關(guān)于梯度、散度與旋度的探討

1、1 方向?qū)?shù)的概念與物理意義1.1 方向?qū)?shù)的概念設為標量場中的一點，從點出發(fā)引一條射線，點是上的動點，到點的距離為。當點沿射線趨近于（即）時，比值的極限稱為標量場在點處沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即方向?qū)?shù)的數(shù)值既與點有關(guān)，也與方向有關(guān)。因此，標量場中，在一個給定點處沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不同的。方向?qū)?shù)的定義是與坐標系無關(guān)的，但方向?qū)?shù)的具體計算公式與坐標系有關(guān)。設方向的方向余弦是、，即，則得到直角坐標系中方向?qū)?shù)的計算公式為2 梯度的概念與物理意義2.1. 梯度的定義標量場在點處的梯度是一個矢量，梯度的方向是沿標場量變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作，即式中是標場量變化率

2、最大的方向上的單位矢量。2.2 梯度的計算式梯度的定義與坐標系無關(guān)，但梯度的具體表達式與坐標系有關(guān)。在直角坐標系中，若令、結(jié)合方向?qū)?shù)的計算公式，可得到由于是與方向無關(guān)的矢量，由上式可知，當方向與矢量的方向一致時，方向?qū)?shù)的值最大，且等于矢量的模。根據(jù)梯度的定義，可得到直角坐標系中梯度的表達式為2.3 梯度的物理意義3 散度的概念及性質(zhì)3.1 散度的概念在分析和描繪矢量場的性質(zhì)時，矢量場穿過一個曲面的通量是一個重要的基本概念，矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域內(nèi)每一點的通量特性，而散度則表示在某點處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的通量。設某矢量場其中、具有一階連續(xù)偏導數(shù)，是場內(nèi)的一片有向

3、曲面，是在點處的單位法向量，則叫做向量場通過曲面向著指定側(cè)的通量(或流量，而叫做向量場的散度，記作或，即。3.2 散度的計算式散度在直角坐標系中的表達式為3.1 梯度、散度與旋度的應用3.1.1 梯度的應用1、流形上的梯度一個黎曼流形上的對于任意可微函數(shù)，的梯度是一個向量場使得對于每個向量，其中代表M上的內(nèi)積（度量），而是在p點取任意點映射到在的方向?qū)?shù)的函數(shù)。換句話說，在某些坐標圖中, 將成為：函數(shù)的梯度和外微分相關(guān)，因為。3.1.2 散度的應用奧氏公式的矢量形式：由此可以看出通量與散度之間的一種關(guān)系：穿出封閉曲面的通量，等于所圍的區(qū)域上的散度在上的三重積分。由上可以推論：若在矢量場內(nèi)某些點

4、（或區(qū)域）上有或不存在，而在其他的點上都有，則穿出包圍這些點（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，即為一常數(shù)。證明：（1）在矢量場中任作兩張包圍在內(nèi)但互不相交的封閉曲面與，分別以，為其外向法矢量。則在與所包圍的區(qū)域上，處處有。因此，由奧氏公式有則有其中為矢量在的邊界曲面（即由與所組成的封閉曲面）的外向法矢的方向上的投影。注意到在上與相同，而在上則與的指向相反，因此，由上式有移項即得（2）若所作的封閉曲面與相交，則在矢量場中再作一張同時包含與在其內(nèi)的封閉曲面，以表其外向法矢量，則分別與，都不相交，按（1）中證明的結(jié)果有，所以亦有3.2 梯度、散度與旋度的聯(lián)系標量場在空間的變化規(guī)律由其梯度來描述，而矢量場在空間的變化規(guī)律則通過場得散度和旋度來描述。矢量場散度和旋度反映