人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章1.3.1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性-教案

1、1.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.3.1 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【提出問題】在必修一中我們知道，對于函數(shù)y= f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義，在區(qū)間(a,b)上任取xi,X2, 設(shè)/X=X2-X1 ,如果2x=X2-xi0時(shí)，都有y= f(X2)- f(xi)0,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù);如果2x=X2-xi0時(shí)，都有力y= f(x2)- f(xi)0時(shí)，都有y= f(X2)- f(xi )0,等價(jià)于 = 0X X2 X1,一 y f%) f(),_從函數(shù)圖象上看，=4一表示A(Xi, yi), B(x2,y2)兩點(diǎn)割線的斜率。XX2 X1因此，如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)上的圖象上任

2、意兩點(diǎn) A(Xi, yi), B(X2, y2)割線的斜率都大于0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)。當(dāng)點(diǎn)B沿著曲線趨近于點(diǎn) A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置是直線 AD,這條 直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A的切線。所以，我們猜想如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)上每一點(diǎn)的切線斜率都大于0,則函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)。我們知道，在區(qū)間(a,b)上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是在區(qū)間(a,b)上每一點(diǎn)的切線斜率。所以，我們進(jìn)一步猜想：如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b)上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都大于 0,則函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)；如果函數(shù)在區(qū)間 (a,b)上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都小

3、于 0,則函數(shù)y = f(x)在區(qū) 間(a,b)上為減函數(shù)。【獲得新知】用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f (x)0,那么函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)，(a,b)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間；如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)f (x)0(或f (x) (x)0在(a, b)上恒成立；(4)如果f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)是減函數(shù)，那么 f1 (x)0 時(shí)，得 xC ( 8, - 1)U (1, + 8),當(dāng) fx)0, f (x)0 時(shí)，得 x (8, - 1)U (1, + 8),當(dāng) fx)0 時(shí)，得 xC(1,0) U (0, 1)所

4、以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8, 1), (1, +8)單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0) , (0, 1).【規(guī)律技巧】 定義域不是全體實(shí)數(shù)時(shí)，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟和方法：第一步：確定函數(shù)f(x)的定義域；第二步：求fx)；第三步：穿根法判斷f x)的符號。穿根時(shí)，把函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn)(即包括f(x)的無定義點(diǎn)) 的橫坐標(biāo)和上面的各個(gè)實(shí)根按從小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間.第四步：根據(jù)f x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性.bx例3求函數(shù)f(x)=x2-1 (bw0)的單調(diào)區(qū)間.bx解：因?yàn)?f(x)=x2=1 的定義域?yàn)?，1)U( 1,1)U(1,)b x2 1 bx 2x b x2+ 1因?yàn)?f，(x)=x2一 i 2= -x2 i 2 ,當(dāng) b0,此時(shí) x (, 1)U( 1,1)U(1,)當(dāng) b0 時(shí)，f，(x)0,此時(shí) x (, 1)U( 1,1)U(1,).所以當(dāng)b0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 1), ( 1,1), (1,+8),沒有遞增區(qū)間?！疽?guī)律技巧】如果函數(shù)解析式中含有參數(shù)，在判斷導(dǎo)函數(shù)符號時(shí)往往要對參數(shù)取值進(jìn)行 討論。【總結(jié)提煉】這節(jié)內(nèi)容我們函數(shù)單調(diào)性定義開