方法歸納利用勾股定理解決折疊問題

1、方法歸納利用勾股定理解決折疊問題一、利用勾股定理解決平面圖形的折疊問題【例1】 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5 cm，BC=10 cm，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD的長(zhǎng)為( ) A. cm B. cm C. cm D. cm【分析】圖中CD在RtACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折疊的對(duì)稱性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之.【方法歸納】折疊問題是近幾年來中考中的常見題型.解折疊問題關(guān)鍵是抓住對(duì)稱性.勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)含有平方關(guān)系的等式，求線段的長(zhǎng)時(shí)，可由此列出方程，運(yùn)用方程思想分析問題和解決問題，以便簡(jiǎn)化求解

2、.1.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CE的長(zhǎng)為( ) A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm2.(2014·青島)如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C上，若AB6，BC9，則BF的長(zhǎng)為( ) A.4 B.3 C.4.5 D.53.如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為( ) A.3 B.4 C.5 D.64.如圖，長(zhǎng)方形AB

3、CD的邊AD沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知AB=6，ABF的面積是24，則FC等于( ) A.1 B.2 C.3 D.45. 如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，且BC=3，則AM的長(zhǎng)為( ) A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.56.如圖所示，在ABC中，B=90°，AB=3，AC=5，將ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則ABE的周長(zhǎng)為_.7.如圖，在RtABC中，C=90°，BC=6 cm，AC=8 cm，按圖中所示方法將BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C點(diǎn)，那么ADC的

4、面積是_.8.如圖，已知RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，將它的銳角A翻折，使得點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)D處，折痕交AC邊于點(diǎn)E，交AB邊于點(diǎn)F，則DE的值為_.二、利用勾股定理解決立體圖形的展開問題【例2】 如圖，圓柱形玻璃杯，高為12 cm，底面周長(zhǎng)為18 cm，在杯內(nèi)離杯底4 cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4 cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_cm.【分析】將圓柱形平面展開，將A、C兩點(diǎn)放在同一平面內(nèi),然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.【方法歸納】在曲面上求兩點(diǎn)之間的最短距離，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”和“化曲面為平面”兩種思想，利用

5、勾股定理解決.解決本題時(shí)要注意展開后有一直角邊長(zhǎng)是9 cm而不是18 cm.9.如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24 cm，高AB為5 cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是( ) A.6 cm B.12 cm C.13 cm D.16 cm10.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為2 m，寬為1 m的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱和場(chǎng)地寬AD平行且棱長(zhǎng)大于AD，木塊從正面看是邊長(zhǎng)為0.2 m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)C處需要走的最短路程是_m（精確到0.01 m）.11.一位同學(xué)要用彩帶裝飾一個(gè)長(zhǎng)方體禮盒.長(zhǎng)方體高6 cm，底面是邊長(zhǎng)為4 cm的正方形，從頂點(diǎn)A到頂

6、點(diǎn)C如何貼彩帶用的彩帶最短？最短長(zhǎng)度是多少？12.如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處. (1)請(qǐng)你畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑； (2)當(dāng)AB=4，BC=4，CC1=5時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng).參考答案例1 要使A，B兩點(diǎn)重合，則折痕DE必為AB的垂直平分線. 設(shè)CD=x，則AD=BD=10-x. 在RtACD中，由勾股定理，得x2+52=(10-x)2.解得x=. 故應(yīng)選D.變式練習(xí)1.A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.7 7.6 cm2 8.例2 如圖，圓柱形玻璃杯展開（沿點(diǎn)A豎直剖開）后，側(cè)面是

7、一個(gè)長(zhǎng)18 cm，寬12 cm的長(zhǎng)方形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接BM，過點(diǎn)C作AB的垂線交剖開線MA于點(diǎn)D. 由軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP+PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，且AP=BP. 由已知和長(zhǎng)方形的性質(zhì)，得DC=9,BD=12. 在RtBCD中，由勾股定理得BC=15. AP+PC=BP+PC=BC=15. 即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15 cm.變式練習(xí)9.C 10.2.6011.把長(zhǎng)方體的面DCCD沿棱CD展開至面ABCD上，如圖.構(gòu)成矩形ABCD，則A到C的最短距離為AC的長(zhǎng)度，連接AC交DC于O， 易證AODCOC.OD=OC. 即O為DC的中點(diǎn)， 由勾股定理得AC2=AD2+DC2=82+62=100, AC=10 cm. 即從頂點(diǎn)A沿直線到DC中點(diǎn)O，再沿直線到頂點(diǎn)C，貼的彩帶最短，最短長(zhǎng)度為10 cm.12.(1)如圖，木柜的表面展開圖是兩個(gè)矩形ABC1D1和ACC