二次函數(shù)及面積之鉛垂高

1、 .wd.二次函數(shù)與面積之鉛垂高一教學(xué)目的1.讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，觀察圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力2理解用“鉛錘高，水平寬求不規(guī)那么三角形面積的方法，并用此方法解決二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題中有關(guān)三角形面積計(jì)算的問題。二重點(diǎn)難點(diǎn)1靈活應(yīng)用鉛垂高進(jìn)展二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題中有關(guān)三角形面積計(jì)算的問題。2鉛垂高的尋找方法，以及用坐標(biāo)表示線段三教學(xué)方法先讓學(xué)生閱讀理解，自主探究，引導(dǎo)學(xué)生掌握方法，講練結(jié)合四教學(xué)過程BC鉛垂高水平寬h a 圖12-1A2例1閱讀材料：如圖12-1，過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫AB

2、C的“水平寬(a)，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高(h).我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. 解答以下問題： 如圖12-2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時(shí)，求CAB的鉛垂高CD及；圖12-2xCOyABD11(3)是否存在一點(diǎn)P，使SPAB=SCAB，假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.例1解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：1分 把A3,0代入解析式求得所以

3、3分設(shè)直線AB的解析式為：由求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為4分把，代入中解得：所以6分(2)因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)所以當(dāng)x時(shí)，y14，y22所以CD4-228分(平方單位)10分(3)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，PAB的鉛垂高為h，那么12分由SPAB=SCAB得：化簡得：解得，將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為14分總結(jié)：求不規(guī)那么三角形面積時(shí)不妨利用鉛垂高。鉛垂高的表示方法是解決問題的關(guān)鍵，要學(xué)會用坐標(biāo)表示線段。例22010廣東省中考擬如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為3，0，OBOC ，tanACO1求

4、這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式2經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由3假設(shè)平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度_y_x_O_E_D_C_B_A圖10_G_A_B_C_D_O_x_y圖114如圖11，假設(shè)點(diǎn)G2，y是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和APG的最大面積.1方法一：由得：C0，3，A1，0 將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得解得：所以這個(gè)二

5、次函數(shù)的表達(dá)式為：方法二：由得：C0，3，A1，0 設(shè)該表達(dá)式為：將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分2方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為2，3 理由：易得D1，4，所以直線CD的解析式為：E點(diǎn)的坐標(biāo)為3，0 由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AECF2，AECF以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為2，3 方法二：易得D1，4，所以直線CD的解析式為：E點(diǎn)的坐標(biāo)為3，0 以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形F點(diǎn)的坐標(biāo)為2，3或2，3或4，3 代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有2，3符合存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為2，3 3如圖，當(dāng)直線M

6、N在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為RR>0，那么NR+1，R，代入拋物線的表達(dá)式，解得當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為rr>0，那么Nr+1，r，代入拋物線的表達(dá)式，解得圓的半徑為或 4過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G2，3，直線AG為設(shè)Px，那么Qx，x1，PQ當(dāng)時(shí)，APG的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，隨堂練習(xí)12010江蘇無錫如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為-4，0和2，0，BC=設(shè)直線AC與直線x=4交于點(diǎn)E1求以直線x=4為對稱軸，且過C與原點(diǎn)O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并說明此拋物線一定過點(diǎn)E；2設(shè)1中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N，M是該拋物線上位于C、N之

7、間的一動點(diǎn)，求CMN面積的最大值【答案】解：1點(diǎn)C的坐標(biāo)設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，那么，解得所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為那么，解得直線AC的函數(shù)關(guān)系式為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為把x=4代入式，得，此拋物線過E點(diǎn)21中拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N8，0，設(shè)Mx，y，過M作MGx軸于G，那么SCMN=SMNG+S梯形MGBCSCBN=當(dāng)x=5時(shí)，SCMN有最大值課下練習(xí)1(此題總分值12分)：如圖一次函數(shù)yx1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)yx2bxc的圖象與一次函數(shù)yx1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求四邊

8、形BDEC的面積S；(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？假設(shè)存在，求出所有的點(diǎn)P，假設(shè)不存在，請說明理由第24題圖32010山東臨沂如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).1求該拋物線的解析式，并判斷的形狀；2在軸上方的拋物線上有一點(diǎn),且以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；3在此拋物線上是否存在點(diǎn),使得以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由.第26題圖【答案】解：根據(jù)題意，將A,0,B2,0代入y=-x2+ax+b中，得解這個(gè)方程，得全品中考網(wǎng)所以拋物線的解析式為y=-x2+x+1.當(dāng)x=0時(shí)，y=

9、1.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為0，1。所以在AOC中，AC=.在BOC中，BC=.AB=OA+OB=.因?yàn)锳C2+BC2=.所以ABC是直角三角形。圖12點(diǎn)D的坐標(biāo)是.3存在。由1知，ACBC, 假設(shè)以BC為底邊，那么BCAP,如圖1所示，可求得直線BC的解析式為.直線AP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為，將A,0代入直線AP的解析式求得b=,所以直線AP的解析式為.因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1=.解得不合題意，舍去.圖2 當(dāng)x=時(shí)，y=.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，.假設(shè)以AC為底邊，那么BPAC，如圖2所示，可求得直線AC的解析式為.直線

10、BP可以看作是由直線AC平移得到的，所以設(shè)直線BP的解析式為，將B2,0代入直線BP的解析式求得b=-4,所以直線BP的解析式為y=2x-4.因?yàn)辄c(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1=2x-4解得不合題意，舍去.當(dāng)x=-時(shí)，y=-9.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為-，-9.綜上所述，滿足題目的點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或-，-92(此題10分)如圖，二次函數(shù)y=的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸 交于B、C兩點(diǎn)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC (1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_ ； (2)線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得EDC為等腰三角形?假設(shè)存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由； (3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PA、PC，假設(shè)所得PAC的面積為S，那么S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?解：1A0，4，C8，02分2易得D3，0，CD=5設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，那么解得3分當(dāng)D