牛吃草類型應(yīng)用題解題方法

1、例 1 牧場上一片青草， 每天牧草都勻速生長 這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天，或者可供 15 頭牛吃 10 天問：可供 25 頭牛吃幾天？分析與解： 這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化， 我們要想辦法從 變化當(dāng)中找到不變的量 總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分 牧場上原 有的草是不變的，新長出的草雖然在變化， 因?yàn)槭莿蛩偕L， 所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量 相同，即每天新長出的草是不變的 下面，就要設(shè)法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩 個不變量設(shè) 1 頭牛一天吃的草為 1 份那么， 10 頭牛 20 天吃 200 份，草被吃完； 15 頭牛 10 天吃

2、 150 份，草也被吃完前者的總草量是 200 份，后者的總草量是 150 份，前者是原有的草 加 20 天新長出的草，后者是原有的草加 10 天新長出的草200 150 = 50(份)，20 10 = 10(天)，說明牧場1 0天長草50份， 1天長草5份也就是說， 5頭牛專吃新長出來的草 剛好吃完， 5 頭牛以 外的牛吃的草就是牧場上原有的草由此得出，牧場上原有草(10 5) )20 = 100(份)或(15 5) )0 = 100(份).現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草 100 份，每天新長出草 5份當(dāng)有 25頭牛時，其中的 5頭 專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100亍20 = 5(

3、天). 所以，這片草地可供 25 頭牛吃 5 天.在例 1 的解法中要注意三點(diǎn)：(1) 每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù) 的差計算出來的.(2) 在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下 的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量.在所求的問題中， 讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原 有的草量可以計算出能吃幾天.例 2 一個水池裝一個進(jìn)水管和三個同樣的出水管先打開進(jìn)水管， 等水池存了一些水后，再打開出水管如果同時打開 2 個出水管， 那么 8 分鐘后水池空；如果同時打開 3 個出水管，那么 5 分鐘后水 池空那么

4、出水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？ 分析：雖然表面上沒有 “牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓?“水”相當(dāng)于 “草”， 進(jìn)水管進(jìn)的 水相當(dāng)于新長出的草， 出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草， 所以也是牛吃草問題， 解 法自然也與例 1 相似出水管所排出的水可以分為兩部分： 一部分是出水管打開之前原有的水量， 另一 部分是開始排水至排空這段時間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水 因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊模?所以可以從比 較兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個出水管8分鐘所排的水是2X8 = 16（ 份）， 3 個出水管 5分鐘所排的水是3X5 = 15（份），這兩次排出的水量都包括原有

5、水量和從開始排水 至排空這段時間內(nèi)的進(jìn)水量.兩者相減就是在 8 5= 3（分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水 量是 水管排原有的水，可以求出原有水的水量為 解：設(shè)出水管每分鐘排出的水為 1 份.每分鐘進(jìn)水量 答：出水管比進(jìn)水管晚開 40 分鐘.例 3 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的 速度在減少.已知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天.照此計算，可供多少頭牛吃 10 天？ 分析與解：與例 1 不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少.但 是，我們同樣可以利用例 1 的方法，求出每天減少的草量和原有的草量.設(shè) 1 頭牛 1 天

6、吃的草為 1 份. 20 頭牛 5 天吃 100 份， 15 頭牛 6 天吃 90 份， 100 90= 10（ 份），說明寒冷使牧場 1 天減少青草 10 份，也就是說，寒冷相當(dāng)于 10 頭牛在吃草.由 “草地 上的草可供 20 頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的 10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草 （2010） X5= 150（份）.由150X0 = 15知，牧場原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以， 可供 5 頭牛吃 10天.例 4 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶 梯上樓已知男孩每分鐘走 20 級梯級，女孩每分鐘走 15 級梯級， 結(jié)果男孩用了 5

7、分鐘到達(dá)樓上，女孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上問： 該扶梯共有多少級？分析：與例 3 比較， “總的草量 ”變成了“扶梯的梯級總數(shù) ”， “草”變成了“梯級”， “?！?變成了 “速度”，也可以看成牛吃草問題 上樓的速度可以分為兩部分： 一部分是男、 女孩自己的速度， 另一部分是自動扶 梯的速度男孩5分鐘走了 20X5 = 100（級），女孩6分鐘走了 15X6 = 90（級），女孩比男孩 少走了 100 90 = 10（級），多用了 6 5 = 1（分），說明電梯1分鐘走10級由男孩5分鐘到達(dá)樓上， 他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20 + 10） X= 150（級）.解：

8、自動扶梯每分鐘走（20 >5 15X6） （6 5） = 10（級），自動扶梯共有（20 + 10） >5 = 150（級）.答：扶梯共有 150 級.例 5 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一 樣多.從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開 4 個檢票口需 30 分鐘，同時開 5個檢票口需 20 分鐘.如果同時打開 7個檢票口，那 么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化， “旅客”相當(dāng)于“草”， “檢票口 ”相當(dāng)于“?！?， 可以用牛吃草問題的解法求解.旅客總數(shù)由兩部分組成： 一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊的原有旅客， 另一部分 是開始檢票后新來的旅客.設(shè)

9、1個檢票口 1分鐘檢票的人數(shù)為1份因?yàn)?個檢票口 30分鐘通過（4 >30）份，5 個檢票口 20 分鐘通過(5 >20)份，說明在(30 20)分鐘內(nèi)新來旅客(4 >30 5X20)份，所以每分鐘 新來旅客(4 X0 5 X20)千30 20) = 2(份).假設(shè)讓 2 個檢票口專門通過新來的旅客， 兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅 客，可以求出原有旅客為(4 2) X0 = 60(份) 或(5 2) X0 = 60(份).同時打開 7 個檢票口時，讓 2 個檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通 過原來的旅客，需要60(7 2) = 12(分).例 6 有三塊草地，面

10、積分別為 5， 6 和 8 公頃.草地上的草一樣厚， 而且長得一樣快.第一塊草地可供 11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可 供 12 頭牛吃 14 天.問：第三塊草地可供 19 頭牛吃多少天？ 分析與解：例 1 是在同一塊草地上， 現(xiàn)在是三塊面積不同的草地. 為了解決這個 問題，只需將 三塊草地的面積統(tǒng)一起來.5, 6, 8 = 120 .因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120弋=24，所以120公頃草地可供11X24 =264(頭)牛吃10天.因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，12020，所以120公頃草地可供12X20=240(頭)牛吃14天.120弋=15，問題變?yōu)椋?20公頃草地

11、可供19X15 = 285(頭)牛吃幾天？ 因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋?“一塊勻速生長的草地，可供 264 頭牛吃 10 天，或供 240 頭牛吃 14 天，那么可 供 285 頭牛吃幾天？ ”這與例 1 完全一樣.設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為 1 份.每天新長出的草有(240 X4 264X10)弋4 10) = 180(份).草地原有草(264 180) X0 = 840(份).可供285頭牛吃840 勺285 180) = 8(天).所以，第三塊草地可供 19頭牛吃8天我將“牛吃草 ”歸納為兩大類，用下面兩個例題來說明例 1. 牧場上有一片均勻生長的牧草，可供

12、27 頭牛吃 6 天，或供 23頭牛吃 9 天。那么它可供 21 頭牛吃幾天？例2.有三塊草地，面積分別為 5，6和 8公頃草地上的草一樣厚，而且長得一樣快第一塊草地可供 11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可供 12 頭牛吃 14 天問：第三塊草地可供 19 頭牛吃多少天？ 分析與解：例 1 是在同一塊草地上，例 2 是三塊面積不同的草地（這就兩者 本質(zhì)的區(qū)別） 第一章：核心思路 普通解法請參考上面三位前輩的帖子。我沒把鏈接做好，不好意思現(xiàn)在來說我的核心思路：例 1. 牧場上有一片均勻生長的牧草， 可供 27 頭牛吃 6 天，或供 23 頭牛吃 9 天 那么它可供 21 頭牛吃幾天？將它想象成

13、一個非常理想化的數(shù)學(xué)模型：假設(shè) 27 頭牛中有 X 頭是“剪草工 ” ，這 X 頭牛只負(fù)責(zé)吃 “每天新長出的草， 并且把它們吃完 ”，這樣以來草場相當(dāng)于 不長草，永遠(yuǎn)維持原來的草量，而剩下的（27 -X）頭牛是真正的 顧客”它們負(fù)責(zé)把草場 原來的草吃完。（請慢慢理解，這是關(guān)鍵）例 1 ：解 :設(shè)每天新增加草量恰可供 X 頭牛吃一天 ,21 ?？沙?Y 天（后面所有 X 均為 此意）可供27頭牛吃6天，列式：（27 X） 6注：（27 X）頭牛6天把草場吃完 可供23頭牛吃9天，列式:（23 X） 9注：（23 X）頭牛9天把草場吃完 可供21頭牛吃幾天？列式：（21 X） Y注：（21 X）頭

14、牛丫天把草場吃完 因?yàn)椴輬霾萘恳驯?“清潔工”修理過，總草量相同，所以，聯(lián)立上面 1、2、3（27 X） 6 =（ 23 X） 9 =（ 21 X） 丫（27 X） 6 =（ 23 X） 9【1 】（23 X） 9 =（ 21 X） 丫【2 】解這個方程組，得X = 15 （頭）丫 = 12 （天）例 2：有三塊草地，面積分別為 5， 6 和 8 公頃草地上的草一樣厚，而且長得 一樣快第一塊草地可供 11頭牛吃10天，第二塊草地可供 12頭牛吃14天問：第三塊草 地可供 19 頭牛吃多少天？解析：現(xiàn)在是三塊面積不同的草地 為了解決這個問題， 需要將三塊草地的面積 統(tǒng)一起來（這是面積不同時得解題

15、關(guān)鍵） 求【5， 6， 8】得最小公倍數(shù)為 1201、因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120/5 = 24，所以120公頃草地可供11*24 = 264（頭）牛吃 10 天2、因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120/6 = 20，所以120公頃草地可供12*20 = 240（頭）牛吃 14 天3、 1208 = 15,問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19/15 = 285（頭）牛吃幾天？ 這樣一來，例 2 就轉(zhuǎn)化為例 1 ，同理可得：（264 X） 10 =（ 240 X） 44 =（ 285 X） Y（264 X） 10 =（ 240 X） 14【1 】（240 X） 14 =（ 285

16、 X） Y【2】解方程組： X=180 （頭）Y=8 （天）典型例題 “牛吃草”已介紹完畢。第二章： “牛吃草”變型.以下幾道題目都是 “牛吃草”的變型，解法和上面我講的一摸一樣，因?yàn)槲以谇斑?寫的很詳細(xì) 了，所以下面的例題不再給出詳解，略作說明即可。請大家自行驗(yàn)證。例 3 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減 少已知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或可供 15 頭牛吃 6 天照此計算，可供多少 頭牛吃 10 天？解析：本題的不同點(diǎn)在草勻速減少，不管它，和前邊設(shè) X、 Y 一樣來理想化，解 出的 X 為負(fù)數(shù)（無所謂，因?yàn)?X 是我們理想化的產(chǎn)物，沒有實(shí)際意義

17、），解出 Y 為我們所 求。例 4 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓已 知男孩每分鐘走 20 級梯級，女孩每分鐘走 15 級梯級，結(jié)果男孩用了 5 分鐘到達(dá)樓上，女 孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上問：該扶梯共有多少級？ 解析：總樓梯數(shù)即總草量，設(shè)略 列式（20 X） 5=（ 15-X） 6X= 10（級）？（例 3 已說過， X 是理想化的產(chǎn)物，沒有實(shí)際意義）將X= 10代入（20 X） 5得150級樓梯例 5 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多從開 始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開 4 個檢票口需 30 分鐘，同時開 5 個檢票口需 20 分

18、鐘如果同時打開 7 個檢票口，那么需多少分鐘？解析：原有旅客即原有草量， 新來排隊得旅客即每天新長出得草量， 其它不用我 多說了吧。例 6 現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時有水勻速流入池塘。若用 8 臺抽水機(jī) 10 天可以抽干；用 6 臺抽水機(jī) 20 天能抽干。問：若要 5 天抽干水，需多少臺同樣的抽水機(jī)來抽 水？解析：原有水量即原有草量， 新勻速注入得水即每天新長出得草量， 繼續(xù)。 例 7 一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi). 如果 10 人淘水， 3小時淘完；如5 人淘水 8 小時淘完 . 如果要求 2 小時淘完，要安排多少人淘水？ 解析：（ 10-X ）*3=（5-x）*8=（n-x）*2 。例 8 、牧場有一片青草，每天生成速度相同?，F(xiàn)在這片牧場可供16 頭牛吃 20天，或者供 80只羊吃 12 天，如果一頭牛一天吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10 頭牛 與 60 只羊一起吃 可以吃多少天？解析：思路，把羊轉(zhuǎn)化為牛4羊=1牛，也可以供80只羊吃12