點(diǎn)和直線的齊次坐標(biāo),齊次方程,非齊次坐標(biāo),非齊次方程及其應(yīng)用.

1、摘要本論文主要討論點(diǎn)和直線的齊次坐標(biāo)，齊次方程，非齊次坐標(biāo)，非齊次方 程及其應(yīng)用 .關(guān)鍵詞： 點(diǎn)和直線的齊次坐標(biāo)，齊次方程，非齊次坐標(biāo)，非齊次方程，無 窮遠(yuǎn)點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)直線 .引言我們知道，在平面內(nèi)點(diǎn)是幾何的基本元素，對(duì)于點(diǎn)引入坐標(biāo)曲線是點(diǎn)的軌跡（在這種情況下，曲線稱為點(diǎn)曲線），它有方程，這是點(diǎn)幾何的觀點(diǎn).在點(diǎn)幾何 里，直線是曲線的特例.對(duì)偶地，直線也可作為幾何的基本元素，采用直線作為 基本元素，可以建立線幾何學(xué).在線幾何里，對(duì)于直線引入坐標(biāo)，曲線是一族直 線包絡(luò)成的圖形（在這種情況下，曲線稱為線曲線）.1. 齊次點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)歐氏直線規(guī)定了方向，原點(diǎn)與單位線段以后，即建立了笛氏坐標(biāo)系.它使有窮遠(yuǎn)點(diǎn)與

2、實(shí)數(shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)，從而確立了歐氏直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的概念.當(dāng)引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)后，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有坐標(biāo).為了刻畫無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，我們引入齊次點(diǎn)坐 標(biāo).1.1 一維齊次點(diǎn)坐標(biāo)定義1 :設(shè)歐氏直線上有窮遠(yuǎn)點(diǎn)p的笛氏坐標(biāo)為x ,則滿足色二x的二數(shù)X2X1,X2 X2 =0叫做點(diǎn)p的齊次（笛氏）坐標(biāo)，記作p X1,X2 , X稱點(diǎn)p的非齊次坐 標(biāo).而當(dāng)X2 =0時(shí)，即X1,0為=0或1,0規(guī)定為這直線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一維齊次 點(diǎn)坐標(biāo).女口：若2,1是齊次點(diǎn)坐標(biāo)，則它的非齊次坐標(biāo)2 ;反之成立.由定義1可見：1不同時(shí)等于零的任何兩個(gè)數(shù)X1,X2在軸上確定唯一一點(diǎn)p x1, x2 ； 0,0不 能決定一個(gè)點(diǎn)；2如果 小0，

3、貝U ?x1, ?x2與x1,x2決定同一點(diǎn)；女口：點(diǎn)3,1 , 6,2 , -3,-1 , 3,-都表示同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo).（2 2丿3如果X2 -0，則p 0X2為軸上一個(gè)有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，它的非齊次坐標(biāo)為x= * ；X2女口：點(diǎn)3,-7的非齊次坐標(biāo)為.I 7丿4如果x -0,x2 =0，貝U p Xi,0或p 1,0為軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn);f 1 y女口：任取一點(diǎn)P(X )，它的齊次坐標(biāo)為P(X,1)或p 1,丄LV X)(1、當(dāng) XT旳 時(shí)， Pt P旳，此時(shí)1, T (1,0).I X.)因此，軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為點(diǎn)x1,0或1,0 .要特別注意，對(duì)于軸上的任何(有窮或無窮遠(yuǎn))點(diǎn)，它的齊次坐標(biāo)無窮多組.

4、又如果p X1,X2X2 =0，則x-生叫做點(diǎn)p的非齊次坐標(biāo)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有非齊X2次坐標(biāo).如果點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)存在，則它就是唯一的.1.2二維齊次點(diǎn)坐標(biāo)在歐氏平面內(nèi)建立二維笛氏(直交或斜交)坐標(biāo)，則可使平面內(nèi)的有窮遠(yuǎn)點(diǎn) 與有序?qū)崝?shù)之間建立一一對(duì)應(yīng)，從而確立了平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的概念.為了刻畫無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，我們引入二維齊次點(diǎn)坐標(biāo).注意：平面上有無窮多個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn).即每個(gè)方向有唯一的一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn).定義2 :設(shè)歐氏平面內(nèi)點(diǎn)p的笛氏坐標(biāo)為X,y，則滿足兇二x,的三X3X3數(shù)X1,X2,X3其中X3 =0叫做點(diǎn)p的齊次(笛氏)坐標(biāo)，記作p X1,X2,X3 ; X, y叫 做點(diǎn)p的非齊次坐標(biāo).女口：點(diǎn)2,4, -1

5、的非齊次坐標(biāo)為-2,-4 .反之也成立.點(diǎn)1,0的齊次坐標(biāo)為1,0,1 , -1,0, -1 反之也成立.點(diǎn)3,-2的齊次坐標(biāo)為3,-2,1 , 6,-4,2 反之也成立.由定義2可見，平面內(nèi)一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)有無窮多組；以譏，42,沌 (其中和x1, x2,x3為同一的齊次坐標(biāo).女口：點(diǎn)-3,4,1 , -6,8,2 都表示同點(diǎn)的齊次坐標(biāo).現(xiàn)在說明，X1,X2,0可以作為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)二坐標(biāo)軸直角時(shí), =tanr即為直線的斜率（其中二為斜角）.（如圖1）當(dāng)二坐標(biāo)軸斜角時(shí),si nrsin I ” - v（其中，為斜角，為坐標(biāo)軸的交角）.（如圖2）如果在（1）里b變動(dòng)，而不變也就是二不變，則（1

6、）表示一組平行直線現(xiàn)在取（1）里一定直線I，即,b均為定值，I上一點(diǎn)p的非齊次坐標(biāo)為x, x b .其齊次坐標(biāo)為x, x b,1或-,-.當(dāng)p從I上的兩個(gè)方向趨于 I x xj無窮遠(yuǎn)時(shí)，即當(dāng)x：或x :：時(shí)得點(diǎn)p的齊次坐標(biāo)的極限為1,，,0即1/ b, 1. （1, ,0 .這是與b無關(guān)的一組數(shù).因此，可以規(guī)定以為決定的方I X X丿向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的無數(shù)組齊次坐標(biāo)為,0 其中-0 .如：直線2x-y-1=0的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為1,2,0 .2x-y-1 =0二 y =2x-1 p： 1,2,0；定義3:任何三個(gè)有序?qū)崝?shù) 為公2,0 其中為=0，些規(guī)定為（當(dāng)二坐x標(biāo)軸直角時(shí)為斜角）決定的方向的無窮遠(yuǎn)

7、點(diǎn)的齊次坐標(biāo).女口：點(diǎn)3, -4,0是以-為方向上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo).3注意：對(duì)于齊次坐標(biāo) x1, x2, x3 :1沒有以0,0,0為齊次坐標(biāo)的點(diǎn);(2)當(dāng)X30時(shí)，它的非齊次坐標(biāo)為 冬,空 表示有窮遠(yuǎn)點(diǎn)；卞X33當(dāng)x3 =0時(shí)，,x2,0表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而 x1,x2,0其中為=0以=空xi為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；4 x軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)1,0,0 ；x軸的方程為y". p： 1,0,0 ；5 y軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 0見,0或0,1,0 ；(規(guī)定)對(duì)于咅,0，當(dāng)N =0，即0,X2,0或0,1,0在哪個(gè)方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無法確定.；無意一方面平面上平行于y軸的直線的斜率不存在，即不存在.可以確定0

8、,X2,0或0,1,0表示y軸方向上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn).6點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是無窮多組，而它的非齊次坐標(biāo)是唯一的；1.3直線的齊次坐標(biāo)方程定義4：在齊次點(diǎn)坐標(biāo)中，設(shè)有一條直線和一個(gè)以 X1,X2,x3為流動(dòng)點(diǎn)的齊次 坐標(biāo)所構(gòu)成的方程，如果此方程能夠且僅能夠被該直線上的點(diǎn)的齊次坐標(biāo)所滿 足，則此方程叫做該直線的齊次點(diǎn)坐標(biāo)方程.簡(jiǎn)稱齊次方程.這時(shí)也稱該直線為此 方程所決定的直線.不難證明以下定理.定理1:設(shè)一條直線的非齊次方程為aX a2 y= 0( aj a22 = 0)，則此直線的齊次方程為 a1x1 a2x2 a3x3 =0( a12 a/ 0)，并且反過來也成立.女口： 1 2x3y 4 =0= 2為3

9、x2 4x3 =02 3x1 2x2 4x3 =0 = 3x 2y 4 = 0由于a1x1 a2x2 a3x3 0( q2飛22=0)不含常數(shù)項(xiàng)，所以它是齊次的.另外，過原點(diǎn)的直線的齊次方程為2 2 a1x1 a2x2 = 0（a a2 = 0）定理2:無窮遠(yuǎn)直線的齊次方程為 X3 = 0.注意：無窮遠(yuǎn)直線沒有非齊次方程2. 齊次線坐標(biāo)2.1齊次線坐標(biāo)在齊次點(diǎn)坐標(biāo)中，直線的齊次方程是u1x1 u2x2 蟲 = 0（ 1）其中Xi,X2,X3是直線上任一點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo).顯然，方程?u2x2 ?u3x3 =0 0）與（1）表示同一直線.我們作以下定義.定義1 :直線的齊次方程中，Xi,X2,X3的系

10、數(shù)Ui,U2,U3叫做該直線的齊次線坐 標(biāo).顯然，乜,譏（'-0）也是該直線的齊次線坐標(biāo)，因此一條直線的齊次線 坐標(biāo)有無窮多組.為了區(qū)別于點(diǎn)的坐標(biāo)，我們把直線u的齊次線坐標(biāo)U1,U2,U3記作 U1,u2,u3 或 u 三 U|,u2,u3 1； 即卩 I-U1,u2,u3 1 與"u，u2, 'u3= 0 表示同一直線的 線坐標(biāo).女口：2 -x2 3x3 =0二 2,-1,3丨2X2 - X3 = 0 =0,2, -1 丨鼎X3 =0二,0,-12112x3 = 0：二0,0,11.又如：I : 2捲-x2 * 3x3 =0=2, T,3】,1的方程又可寫成：4x1

11、 - 2x2 6x3 = 0=4, -2,6 1.定理1 : 一點(diǎn)X三X1,X2, X3在一條直線u三U1 ,U2,U3 1上的充要條件是u1x1u2x2U3X3 =0(2)證明：因?yàn)橹本€u的方程是U1X1 U2X2 - U3X3 =0, Xi,X2,X3為其上任一點(diǎn)的齊次坐標(biāo).可見點(diǎn)x在此直線上的充要條件即為（2）.2.2點(diǎn)的方程定義2:在齊次線坐標(biāo)里，一點(diǎn)的方程指的是以l.u1,u2,u31為流動(dòng)線坐標(biāo)所構(gòu)成的方程，此方程能夠且僅能夠被通過該點(diǎn)直線的坐標(biāo)所滿足定理2:在齊次坐標(biāo)里，一點(diǎn)a三a1, a2,03的方程是（3）反之，U1,u2,u3 1構(gòu)成的一次齊次方程必表示一點(diǎn).即在齊次線坐標(biāo)

12、里一點(diǎn)的方程是Ui,U2,U3的一次齊次方程.證明：由定理1,任一條直線Ui,U2,U3 1通過點(diǎn)01,02,03的充要條件是a1u1 a2u2 a3u3 二 0.根據(jù)定義2 a1u1 + a2u2 +a3u3 = 0是點(diǎn) a 三（4,02,03）的方程.反之，設(shè)有方程bu1 b2u2 b3u 0，其中b!,b2,b3不全是零，則由（3）知此 方程表示一點(diǎn)（bbb）.女口：2, -1,3 u 2U| - U2 3U3 - 00,2, 2 ：=2氏 '2比=04,0, 一1 = 4U|u3 = 00,0,2 二2u3 =0 或 u3 =0 ；定義2的幾何意義是說，在線幾何里一點(diǎn)被看成是一

13、束直線包絡(luò)成的，這個(gè)點(diǎn)方程被而且只被通過它的直線的坐標(biāo)所滿足.例如直線uU1,U2,U3】通過點(diǎn)2,1,3當(dāng)且僅當(dāng)2u1 u2 3u -0.因此由定理2知2u1 u2 3u3 -0就是在線坐 標(biāo)里點(diǎn)2,1,3的方程.又如在線坐標(biāo)里原點(diǎn)的方程是u3=0.例1：寫出直線2x3x2-X3=0 , x軸，y軸，無窮遠(yuǎn)直線的齊次線坐標(biāo). 解：直線2xi 3xx0的齊次線坐標(biāo)為12,3, -11. x軸的方程為y=0，即X2 =0，所以x軸的齊次坐標(biāo)為1.0,1,01.同理，y軸的齊次坐標(biāo)為1,0,0.無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為=0,它的齊次坐標(biāo)為 10,0,1 ；例2：寫出點(diǎn)0,1,2 ，原點(diǎn)，x軸上的無窮遠(yuǎn)

14、點(diǎn)，y軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方程原點(diǎn)0,0,1的方程為比=0.y軸上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)0,1, 0的方程是（3） q2 - 3u1u2 2u22 二 0方程（2）表示點(diǎn)1,1,2 .解：點(diǎn)0,1,2的方程為u 2比=0. x軸上無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 1,0, 0的方程為 5=0. u2 = 0.例3:下列各線坐標(biāo)方程表示什么圖形?（1）u3 = 0（2） q u2 2u3 = 0解：方程（1）表示點(diǎn)0,0,1 .2 2 .u1-3u1u22u2=0=（qu2）q -2u2=0=q -u2=0或q -2u2二 0（3）方程（3）表示兩點(diǎn)1, -1,0和1, -2,0 .注意：方程比為72乂273乂3=0 （ *）有兩種意義

15、:（1） 當(dāng)5,5,出常數(shù)，X1,X2,x3變動(dòng)時(shí)，方程（* ）表示直線的方程.如：n 3x2 2% = 0.（2）當(dāng),X2,X3常數(shù)，4,出,比變動(dòng)時(shí)，方程（*）表示點(diǎn)的方程.如：3O|2u2 3u3 =0.2.3非齊次線坐標(biāo)定義3 :直線u三）u1,u 2u 3的非齊次線坐標(biāo)U,V】是由下列比值U=,V=2 所規(guī)口3=0.U3U3如:直線12,2, -1 的非齊次線坐標(biāo)為-2, 2 .由于通過原點(diǎn)的直線的齊次線坐標(biāo)為I.U!,U2,0丨，所以通過原點(diǎn)的直線沒有非 齊次線坐標(biāo).在u1x1 u2x2 u3x3 = 0里，設(shè) U =,V = 2 ,x = 1 ,y = 2 其中 u3x3 = 0

16、,則得 U3u333U Vy 1=0.根據(jù)定理1可得定理3:點(diǎn)（,y）在直線U ,V 1上的充要條件是Ux Vy 0 ；在非齊次線坐標(biāo)里，關(guān)于點(diǎn)的方程的定義與定義 2完全類似.我們有以下定理定理4:在非齊次線坐標(biāo)里，點(diǎn) 0,y。如果不是原點(diǎn)，則它的方程是0U y°V 1=0（ 4）反之，U ,V I所構(gòu)成的一次方程（4）必表示一點(diǎn)，其坐標(biāo)為 x0,y0 .女口：點(diǎn)2,-1的非齊次方程是2U -V 0，反之成立.點(diǎn)0,2的非齊次方程是2V 0,反之成立.點(diǎn)3,0的非齊次方程是3U 7=0,反之成立.在點(diǎn)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，可以求點(diǎn)曲線的方程，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（直線方程是 它的特例）；現(xiàn)在引入

17、了直線坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，可以求線曲線的方程，即直線 族的方程（點(diǎn)方程是它的特例）.下面舉說明例4:求在兩坐標(biāo)軸上截距之和為常數(shù)c的直線族方程解：設(shè)直線I的非齊次線坐標(biāo)為 U ,V丨即l的非齊次線方程Ux Vy 1 = 0 .令I(lǐng)在二兩坐標(biāo)軸截距為a,b，則有a 1, b 1，根據(jù)題設(shè)a c，UV1 1所以又有-丄-丄二c或-V -U =cUV即cUV U 7=0這就是所求的直線族方 U V程，其齊次方程為u1u2 u1u3 u2u 0. 令c = 1由例4,我們看到直線的非齊次線坐標(biāo) U ,V 1的幾何意義是：U與V分別是直線在x軸與y軸截距的負(fù)倒數(shù).3. 齊次坐標(biāo)的應(yīng)用為了簡(jiǎn)便起見,記X三（

18、x.（,x2, x3）,稱為點(diǎn)x.記 aix a2x2 a3x =0,稱為直線=0 .定理1:兩點(diǎn)a,b重合的充要條件是矩陣 a2 a3的秩為1. 占Pb3丿證明：兩點(diǎn)ai, a2, 83 , （bi ,b2，重合的充要條件是勺二竺二勺即 bib3© 82 83的秩為1.<bi b2 b3 丿類似地有定理1：兩直線u =o=o重合的充要條件是矩陣81 82 83的秩為1.占匕23丿X1 X2 x3定理2 :兩個(gè)不同點(diǎn)8,b連線的齊次方程是81 82 83 =0.b1 b2 b3此直線的線坐標(biāo)是828383 8181 82b3 bib1b2簡(jiǎn)記為X8b = 0.證明：設(shè)r1x1

19、r2x2 r3x3 =0為所求的直線的方程因?yàn)橹本€通過兩點(diǎn)81,82,83 , bbb ，所以 中1r282r383 = 0 rb1r2b2r3b3 = 0由上面三個(gè)式子消去r1,r2, r3即得81 a2 83 = 0.b! b2 b3類似地有Ui U2 U3定理2、:兩條不同直線a =0,0=0的交點(diǎn)的方程為ai a? a 0 .bi b? b3這點(diǎn)的坐標(biāo)是a2 a3Jb2 b3a3 aib3 bibi b?定理3:三個(gè)不同點(diǎn)a,b,c共線的充要條件是ai a2a3印 a2 a3Xb, b2 d =0 或bi b2 b3Ci C2 5pi C2 C3 J秩為Ui U2 U3Ui U2 U3

20、證明：由定理2知通過a,b兩點(diǎn)的直線的齊次方程是 xab =0 .因?yàn)辄c(diǎn)c在上式所決定的直線上，而此情況的充要條件是|cab = 0即 |abC =0 .因三點(diǎn)不同，所以其坐標(biāo)所構(gòu)成的方陣的秩為2.ai a2 a3定理3H:三條不同直線a =0*=0,Y=0共點(diǎn)的充要條件是0 b2 b3 =0或ci C2 C3ai a2 a3d b2 b3的秩為2 .VC1 C2 C3 ）證明：三直線:=0j =0,=0共點(diǎn)的充要條件是aiXi a?X283X3 =0方程組b1x1 b2X2 b3x3 0有非零解.所以此方程組除捲=0,x2 = 0,x3 = 0外C|X1 q x2 C3X3 二 0 還有其它

21、解，而此情況的充要條件是|abC = 0.因三直線不同，所以其方程的系數(shù)所構(gòu)成的方陣的秩為2.定理4:以兩不同已知點(diǎn)a,b的連線為底的點(diǎn)列的點(diǎn)的坐標(biāo)能夠?qū)懽髑覂H能證明：aa?因?yàn)閎ilai mb, la2 mb2夠?qū)懽鱨a mb （其中l(wèi), m為不全為零的常數(shù)）a3bs=0.所以,根據(jù)定理3知la + mb表la3 +mb3示以a,b連線為底的點(diǎn)列的點(diǎn)的坐標(biāo)反過來，設(shè)c為a,b連線上的一點(diǎn)，則由于三點(diǎn)a,b,c共線，所以根據(jù)定理3ai a? a3有 d b2 b3 =0C1 C2 C3因此有不全為零的數(shù)l；m； n，使l ai mb ncOi= 1,2,3但是n丄0 （否則將有a,b重合），所

22、以可以可令|=.,m = -m因此nnG二® mb i =1,2,3 （其中l(wèi),m不全為零的常數(shù)）即c的坐標(biāo)可以寫作c = la mb例5:求證a 1,2,-1 ,b -1,1,2 ,c 3,0, -5共線，并求l,m的值，使G =8 + mb (i =1,2,3 ).1 2 -1解：由-112 =0可知a,b,c共線,3 0-5l -m =3I由2l +m=0 解得 l =1,m = -2.T +2m = -5所以 ci = ai - 2bii =1,2,3 .推論：三相異點(diǎn)a,b,c共線的充要條件是有三個(gè)全不為零的常數(shù)p,q,r使pa +qbj +rq =0(i =1,2,3)定理以兩不同已知直線:=0 =0的交點(diǎn)為中心的線束的直線的方程能 夠?qū)懽髑覂H能夠?qū)懽鱇 m =0 （其中l(wèi), m為不全為零的常數(shù)）.證明：因?yàn)閍1a2a3bib2b3=0la1+mb la2+mb2 lamb3所以，根據(jù)定理3知K l =0表示通過=0, ： = 0交點(diǎn)的直線的方程反過來，與定理4類似，可以證明通過=0, 一0的交點(diǎn)的任何直線的方程 可以表示為k m =0 （其中l(wèi),m為不全為零的常數(shù)）