在ACB內(nèi)時(shí)，即0x時(shí)，如圖1，PR=3x，QR=4x，S=PRQR=6x2當(dāng)點(diǎn)Q在ACB外且R點(diǎn)在線段CB上時(shí)，如圖4，此時(shí)x，且CRBC，CR=CP+PR=4x，x1=，PQRABC，Q=B，DEQ=REB（對(duì)頂角），DEQREB在RtACB中，由勾股定理可知AB=5，ACQR，EBRABC，=，RB=BCCPPR=44x，AC=3，BC=4，

6、RE=33xQE=QRRE=4x（33x）=7x3DEQREB，EBRABC，且AC=3，BC=4，AB=5，DE=QE，QD=QE，QDDES=PRQRQDDE=x2+x當(dāng)點(diǎn)R在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，此時(shí)CR=4xBC=4，得x1；CP=xBC=4即1x4ABCPQR，QPR=A，PBM=ABC，PBMABC，PM=PB，MB=PBPB=BCCP=4x，S=PMMB=（4x）2=x2x+綜合可得：S=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是：（1）由圖2找出S的面積，套入三角形面積公式；（2）畫(huà)出圖形，結(jié)合三角形相似，找到邊角關(guān)系，分割圖形即可（2015秋甘井子區(qū)期末）如圖

7、1，矩形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)勻速沿著邊BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BCCDDA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），BEF的面積為y（cm2）y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（1）BC=3cm，AB=3cm，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系及其自變量取值范圍；（3）當(dāng)DFE=90°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】探究型【分析】（1）根據(jù)圖2可知，點(diǎn)F由B到C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，由C到D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，從而可以得到BC、CD的長(zhǎng)即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度；（2）由（1）可知，

8、E一直在AB邊上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在BC、CD、DA上運(yùn)動(dòng)，所以分類(lèi)討論，求出0x1、1x2、2x3時(shí)BEF的面積；（3）根據(jù)題意可知符合要求的有兩種情況，分別畫(huà)出相應(yīng)的圖形，求出對(duì)應(yīng)的x的值即可解答本題【解答】解：（1）由圖2可知，點(diǎn)F由B到C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，由C到D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，點(diǎn)F從B點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BCCDDA運(yùn)動(dòng)，BC=3×1=3cm，CD=3×（21）=3×1=3cm，AB=CD=3cm，設(shè)點(diǎn)E在1s時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離為a，得a=1即點(diǎn)E的速度為1cm/s故答案為：3，3，1cm/s；（2）當(dāng)0x1時(shí)，E、F分別在AB、BC上，BEF為直角三角形，所以

9、y=BEBF=x3x=；當(dāng)1x2時(shí)，E、F分別在AB、CD上，BC的長(zhǎng)等于BEF的高，所以y=BEBC=x3=；當(dāng)2x3時(shí)，E、F分別在AB、AD上，AF為BEF的高，所以y=BEAF=x（93x）=x（3x）由上可得，；（3）當(dāng)DFE=90°時(shí)，x的值是或1.5理由：當(dāng)DFE=90°時(shí)，存在兩種情況，第一種情況，如下圖一所示，DFE=90°，B=C=90°，EFB+BEF=90°，EFB+DFC=90°，BEF=CFD，EFBFDC，即解得，x=；第二種情況，如下圖二所示，由題意可得，3x3=x，得x=1.5；由上可得，當(dāng)DFE=9

10、0°時(shí)，x的值是或1.5【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、求函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答（2015秋高新區(qū)期末）如圖1，在ABC中，ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連結(jié)CD，動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿BC邊CBC以 2a cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q沿CA邊CA以 a cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，以CQ，CP為邊作矩形CQMP，當(dāng)矩形CQMP與CDB重疊部分的圖形是四邊形使，設(shè)重疊部分圖形的面積為y（cm2）P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），在點(diǎn)P由C

11、B過(guò)程中，y與t的圖象如圖2所示（1）求a、m的值；（2）求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍【考點(diǎn)】相似形綜合題；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】綜合題；圖形的相似【分析】（1）根據(jù)圖象可知，當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)M落在AB邊上，根據(jù)BPMBCA，得到比例式，計(jì)算求出a，根據(jù)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，DQBC，求出m；（2）分0t、t2、2t3三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可【解答】解（1）由圖象得：當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)M落在AB邊上，如圖3所示，CP=×2a=a，CQ=a，BPMBCA，=，即=，解得：a=1，根據(jù)題意得，當(dāng)QM過(guò)點(diǎn)D時(shí)，t=m，如圖4所示，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，DQBC，點(diǎn)Q為

12、AC中點(diǎn)t=，m=；（2）當(dāng)0t時(shí)，如圖5，CD與QM的交點(diǎn)是點(diǎn)G，CQGACB，=，即=，整理得：QG=t，SCQG=tt=t2，y=2t2t2=t2，當(dāng)t2時(shí)，如圖5，PM與BD交點(diǎn)是H，BHPBAC，=，即=，HP=BP，y=SBCDSBHP=3BPBP=3BP2=3（42t）2=t2+6t3；當(dāng)2t3時(shí)，同理得到y(tǒng)=3（2t4）2=t2+6t3【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確讀懂函數(shù)圖象、正確運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵（2015秋中山區(qū)期末）如圖1，在ABC中，A=120°，AB=AC，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速

13、度分別沿折線BAC、射線BC運(yùn)動(dòng)，連接PQ當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)BQ=x，BPQ與ABC重疊部分的面積為S如圖2是S關(guān)于x的函數(shù)圖象（其中0x8，8xm，mx16時(shí)，函數(shù)的解析式不同）（1）填空：m的值為8；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出PCQ為等腰三角形時(shí)x的值【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)題意求出BC的長(zhǎng)即可（2）分三種情形0m8，8x16，8x16，分別求出APQ面積即可（3）分三種情形討論當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，PQC不可能為等腰三角形當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上，根據(jù)PQ=QC列出方程即可當(dāng)點(diǎn)P在

14、AC上，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線，根據(jù)CP=CQ列出方程即可【解答】解：（1）如圖1中，作AMBC，PNBC，垂足分別為M，N由題意AB=AC=8，A=120°，BAM=CAM=60°，B=C=30°，AM=AB=4，BM=CM=4，BC=8，m=BC=8，故答案為8（2）當(dāng)0m8時(shí)，如圖1中，在RTPBN中，PNB=90°，B=30°，PB=x，PN=xs=BQPN=xx=x2當(dāng)8x16，如圖2中，在RTPBN中，PC=16x，PNC=90°，C=30°，PN=PC=8x，s=BQPN=x（8x）=x2+4x當(dāng)8x16時(shí)，s=8

15、（8x）=2x+32（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQC不可能是等腰三角形當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，PQ=QC，PC=QC，16x=（8x），x=4+4當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線時(shí)，PC=CQ，即16x=x8，x=8+4PCQ為等腰三角形時(shí)x的值為4+4或8+4【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想，屬于中考?？碱}型（2016大連模擬）如圖1，在ABC中C=90°，ACBC，正方形CDEF的頂點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)F在射線CB上設(shè)CD=x，正方形CDEF與ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的

16、函數(shù)圖象如圖2所示（其中0xm，mx2，2xn時(shí)，函數(shù)的解析式不同）（1）填空：m的值為；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）S的值能否為？若能，直接寫(xiě)出此時(shí)x的值；若不能，說(shuō)明理由【考點(diǎn)】四邊形綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）當(dāng)0xm時(shí)，結(jié)合圖形可知S=x2，把點(diǎn)（m，）代入可求得m的值；（2）結(jié)合圖形的變換可知當(dāng)mx2時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，可求得BC，當(dāng)x=m時(shí)，可得BEFBAC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AC的長(zhǎng)，當(dāng)mx2，設(shè)AB分別交DE、EF于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，可用x分別表示出PE和QE，S=S正方形CDEFSPEQ，可得到S與x的關(guān)系式，當(dāng)2xn時(shí)，設(shè)AB交DE于點(diǎn)

17、H，可用x表示出AP和PH，則有S=SABCSAPH，可得到S與x的關(guān)系式，從而可求得函數(shù)解析式；（3）利用（2）中所求得關(guān)系式，分別令S=，解相應(yīng)的方程進(jìn)行判斷即可【解答】解：（1）當(dāng)0xm時(shí)，如圖1，則可知點(diǎn)F從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB上，S=x2，點(diǎn)（m，）在函數(shù)圖象上，m2=，解得m=或m=（舍去），故答案為：；（2）當(dāng)x2時(shí)，可知點(diǎn)F從E點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，BC=2，在圖1中，由EFAC，BEFBAC，=，且CF=EF=，BF=BCCF=2=，=，解得AC=6，當(dāng)0x時(shí)，由（1）可知S=x2；當(dāng)x2時(shí)，設(shè)AB分別交DE、EF于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，如圖2，當(dāng)CD=CF=DE=EF=x時(shí)，B

18、F=2x，AD=6x，EFAC，=，即=，F(xiàn)Q=3（2x），QE=EFFQ=x3（2x）=4x6，同理可得=，即=，PD=（6x），PE=DEPD=x（6x）=（4x6），SPEQ=PEPQ=×（4x6）（4x6）=（4x6）2，S=S正方形CDEFSPEQ=x2（4x6）2=x2+8x6；當(dāng)2x6時(shí)，即點(diǎn)F從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使A、D重合，設(shè)AB交DE于點(diǎn)H，如圖3，當(dāng)CD=x時(shí)，則AD=6x，同理可得=，即=，DH=（6x），SADH=DHAD=×（6x）（6x）=（6x）2，且SABC=ACBC=6，S=SABCSAPH=6（6x）2=x2+2x；綜上可知S=，且0x6；（3

19、）若S=，則有三種情況，當(dāng)x2=時(shí)，則x=±，當(dāng)x=時(shí)顯然不滿足條件，當(dāng)x=時(shí)，也不滿足條件；當(dāng)x2+8x6=時(shí)，整理可得10x248x+75=0，該方程判別式=4824×10×750，即該方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)x2+2x=時(shí)，整理可得x212x+39=0，該方程判別式=1224×390，即該方程無(wú)實(shí)數(shù)解；綜上可知S的值不能為【點(diǎn)評(píng)】本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程及分類(lèi)討論等確定出正方形所運(yùn)動(dòng)到的位置與對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（2）、（3）中確定出AC和BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵本題考查知識(shí)點(diǎn)較

20、多，綜合性較強(qiáng)，特別是第（2）問(wèn)難度較大如圖1，在RtABC中，C=90°，B=30°，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度分別沿射線CA、射線CB運(yùn)動(dòng)，作CPQ關(guān)于直線PQ的軸對(duì)稱圖形（記為CPQ）當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)PC=xCPQ與ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0xm，mxn時(shí)，函數(shù)的解析式不同）且當(dāng)x=m時(shí)，S=（1）填空：n的值為3+；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）0xm，mxn時(shí)，函數(shù)的解析式不同可知當(dāng)x=m時(shí)，C在AB上，根據(jù)圖2得出x2=，

21、求得x=3，由四邊形PCQC是正方形，得出PCBC，進(jìn)一步得出PCA=B=30°，解直角三角形得出AP=PC=，從而求得n=AC=3+；（2）分兩種情況分別討論即可求得【解答】解：（1）0xm，mxn時(shí)，函數(shù)的解析式不同，當(dāng)x=m時(shí)，C在AB上，如圖，即x2=，x=3，四邊形PCQC是正方形，PCBC，PCA=B=30°，在RTAPC中，AP=PC=，n=AC=3+；故答案為3+；（2）當(dāng)0x3時(shí)，CPQ在ABC內(nèi)，S=x2；當(dāng)3x3+時(shí)，如圖AC=3+，PC=x，AP=3+x，PD=AP=3+3x，DC=x（3+3x）=（+1）x33，CE=DC=x3，SDCE=（+1）x33（x3）=（x3）2，S=x2（x3）2=x2+（4+6）x69，S=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，此題涉及的知識(shí)有：正方形的性質(zhì)，直角三角函數(shù)，三角形面積以及四邊形面積等，有一定的難度（2016大連）如圖1，ABC中，C=90°，線段DE在射線BC上，且DE=AC，線段DE沿射線BC運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，過(guò)點(diǎn)D作D