正余弦定理知識點總結及高考考試題型

1、.一、知識點（一）正弦定理：abc2R, 其中 R 是三角形外接圓半徑 .sin Asin Bsin Ca=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinCa2b2c22bc cos A（二）余弦定理：b2a2c22ac cos Bc2a 2b22ab cosC由此可得： cos Ab2c2a2,cos Ba2c2b2,cos Ca2b2c2. .2ab2ac2ab注： a2 b 2c2A 是鈍角； a 2= b2c2A 是直角； a2 b 2c2A 是銳角；（三）三角形面積公式： （ 1） S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B.222二、例題講解（一）求

2、邊的問題1、在 ABC中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b,c ， A, a3, b1，則 c（）3A、1 B、 2C、 31D、32、 在 ABC中， a,b,c 分別為A,B,C 的對邊 . 如果 a, b, c 成等差數(shù)列，B 30°， ABC的面積為 3 ，那么 b （）2A 、 13B 、 13C、 23D、 23223、在 ABC中，角 A, B, C 所對的邊長分別為a, b, c ，若C120°， c2a ，則（）A 、 a bB、 abC、 abD、 a 與 b 的大小關系不能確定4、在 ABC中， a10，B60° ,C45°

3、; , 則 c 等于（）、 103、1031、31、 103ABCD5、若 ABC的周長等于20，面積是 103 ，A= 60°，則 BC 邊的長是（）A、 5B 、 6C、 7D、86、已知銳角三角形的邊長分別為2、 3、 x ，則 x 的取值范圍是（）A 、 1 x 5B 、 5 x13 C 、 0 x5D、 13 x 5;.7、三角形的兩邊分別為5 和 3，它們夾角的余弦是方程5x27 x60 的根，則三角形的另一邊長為（）A、52B、2 13C 、16D 、4224 ，且 C=60°，則 ab 的值為8、若 ABC 的內角 A 、B 、 C 所對的邊 a、 b、c

4、滿足（ a b）c（A） 4（B） 84 3(C) 1(D)2339、在 ABC中， A60°， C45°， b2 ，則此三角形的最小邊長為。10、在中,a1,b1,C120°則c。ABC11、在ABC 中 .若 b=5，B， sinA=1 ，則 a_.4312、若 ABC 的面積為3， BC 2，C 60°，則邊 AB 的長度等于13、如圖，在 ABC中，若 b1,c3 ，2，則 a。CB3A :B :C1: 2: 3, 則 a : b : c14、在 ABC中，若315、在 ABC中， 2a33,c2, B150°，則 b（二）求角的問題3

5、AC12a ，則 cos B1、 ABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a, b, c ，若 a, b, c 成等比數(shù)列， 且 c（）A、 1B 、 3C 、2D 、244432、在 ABC中， A60°， a4 3, b 42 ，則 B等于（）A、45°或 135°B、 135°C、45°D、以上答案都不對3、在ABC 中， a 15,b10, A60°，則 cosB =（）A、22B 、22C、6D 、633334、在 ABC中， a3 ， b7 ， c2 ，那么B 等于（）A、 30°B、 45°C、

6、60°D、 120°5、在 ABC中， a2 3， b22 ，B45°，則A 等于（）A、 30° B、 60°C、 60°或 120°D 、 30°或 150°、在中，已知 a 2b 2c2bc ，則A為（）6ABC;.A、3B、C、 2D、 或263337、已知 ABC的面積為3 ，且 b2,c3 ，則A 等于（）2A、 30°B、 30°或 150°C、 60°D、 60°或 120°8、已知在ABC中 ,sin A : sin B :si

7、n C3:2:4, 那么 cosC 的值為（）A、11C 、2D、24B 、3349、在 ABC中， sin Asin B 是 AB 的（）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D 、既不充分也不必要條件10、若 ABC 的內角， A, B, C 滿足 6sin A4sin B 3sin C ，則 cosBA 15B 3C3 15D 1144161611、在ABC 中，角 A, B,C 所對的邊分 a, b,c 若 acos Ab sin B ，則 sin Acos Acos2 B1B1C -1D 1A -2212、已知在 ABC中， a 10,b56, A45°, 則 B

8、。13、在中， b3, c3,B30°，則A。ABC14、已知 a,b, c 分別是 ABC的三個內角 A, B, C 所對的邊，若 a1,b3，A C2B ,則 sinC。15、在 ABC中， bc : ca: ab4 : 5 : 6 ，則 ABC的最大內角的度數(shù)是16、已知ab cbc a3bc ，則A17、在ABC 中，角A, B,C 所對的邊分別為a, b, c ，若 a2 ， b2 ，sin Bcos B2,則角 A 的大小為.;.（三）判斷三角形形狀的問題1、在 ABC 中，若abc）cos B，則 ABC 是（cos AcosCA、直角三角形B、等邊三角形C 、鈍角三角

9、形D、等腰直角三角形2、在 ABC 中，已知 2 sin AcosBsin C ，那么ABC 一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C 、等腰直角三角形D、正三角形3、 ABC中， a2bcosC ，則此三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C 、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形4、在 ABC中，若 a cos Ab cosB ，則 ABC的形狀是（）A、等腰三角形B 、直角三角形C、等腰直角三角形D 、等腰或直角三角形5、在 ABC中，若 cos Acos Bsin C ，則 ABC是（）abcA、有一內角為30°的直角三角形B 、等腰直角三角形6C、有一內角為30

10、6;的等腰三角形D 、等邊三角形b cosAa cosB，則三角形為（）、在 ABC中，A、直角三角形B、銳角三角形C 、等腰三角形D、等邊三角形7、在 ABC中，已知 B30° , b 503 , c 150，那么這個三角形是（）A 、等邊三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形8、 ABC中， sin 2Asin2 B sin2 C ，則 ABC為（）A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等邊三角形D、等腰三角形9、已知關于 x 的方程 x2x cos A cos B 2sin 2 C0 的兩根之和等于兩根之積的一半，2則ABC 一定是（）A 、直角三角形B

11、 、鈍角三角形C、等腰三角形D 、等邊三角形10、 ABC中， tan Asin A ，則三角形為。tan Bsin B;.（四）三角形的面積的問題1、在 ABC中， AB3,AC 1,A 30 ，則 ABC面積為（）A 、3B 、3C、3 或 3D、3 或3242422、已知 ABC的三邊長 a3, b5, c6 ，則 ABC的面積為（）A、 14B、2 14C、 15D、2 153、在 ABC中， asin10 °，b sin 50 °，C= 70°，那么 ABC的面積為（）A、 1B 、 1C、 1D、 164321684、在 ABC中， a2，A 30&#

12、176;,C45°，則 ABC的面積 S ABC 等于（）A、2B2 2C 、3 1D 、 13 1)、(25、ABC 中， B120 , AC7, AB5 ，則ABC 的面積為 _6、已知ABC 的一個內角為120o，并且三邊長構成公差為4 的等差數(shù)列，則ABC 的面積為_( 五) 綜合應用1、 在 ABC 中，角 A，B， C 的對邊分別為a，b， c.(1)若 sin A 6 2cosA, 求 A 的值；1(2)若 cosA3， b 3c，求 sinC 的值2、在銳角 ABC 中， a、 b、 c 分別為角 A 、 B、 C 所對的邊，且 3a 2c sin A()確定角 C的

13、大?。海ǎ┤?c 7 , 且 ABC的面積為 3 3, 求 a b 的值。213、設 ABC 的內角 A、 B、 C 所對的邊分別為a、 b、 c，已知 a 1， b 2， cosC4.(1)求 ABC 的周長；(2)求 cos(A C)的值;.在ABC中， BC5, AC 3,sin C 2 sin A4.（）求 AB 的值。（）求 sin( 2 A) 的值。45、 ABC 的內角 A、 B、 C 的對邊分別為a、 b、 c， asinA csinC2asinC bsinB.(1)求 B；(2)若 A 75°，b 2，求 a， c.6、在 ABC 中， A、B 為銳角，角 A、 B

14、、C 所對的邊分別為510a、b、c ，且 sin A,sinB510（I）求 AB 的值；（ II ）若 ab2 1 ，求 a、b、c 的值。 w.w.w.k;.解三角形復習一、知識點（一）正弦定理：abc2R, 其中 R 是三角形外接圓半徑 .sin Asin Bsin Ca=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinCa2b2c22bc cos A（二）余弦定理： b2a2c22ac cos Bc2a2b22ab cosC由此可得： cos Ab2c2a2,cos Ba 2c2b2,cos Ca2b2c2.2ab2ac2ab注： a 2 b2c 2A 是鈍角； a2=b 2c2A

15、 是直角； a 2 b2c2A 是銳角；（三）三角形面積公式：（ 1） S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B.222題型一：正余弦定理的基本應用： （四種題型：）（1）已知兩角一邊用正弦定理； （2）已經(jīng)兩邊及一邊對角用正弦定理；（3）已知兩邊及兩邊的夾角用余弦定理； （4）已知三邊用余弦定理例 1、在ABC 中，已知 a20, A30 C45 求 B, b, c例 2已知下列各三角形中的兩邊及一角，判斷三角形是否有解，并作出解答（1） a2 3, b 6, A 30（2） a2,b2, A45（3）a5,b 3, A 120（ ）3,b4, A604 a例

16、3（ 1）在 ABC 中，已知 b2c 2a 2bc ，則 A=；（2）若 ABC的周長等于 20，面積是 103 ， A= 60°，則邊 BC =（3）、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、 x ，則 x 的取值范圍是 =（4）在 ABC中，已知 a 2b 2c 2bc ，則A=;.題型二：判斷三角形的形狀例 4（ 1）在 ABC 中，若 b a cosC 試判斷 ABC 的形狀。（2）在ABC 中，若 acos AbcosB 試判斷ABC 的形狀。（3）在ABC 中，若 acosBbcos A 試判斷ABC 的形狀。例 5（1）在 ABC 中，已知 b 2c 2a 2bc ，且 sin B sin C3 ，判斷三角形的形狀；4（2）在 ABC 中， (a bc)(bca) 3bc 且 sin A2sin B cosC ，判斷其形狀；題型三： 三角形的面積的問題例 6、（1）已知中，,求、及外接圓的半徑。（2）在 A