專題05圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題(解析版)

1、中考 2020專題五圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題【考題研究】在圖形運動的問題中，隨著圖形的運動，圖形中的線段長度、面積大小都在變化，從而找出這些變化的規(guī)律就是近年來中考出現(xiàn)的大量圖形運動問題的題目.解圖形運動問題關(guān)系的關(guān)鍵是用含自變量X的代數(shù)式表示出有關(guān)的量，如與 X有關(guān)的線段長，面積的大小等.這類題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸、分類討論、 方程等數(shù)學(xué)思想.【解題攻略】圖形運動的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點問題.產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關(guān)系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關(guān)系.還有一種不常見的， 就是線段全長等于部分線段之和.由勾股定理產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，在兩種類型的題目中比較常

2、用.類型一，已知“邊角邊”，至少一邊是動態(tài)的，求角的對邊.如圖 1,已知點A的坐標為（3, 4），點B 是x軸正半軸上的一個動點，設(shè) OB= x, AB= y,那么我們在直角三角形 ABH中用勾股定理，就可以得到 y 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.類型二，圖形的翻折.已知矩形OABCE坐標平面內(nèi)如圖 2所示，AB= 5,點O沿直線EF翻折后，點 O的對應(yīng)點D落在AB邊上，設(shè)AD= x, OE= y,那么在直角三角形 AE計用勾股定理就可以得到 y關(guān)于x的函 數(shù)關(guān)系式.由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題，在兩種類型的題目中比較常用.一是由平行線產(chǎn)生的對于線段成比例，二是相似三角形的對應(yīng)邊成比例.一般步驟是先說理

3、產(chǎn)生比例關(guān)系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根據(jù)要求寫出定義 域.關(guān)鍵是尋找比例關(guān)系，難點是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯.【典例指引1】如圖，在 ABC中,M不與A,B重合），且MQ BC ,（1）試說明不論x為何值時，總有QBM s ABC;【解題類型及其思路】圖形運動的過程中，求面積隨某個量變化的函數(shù)關(guān)系，是中考數(shù)學(xué)的熱點問題.計算面積常見的有四種方法，一是規(guī)則圖形的面積用面積公式；二是不規(guī)則圖形的面積通過割補進行 計算；三是同高（或同底）三角形的面積比等于對應(yīng)邊（或高）的比；四是相似三角形的面積比等于相似 比的平方.前兩種方法容易想到，但是靈活使用第三種和第四種方法，可以

4、使得運算簡單.一般情況下，在求出面積 S關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系后，會提出在什么情況下（ x為何值時），S取得 最大值或最小值.【典例指引】類型一【確定圖形運動中的線段的函數(shù)關(guān)系式及其最值A(chǔ) 90°, AB 3, AC 4,點M,Q分別是邊AB,BC上的動點（點過點M作BC的平行線MN ,交AC于點N ,連接NQ ,設(shè)BQ為BMNQ的面積最大，并求出最大值.【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)BQ MN時，四邊形BMNQ為平行四邊形；（3）當(dāng)45x 一時，四邊形BMNQ8（2）是否存在一點 Q,使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由;（3）當(dāng)x為何值時，四邊形，一，75 的面積取大，取大

5、值為 2【分析】（1）根據(jù)題意得到ZMQB = Z CAB,根據(jù)相似三角形的判定定理證明;（2）根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；(3)根據(jù)勾股定理求出 BC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM,根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計算即可.【詳解】解：(1) . MQ BC ,MQB 90 ,MQB CAB ,又 QBM ABC ,Q QBM s abc；(2)當(dāng)BQ MN時，四邊形BMNQ為平行四邊形,MN / /BQ , BQ MN ,四邊形BMNQ為平行四邊形；(3) A 90AB 3, AC 4,bc Jab2 AC2 5,QBM s ABC,QB Q

6、MBMx QM一 ,即-AB ACBC34.一45解得，QM-x, BM -x,33 MN/BC,BMMNBCAMAB即MN5解得，MN 525一x , 9則四邊形BMNQ的面積 12L2545xxx9323245x 一27875245 ,一時，四邊形8BMNQ的面積最大，最大值為752本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】如圖1,在矩形ABCD中，AB 8, AD 10, E是CD邊上一點，連接 AE ,將矩形 ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點 G.(

7、1)求線段CE的長;(2)如圖2, m , N分別是線段AG, DG上的動點(與端點不重合)，且 DMNDAM，設(shè) AM x ,DN y .寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出 y的最小值;是否存在這樣的點 M ,使VDMN是等腰三角形？若存在，請求出 x的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)CE 3;(2)當(dāng)x 4J5時，y有最小值，最小彳1 2;存在.滿足條件的X的值為8J5 10或11A2【解析】【分析】1由翻折可知:AD AF 10.DE EF ,設(shè) EC x ,則 DE EF 8 x.在 RtVECF 中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.AD AM2證明VADM sVGMN ,可得

8、，由此即可解決問題.MG GN有兩種情形：如圖3 1中，當(dāng)MN MD時.如圖3 2中，當(dāng)MN DN時，作MH DG于H.分別求解即可解決問題.【詳解】解：(1)如圖1中,四邊形ABCD是矩形,AD BC 10, AB CD 8,B BCD 90 ,由翻折可知： AD AF 10. DE EF ,設(shè) EC x,則 DE EF 8 x.在 RtVABF 中，bf Jaf 2 ab2 6，. CF BC BF 10 6 4,在 RtVEFC 中，則有：8 x 2 x2 42,x 3,EC 3.(2)如圖2中，圖2 AD / CG ,AD DE 一 一， CG CE1051 -CG 3 '.

9、CG 6,BG BC CG 16,在 RtVABG 中，ag 48 162 875，在 RtVDCG 中，dG ,62 8210，2 AD DG 10,DAG AGD ,3 DMG DMN NMG DAM ADM , DMN DAM ,ADM NMG, VADMsVGMN ,AD AM一,MG GN10 x,8.5 x 10 y1 24.5 sy x x 10 .105當(dāng)x 4J5時，y有最小值，最小值 2 .存在.有兩種情形：如圖 3-1中，當(dāng)MN MD時, MDN GMD , DMN DGM , .VDMNsVDGM ,DM MN ，DG GM MN DM , DG GM 10,x AM

10、875 10 .如圖3-2中，當(dāng)MN DN時，作MH DG于H .圖加 2 MNDMNDGMMDN MDG MGD , MD MG ,BH DG ,DH GH 5,由 VGHM sVGBA，可得 GH MGGB AG5 MG一16 8.5'MG 5-5 , 2. x AM 8 5 3 U.2 2綜上所述，滿足條件的 x的值為875 10或 止5 .2【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰 三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考 問題，屬于中考壓軸題.類型二【確定圖形運動中

11、的圖形周長的函數(shù)關(guān)系式及其最值】【典例指引 2】如圖，在平面直角坐標系中，直線 y x 4分別與x軸，y軸交于點 A和點C ,拋物線 y ax2 3x c經(jīng)過A, C兩點，并且與x軸交于另一點B .點D為第四象限拋物線上一動點 (不與點A,C 重合)，過點D作DF x軸，垂足為F ,交直線AC于點E ,連接BE .設(shè)點D的橫坐標為m .(1)求拋物線的解析式(2)當(dāng) ECD EDC 時,求出此時m的值；(3)點D在運動的過程中, EBF的周長是否存在最小值？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1) y x2 3x4; (2)當(dāng) ECD EDC 時，m 4 J2； (3)存在

12、.m 1.5時，VBEF 的周長最小.易求A(4,0),C (0, 4),根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案;(2)過點E作EH y軸，垂足為H ,易得：Q點D m,m2 3m 4 , E m, m 4 ,進而可知:EH HC m, ED m 4m2 3m 4m2 4m, EC 72m，根據(jù) ECD EDC 時,EC ED ,列出方程，即可求解;易證：zBFE的周長=BF FEBE BF AF BE AB BE ,可知：當(dāng) BE 最小，即 BE AC時，4BFE的周長最小，進而可求出VBEF的周長最小時，m的值.在y x 4中，當(dāng)x 0時，y4；當(dāng)y0時,x 4,A(4,0),C (0, 4).把A

13、 4,0 ,C 0, 4代入2 ax3x c 中,得:16a 12 c 0解得拋物線的解析式是3x(2)過點E作EHy軸，垂足為h .QOA OC4,OACOCAHECHCE45 .2Q 點 D m, m 3m4 , E m, mEH HC m, ED m 42m 3mm2 4叫 EC T2m，當(dāng) ECD EDC 時，EC ED ,V2mm2 4m，解得：mi 0（舍去），m2 4 22.當(dāng) ECD EDC 時，m 4 V2;存在.在拋物線y x2 3x 4中，當(dāng) y 。時，x2 3x 4 0 ,解得 Xi1,X2 4 ,點B坐標為 1,0 .Q FAE FEA 45 ,EF AF .設(shè)ABF

14、E的周長為l ,則 l BF FE BE BF AF BE AB BE ,Q AB的值不變，當(dāng)BE最小，即BE AC時， BFE的周長最小Q 當(dāng) BE AC 時，EBA BAE 45 ,BE AE ,BF AF 2.5,m 1.5時，VBEF的周長最小.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合問題，把動點E的坐標用未知數(shù) m表示出來，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.【舉一反三】如圖，直線y=- 色x+再分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，/ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+6 3經(jīng)過A, B兩點.(1)求A、B兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)點M

15、是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH ±BC于點H ,作MD / y軸交BC于點D,求4DMH周長的最大值.【答案】(1) (-1, 0) (2) y= x2+HEx+行(3)班二3 38【解析】試題分析：(1)由直線解析式可求得 B、C坐標，在RtBOC中由三角函數(shù)定義可求得 /OCB=60°,則在RtA AOC中可得ZACO=30°,利用三角函數(shù)的定義可求得OA,則可求得 A點坐標；(2)由A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(3)由平行線的性質(zhì)可知 / MDH=/BCO=60° ,在RtADMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、M

16、H與DM的關(guān)系，可設(shè)出 M點的坐標，則可表示出 DM的長，從而可表示出 4DMH的周長，利用二次函數(shù)的性 質(zhì)可求得其最大值.試題解析：(1) .直線y=-苴x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，3B (3, 0), C (0,拒),OB=3, OC=， tanZ BCO=-<3/ BCO=60° ,/ ACO=30° ,AOAO=1 ,解得 AO=1,A (-1, 0);(2).拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A, B兩點,白一方+= 0,解得“9。+ 3A +。括a =3D =拋物線解析式為y=-色x2+至Ex+百； 33(3) MD / y 軸，MH ±BC,

17、/ MDH = / BCO=60° ,則 / DMH =30° ,DH= DM , MH = DM , .DMH 的周長=DM + DH+MH = DM+LDM + DM = DM ,當(dāng)DM有最大值時，其周長有最大值,丁點M是直線BC上方拋物線上的一點,可設(shè) M (t, -12+1+JJ )，則 D (t, t+)DM = -苴 t2+XIt+百)，則 D (t, t+ a/3 ),當(dāng)t=C時，DM有最大值，最大值為,二4此時-JL_ DM = _X_2_ =二 ,2248即 DMH周長的最大值為9岳9 .8考點：1、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，2、待定系數(shù)法，3、三角函數(shù)的定義，

18、4方程思想類型三【確定圖形運動中的圖形面積的函數(shù)關(guān)系式及其最值】【典例指引3】如圖，拋物線y ax2 bx 3 ( a, b是常數(shù)，且awo)與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C.并且A, B兩點的坐標分別是 A(-1, 0), B(3, 0)(1)求拋物線的解析式； 頂點D的坐標為 ;直線BD的解析式為 ;(2)若P為線段BD上的一個動點，其橫坐標為 m,過點P作PQx軸于點Q,求當(dāng)m為何值時，四邊形PQOC的面積最大？(3)若點M是拋物線在第一象限上白 時，四邊形 MNAC是平行四邊形.【答案】yx2 2x 3【解析】【分析】(1)把點A、點B的坐標代入)求解；設(shè)直線BD的解析式為y勺一

19、個動點，過點M作MN / AC交x軸于點N .當(dāng)點M的坐標為 J述。八八981-、；(1, 4)； y 2x 6； (2)當(dāng) m 時，S最大值=一；(3) (2, 3)416/ ax2 bx 3,求出a, b即可；根據(jù)頂點坐標公式( ,4ac b )2a 4akx n ,將點B、點D的坐標代入即可；(2)求出點C坐標，利用直角梯形的面積公式可得四邊形PQOC的面積s與m的關(guān)系式,可求得面積的最大值;(3)要使四邊形 MNAC是平行四邊形只要 MCAN即可,所以點M與點C的縱坐標相同,由此可求得點M坐標.解：(1)把 A ( 1, 0), B (3, 0)代入2axbx3,得9ab 3 0,3b

20、 30.解得1,2.2x 2x3.當(dāng)x =-=2a -22,=1時,4ac b24a所以頂點坐標為(1, 4)設(shè)直線BD的解析式為kx(3, 0)、點D (1, 4)的坐標代入得3k n所以直線BD的解析式為(2)二點P的橫坐標為當(dāng)x 0時,y 0 0 3 3.C (0, 3).由題意可知:m,2x 6.則點P的縱坐標為2m6.OC=3, OQ=m, PQ= 2m 6 .- s= ( 2m26 3) m9 2(m 4)8116- 1<0, 1 V 9 <3,4981, , 3 m 時 s最大值=.416如圖，MN / AC,要使四邊形 MNAC是平行四邊形只要 MC/AN即可.設(shè)點

21、M的坐標為(x, x2 2x 3),由yx22x3可知點C(0,3)Q MC/AN x22x33解得x 2或0 (不合題意，舍去) 2_4一一x2x34433當(dāng)點M的坐標為(2, 3)時，四邊形 MNAC是平行四邊形.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)的解析式及頂點、一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)在三角形和平行四邊形中的應(yīng)用，將二次函數(shù)的解析式與幾何圖形相結(jié)合是解題的關(guān)鍵【舉一反三】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A (- 1, 0)、C (3, 0),點B為拋物線頂點，直線 BD為拋物線 的對稱軸，點 D在x軸上，連接 AB、BC, Z ABC = 90°

22、, AB與y軸交于點E,連接CE.中考 2020(1)求項點B的坐標并求出這條拋物線的解析式；(2)點P為第一象限拋物線上一個動點，設(shè) PEC的面積為S,點P的橫坐標為m,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān) 系武，并求出S的最大值；(3)如圖2,連接OB,拋物線上是否存在點 Q,使直線QC與直線BC所夾銳角等于/ OBD ,若存在請直 接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)點 B 坐標為(1, 2), y= - x2+x+ ;(2) S= - - m2+2m+ ,S最大值；(3)點 Q 的224412.110坐標為(-二20).39【解析】【分析】(1)先求出拋物線的對稱軸，證 4ABC是等腰直

23、角三角形，由三線合一定理及直角三角形的性質(zhì)可求出BD的長，即可寫出點 B的坐標，由待定系數(shù)法可求出拋物線解析式；(2)求出直線AB的解析式，點E的坐標，用含 m的代數(shù)式表示出點 P的坐標，如圖1,連接EP, OP,CP,則由Sa epc=Sa oep+S/xocp-S/xoce即可求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出S的最大值；(3)先證ODBsebc,推出/OBD=/ECB,延長CE,交拋物線于點 Q,則此時直線 QC與直線BC 所夾銳角等于ZOBD,求出直線CE的解析式，求出其與拋物線交點的坐標，即為點 Q的坐標.【詳解】解：(1) . A (1, 0)、C (3, 0),

24、AC = 4,拋物線對稱軸為 x= - = 1,2BD是拋物線的對稱軸，D (1, 0),由拋物線的對稱性可知 BD垂直平分AC,BA= BC,又. / ABC=90°,BD= 1AC=2, 2，頂點B坐標為(1,2),設(shè)拋物線的解析式為 y= a (x - 1) 2+2,將A ( - 1, 0)代入，中考 2020得 0=4a+2, m1解得，a2拋物線的解析式為:1x2+X+3；1 ，y= (x1) 2+2 =2(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,0), B (1, 2)代入,解得，k= 1, b=1,yAB = x+1,當(dāng) x= 0 時，y= 1,(0,1),丁點P的橫坐標

25、為m,P的縱坐標為-m2+m+ ,如圖1,連接 EP, OP, CP,貝U S>a epc=Sa oep+ Sa ocp 一 $ oce11=- M Xm+ X3 (-224(m- 4) 2+空,312="-m2+2m+ ,m=-時，S有最大值公；3123 .一一一一，一，-3<0,根據(jù)二次函數(shù)和圖象及性質(zhì)知，當(dāng)4(3)由(2)知 E (0, 1),又A ( 1, 0), .-.OA=OE=1, . OAE是等腰直角三角形,又. AB=BC= AB = 2T2，BE = AB - AE= 22，.BE .21BC 2.2 2 'p . . OD 1又,BD 2,B

26、E OD一，BC BD又. / ODB= / EBC=90°, . ODBA EBC, ./ OBD= / ECB,延長CE,交拋物線于點 Q,則此時直線 QC與直線BC所夾銳角等于ZOBD,設(shè)直線CE的解析式為y= mx+1,將點C (3, 0)代入,得，3m+1 = 0,1 m= ,3. 一 1 一 yCE= x+13y聯(lián)立1解得,3,109點Q的坐標為10、9圖1匡2【點睛】 本題是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合題目，巧妙利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)已知條件可得出拋物線的解析式是解題的基礎(chǔ)，難點是利用數(shù)形結(jié)合作出合理的輔助線【新題訓(xùn)練】1 C1 .如圖，已知直線 AB經(jīng)過點(0

27、, 4),與拋物線y= -x2交于A, B兩點，其中點A的橫坐標是 2 .4(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點B的坐標.(2)在x軸上是否存在點 C,使得AABC是直角三角形？若存在，求出點 C的坐標，若不存在請說明理由. 過線段AB上一點P,作PM / x軸，交拋物線于點 M ,點M在第一象限，點 N (0, 1),當(dāng)點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？【答案】(1)直線y= 3x+4,點B的坐標為(8, 16); (2)點C的坐標為(-,0), (0, 0), (6, 0),22(32, 0)； (3)當(dāng)M的橫坐標為6時，MN+3PM的長度的最大值是 18.【解析】(

28、1)首先求得點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點坐標；(2)分若/ BAC=90° ,貝U AB2+AC2=BC2；若/ ACB=90° ,貝U AB2=AC2+BC2；若/ ABC=90°,貝U AB2+BC2=AC2三種情況求得 m的值，從而確定點 C的坐標；11ca2 16 .(3)設(shè)M(a, a2),得MN= a2+1 ,然后根據(jù)點P與點M縱坐標相同得到x=6,從而得到MN+3PM =446-a2+3a+9,確定二次函數(shù)的最值即可.4【詳解】(1)二點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為-2,12y ( 2)1,A點的坐

29、標為(-2, 1),設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,將(0, 4), (-2, 1)代入得2k bk解得 2b 4 3， y x+ 42 直線與拋物線相交，3.12x 4 x24解得：x=-2或x=8,當(dāng) x=8 時，y=16,.點B的坐標為(8, 16)；(2)存在.由 A(-2, 1), B(8, 16)可求得 AB2=(8+ 2)2+ (16- 1)2=325.設(shè)點 C(m, 0),同理可得 AC2=(m+ 2)2+12=m2+4m + 5,BC2= (m 8)2+ 162= m2 16m+ 320,1若/ BAC=90 ,則 AB2+AC2=BC2,即 325+m2+4m+5= m2

30、16m+ 320,解得 m=；2若/ ACB=90°,則 AB2=AC2+BC2,即 325= m2+4m+5+m216m+ 320,解得 m=0 或 m = 6;若/ ABC=90°,則 AB2+BC2=AC2,即 m2+4m+5= m216m + 320+ 325,解得 m=32,點 C 的坐標為(一1, 0), (0, 0), (6, 0), (32, 0)(3)設(shè) M(a, la2), 4則 MN= a2212一 a 144a2 3又二.點P與點M縱坐標相同,二 x+4= a2,a2 16x=,6.點P的橫坐標為a2 1656MP = a- a_16 ,6MN +

31、3PM = 1a2+1+ 3(a4a2 16611c 一)=a +3a+9= (a6) +18,44. 2<6<,8當(dāng)a=6時，取最大值18,當(dāng)M的橫坐標為6時，MN + 3PM的長度的最大值是182.如圖，拋物線y=ax2 +bx+ 4與x軸的兩個交點分別為A (4, 0)、B (2, 0),與y軸交于點C,頂點為(2)x軸、y軸分別交于F、G.D. E (1, 2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與在直線EF上求一點H,使3DH的周長最小，并求出最小周長;(3)若點K在x軸上方的拋物線上運動，當(dāng) K運動到什么位置時， AEFK的面積最大？并求出最大面積.1 29【答案】(1)

32、 y -x x 4頂點D的坐標為(1,)(2) H315、4835、一)8(1)將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，進而可用配方法求出其頂點D的坐標;(2)根據(jù)拋物線的解析式可求出 C點的坐標，由于 CD是定長，若ACDH的周長最小，那么 CH+DH的值最小，由于EF垂直平分線段 BC,那么B、C關(guān)于直線EF對稱，所以BD與EF的交點即為所求的 H點;易求得直線BC的解析式，關(guān)鍵是求出直線 EF的解析式；由于 E是BC的中點，根據(jù)B、C的坐標即可求 出E點的坐標；可證 CEGsCOB,根據(jù)相似三角形所得的比例線段即可求出 CG、OG的長，由此可求出G點坐標，進而可用待定系

33、數(shù)法求出直線EF的解析式，由此得解;(3)過K作x軸的垂線，交直線 EF于N;設(shè)出K點的橫坐標，根據(jù)拋物線和直線 EF的解析式，即可表示出K、N的縱坐標，也就能得到 KN的長，以KN為底，F(xiàn)、E橫坐標差的絕對值為高，可求出AKEF的面積，由此可得到關(guān)于 AKEF的面積與K點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出其面積的最大值及對應(yīng)的K點坐標(1)由題意,16a得4a4b 42b 40解得a0所以拋物線的解析式為4,頂點(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M.因為一，9、D的坐標為(一1, 2 ).EF垂直平分BC,即C關(guān)于直線EG的對稱點為B,連結(jié)BD交于EF于一點，則這一點為所求點H,

34、使DH+CH最小，即最小為12DH+CH = DH+HB=BD= . BM 2 DM 2313. 而CD25 313. CDH 的周長最小值為 CD + DR+CH=V5 3V1322kl b 0ki設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+b,則9解得k12所以直線BD的解析式為y= 3x+ 3.2由于 BC= 2 屈,CE=BC/2 塞，RtACEGACOB, 得 CE:CO=CG:CB,所以 CG= 2.5, GO= 1.5. G (0, 1.5).同理可求得直線 EF的解析式為y= 1 x+ 3 .22 315聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使 4CDH的周長最小的點 H (-,481 . 2(3

35、)設(shè)K (t,tt 4 ), xfv tv xe.過K作x軸的垂線父EF于N .2一1 2131235則 KN=yK yN=tt 4 (1+ ) =tt.2+空222222t+22所以 Szefk=Szkfn +Sakne= KN (t+ 3) + 1 KN (1t) = 2KN= t2 3t+ 5 =22即當(dāng)t=- 3時，AEFK的面積最大，最大面積為 空，此時K ( 3 ,竺) 2428【點睛】 本題是二次函數(shù)的綜合類試題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、 三角形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，難度較大.3.如圖，已知二次函數(shù) 尸ax2+2x+c的圖象經(jīng)

36、過點 C (0, 3),與x軸分別交于點 A,點B (3, 0).點P是直線BC上方的拋物線上一動點.(1)求二次函數(shù) y=ax2+2x+c的表達式;(2)連接PO, PC,并把4POC沿y軸翻折，得到四邊形 POPC.若四邊形POPC為菱形，請求出此時點P的坐標;(3)當(dāng)點P運動到什么位置時， 四邊形ACPB的面積最大？求出此時 P點的坐標和四邊形 ACPB的最大面積.【答案】(1) y=-x2+2x+3 (2) ( 2+炳 ,3) (3)當(dāng)點P的坐標為(3, 15)時，四邊形ACPB的最大面積值為758【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；(2)根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平

37、分，可得 P點的縱坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得 P點坐標；(3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得 PQ的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】(1)將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式，得9a 6 c 03,3,二次函數(shù)的解析式為 y= - x2+2x+3 ;(2)若四邊形POPC為菱形，則點P在線段CO的垂直平分線上,如圖1,連接PP',則PEXCO,垂足為E,.C(0, 3),3，點P的縱坐標一,2、“32 c 八 3當(dāng) y 時，即 X2 2x 322解得x1 2屈,x2 2 W (不合題意，舍) 2.點

38、P的坐標為(3)如圖2,22 、10 3丁，2P在拋物線上，設(shè) P (m, - m2+2m+3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式，得13.3k 3 0 b 3,k解得b直線BC的解析為y=-x+3,設(shè)點Q的坐標為(m, - m+3),PQ=-m2+2m+3 - (-m+3) = - m2+3m.當(dāng) y=0 時，x2+2x+3=0 ,解得 xi= - 1 , x2=3,OA=1 ,AB 3 14,中考 2020S 四邊形 abpc=Smbc+Sapcq+Sapbq1“11 -AB OC -PQ OF -PQ FB,2221c 12 cc4 3 m 3m 3,2

39、 223 375m,2 283 . 當(dāng)m=時，四邊形ABPC的面積最大.2.3 一， 2153 15m m=一時，m 2m 3 ,即P點的坐標為 一,242 4,，一 ，3 1575當(dāng)點P的坐標為 -, 時，四邊形ACPB的最大面積值為 15 .2 48本題考查了二次函數(shù)綜合題，解(1)的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解(2)的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出P點的縱坐標，又利用了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；解(3)的關(guān)鍵是利用面積的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì).4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線v= x2+mx + n經(jīng)過點A(3, 0)、B(0, 3),點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交

40、拋物線于點 M,設(shè)點P的橫坐標為t.8(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的解析式.(2)若點P在第四象限，連接 AM、BM,當(dāng)線段PM最長時，求 AABM的面積.(3)是否存在這樣的點 P,使得以點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)拋物線的解析式是y x2 2x 3 .直線AB的解析式是y x 3.(2)27中考 2020(3) P點的橫坐標是3何或3歷.【解析】【分析】(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A (3, 0) B (0, -3)分別代入y=x2+mx+nJf y=kx+b,得到關(guān)于m、n的兩個方

41、程組，解方程組即可;(2)設(shè)點P的坐標是(t, t-3),則M (t, t2- 2t-3),用P點的縱坐標減去 M的縱坐標得到 PM的長,即PM= (t-3) - (t2-2t-3) = - t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到3 In - 9 o當(dāng)t=-"、=三時，PM最長為廣=一，再利用三角形的面積公式利用計算即可；S/ABM = Sa BPM+ SaAPM(3)由PM /OB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊.-_ _ ,.一 Jq 形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3, PM最長時只有3，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：P

42、M=OB=3,(t2-2t- 3) - (t-3) =3;當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.【詳解】解：(1)把 A (3, 0) B (0, -3)代入 yx20 9 3m n m 3 n 解得n所以拋物線的解析式是 y x2 2x 3.設(shè)直線AB的解析式是y kx b,把A (3, 0) B (0,3)代入y kx b，得0 3kb k3 b 解得名所以直線AB的解析式是y x 3.(2)設(shè)點P的坐標是2p, p 3)惻M(p,p 2p 3),因為p在第四象限，所以，一 * 2 -PM = (p 3) (p2 p 3)2p 3p

43、,當(dāng)PM最長時PMSvABMSVBPMSVAPM9_274- 8(3)若存在，則可能是:9P在第四象限：平行四邊形 OBMP ,PM=OB=3, PM最長時PM所以不可能4P在第一象限平行四邊形 OBPM: PM = OB=3, p2所以P點的橫坐標是3幅.P在第三象限平行四邊形 OBPM： PM=OB=3, p2p23后,所以P點的橫坐標是36.22所以P點的橫坐標是3或3后.225.如圖，二次函數(shù) > -X2 +小，+亡的圖像與工軸交于3p 3 ,解得 R 3 ,21 , P2 3 "21 （舍去）， 223p 3 ,解得 p13 21 （舍去），2A、B兩點，與下軸交于點

44、C , OB = OC .點D在函數(shù)圖像上，CD/工軸，且CD = 2 ,直線是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點.(1)求3、二的值；(2)如圖，連接BE ,線段OC上的點F關(guān)于直線I的對稱點Fr恰好在線段BE上，求點F的坐標；(3)如圖，動點P在線段0B上，過點P作量軸的垂線分別與BC交于點*1 ,與拋物線交于點N .試問: 拋物線上是否存在點 Q ,使得APQN與gPM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q 的坐標；如果不存在，說明理由.(RKD)用)【答案】（1）b=-l, c = 3-；（2）點F的坐標為（0:7） ;（3）點2的坐標為-二和一二二4 J 4,【解析】試題

45、分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式，拋物線上的點代入，即可；（2）先求F的對稱點，代入直線BE,即可；（3）構(gòu)造新的二次函數(shù)，利用其性質(zhì)求極值.試題解析：.解：（1） : 8二左軸，S = 2 ,，拋物線對稱軸為直線 卜工二1一k:. =lrb = -2 - OB =OCrC（ B 點的坐標為 f-c一二0 二二'- q解得u二一3或七三0 （舍去），c = 3.（2）設(shè)點產(chǎn)的坐標為0=歷）_ 對稱軸為直線/：工二工二點產(chǎn)' 關(guān)于直線I的對稱點F的坐標為（工朋!J .;直線8E經(jīng)過點8（3=E（L-4）二利用待定系數(shù)法可得直線 BE的表達式為y =2x-6 .因為點F在3E上

46、，二陽二2乂26二一工即點F的坐標為（02）一（3）存在點O滿足題意.設(shè)點P坐標為（20）,則PA三打+1二&三EV = 3 一兄P匯三一/小川*作 0? RV± 垂足為凡=5 A電-二 S為二”（葡+ 1）（3-打j 二-3 卬尤二 QR =1.點2在直線FJV的左側(cè)時，0點的坐標為（修一LM-4F=R點的坐標為（注/一4打點的坐標為（打“一M- 3）一二在五工，。艮中，ZVQ, = 1 +12打一3,，二燈二：時，X0取最小值1 .此時。點的坐標為1 _15點2在直線F：v的右側(cè)時，0點的坐標為（k+ 11京一4|一同理，=打一1，口 二時，：V。取最小值1 .此時2點的

47、坐標為綜上所述：滿足題意得點 2的坐標為考點：二次函數(shù)的綜合運用6.如圖，在矩形 ABCD中，AB=6cm, AD = 8cm,連接BD,將3BD繞B點作順時針方向旋轉(zhuǎn)得到 那'B'D'（B與B重合），且點D剛好落在BC的延長上，A'D與CD相交于點E.（1）求矩形ABCD與AABD重疊部分（如圖中陰影部分 ABCE）的面積;(2)將AABD以2cm/s的速度沿直線 BC向右平移，當(dāng)B移動到C點時停止移動.設(shè)矩形ABCD與AAB'D重疊部分的面積為 ycm2,移動的時間為x秒，請你求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量 x的取值范【答案】(1)竺；(2)

48、當(dāng)0叔16時，y=-與-3x+24,當(dāng)竺小4時，丫=8*2-旦+金 25225333【解析】 【分析】A' B' CE(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 B'D'=BD = 10, CD'= BD - BC= 2,由tan/B'D A'= ，可求出CE,A'D' CD'即可計算 ZCED '的面積，Sabce= Sa bd - Sced(2)分類討論，當(dāng)0aw 16時和當(dāng)16 vxw4時，分別列出函數(shù)表達式; 55【詳解】 解：(1) . AB=6cm, AD = 8cm,BD= 10cm,CECD'根據(jù)旋轉(zhuǎn)

49、的性質(zhì)可知 BD'= BD = 10cm, CD = BD- BC=2cm,A'B'tan Z B D A=A'D'CE2.CE =3cm,2Sabce= Sabd - Sced(2)當(dāng)0蟲 v 16 時，CD = 2x+2, 5“3452X- -?2 =22CE= x, 2(cm2);Sa cde =3x2+3x,，y.3x2-x2- 3x+24;22222,16 一,4當(dāng)一致W4時，BC= 10- 2x, CE= (10-2x)51 4y= x (10- 2x) 2=2 338/ 80 x+ 2003x-3* 一【點睛】 本題主要考查了圖形的平移變換

50、和旋轉(zhuǎn)變換，能夠數(shù)形結(jié)合，運用分類討論的思想方法全面的分析問題，思考問題是解決問題的關(guān)鍵.7.如圖，已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A (- 1, 0), B (3, 0)兩點，與y軸相交于點 C (0, - 3).(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PHx軸于點H,與BC交于點M,連接PC.求線段PM的最大值；當(dāng)APCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點 P的坐標.【答案】(1)二次函數(shù)的表達式 y=x2-2x-3； (2)PM最大=9；P (2, 3)或(3-J2 , 24J2 ).4【解析】【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函 數(shù)的性質(zhì)，可得答案；根據(jù)等腰三角形的定義，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案.【詳解】(1)將A, B, C代入函數(shù)解析式，a b c 0a 1得 9a 3b c 0,解得 b 2,c 3c 3這個二次函數(shù)的表達式 y=x2 - 2x- 3；(2)設(shè)BC的解析式為y=kx+b,將B, C的坐標代入函數(shù)解析式，得3kbBC的解析式為y=x- 3,設(shè) M (n, n-3), P (n, n2-2n-3)