牛頓-科特斯(Newton-Cotes)求積公式

1、教案一 牛頓一科特斯(Newton-Cotes)求積公式基本內(nèi)容提要1數(shù)值積分的基本思想2代數(shù)楮度的概念3牛頓一科特斯求積公式及其余項(xiàng)4牛頓一科特斯求積公式的穩(wěn)定性和收斂性教學(xué)目的和要求1理解機(jī)械型求積公式的意義及代數(shù)精度的概念2學(xué)握插值熨求積公式基本思想及某木的牛頓一科特斯求積公式：梯形求積公 式、辛莎森(Smipson)求積公式或拋物線求積公式、牛頓求積公式、柯特斯求積 公式及其余項(xiàng)公式3 了解牛頓一科特斯求積公式的穩(wěn)定性和收斂性教學(xué)重點(diǎn)1插值型求積公式的基本思想2牛頓一科特斯求積公式的構(gòu)造過程3分析牛頓一科特斯求積公式的穩(wěn)定性和收斂性4低階牛頓一科特斯求積公式及其積分余項(xiàng)公式教學(xué)難點(diǎn)1數(shù)

2、值積分公式代數(shù)桔度概念的理解和應(yīng)用2牛頓一科特斯求積公式的穩(wěn)定性和收斂性的證明課程類型新知識(shí)理論課教學(xué)方法結(jié)合提問，以講授法為主教學(xué)過程問題引入我們可以構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式近似代替某個(gè)未知西數(shù)或復(fù)雜函數(shù)。據(jù)此，可以推 導(dǎo)用來近似計(jì)算該未知函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)的定積分或?qū)?shù)的公式。這就是數(shù)值積分 與數(shù)值微分的基本內(nèi)容.推導(dǎo)積分和導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計(jì)算公式的雨要性是顯而易見的。以定積分的計(jì)算為 例，要計(jì)算定積分£ fx)dx理論上可以用Newton-Leibniz公式：jaf(x)dx=F(b)-F(a)其'PF(x)是被積函數(shù)的某個(gè)原函數(shù)。但對很多實(shí)際問題，上述公式卻無能為力。 這是因?yàn)椋?) 被

3、積兩數(shù)/(x)的原函數(shù)理論上存在，但無法知道它可用J：計(jì)算的表達(dá)式，如，等初等函數(shù)。X2) 被積函數(shù)/(X)本身沒有可用J：計(jì)算的表達(dá)式，而僅僅是一種數(shù)表西數(shù)，即 只知道該函數(shù)在部分特殊點(diǎn)的函數(shù)值。因此，借助丁插值理論是解決數(shù)值計(jì)算定積分的有效途徑之一。§3.1牛頓柯特斯求積公式3.1.1數(shù)值積分的基本思想肖先利用積分中值定理:jj(x)dx=f)(b-a)y壯b導(dǎo)出矩形求積公式、 梯形求積公式。再利用定積分的定義：/(羽心=巴亡/©)山，分析定積分的四個(gè)基本步 驟：分割、近似、求和、取極限。分割就是把總體(整塊梯形而積)分成若干分 量(小曲邊梯形面積)，近似就是任每個(gè)分最

4、中用容易計(jì)算的帚去代表小曲邊梯形 的面枳(這是用矩形面積近似Illi邊梯形的面積)。求和就是把分戢加起來得到總近 似值，最后取極限就紂到積分的準(zhǔn)確值C數(shù)值計(jì)算時(shí)可以省掉求極限這一步，只 耍經(jīng)過前三步就可求得積分近似值，這就是建立數(shù)值積分方法的基本步驟。3.1.2代數(shù)精度的概念數(shù)值求枳方法是近似方法，為要保證箱確度，I然希里求枳公式能夠?qū)Α氨M 可能多”的被積函數(shù)/(x)都準(zhǔn)確成立，在計(jì)算方法中，常用代數(shù)粘:度這個(gè)概念來 描述它。bir定義311：若求積公式：丿(砂/川£去/(忑)對于任意不高丁 m次的代數(shù)多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，而對J-xw+1不一定能準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度m o

5、一般地，欲使求積公式$(©)貝冇m次代數(shù)精度。只要令它對J /(x) = l,.r,j2,.F*都能準(zhǔn)確成立，即要求:乞九=b ci&0n1A-02m+1n 1U»o加 + 1如果先選定求積節(jié)點(diǎn)，如.以區(qū)間a.b的等距節(jié)點(diǎn)依次為節(jié)點(diǎn)，這時(shí)取m=n,求解上述線性方程組即町確定系數(shù)人，從而使求枳公式至少m=n次代數(shù)粘:度。3.13牛頓柯特斯求積公式設(shè)耍計(jì)算定積分為：I(f) = jj(x)dx o數(shù)值計(jì)算定積分的方式就是利用被積函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)的信息，推導(dǎo)定積分 的近似計(jì)算公式。其做法是第一步：在匕上上選擇一些點(diǎn)，比如說是n<x0<x1<x <b,

6、 了解這些 節(jié)點(diǎn)處被枳旳數(shù)的信息，比如說算出/UJ,/ = 0丄“。第二步：把上述信息作為插值條件，構(gòu)造/(x)的拉格朗口插值多項(xiàng)式<0第三步：用厶(X)代替/(X),按如下方式推導(dǎo)計(jì)算公式：心« f L”(x)dx = y (x)/(兀加=工；0(兀)妖/、(3-1)其中Ja稱為求積系數(shù)，兀稱為求積節(jié)點(diǎn)。按上述過程得到的積分公式(3.1)叫做插值熨求積公式。當(dāng)然，如果用其 他的方式找到一個(gè)簡單函數(shù)p(x),使得p(x) f(x),那么也能推出一個(gè)數(shù)值積 分公式：Kf) = f(x)dx a (p(x)dx .這類近似計(jì)算的積分公式叫做數(shù)值積分公式。由于厶(x)是f的近似，所以

7、上述求積公式(3.1)存在截?cái)嗾`差(稱為求 積余項(xiàng)):5町wmf為嚴(yán)（莎恥皿其中§是與X有關(guān)的一個(gè)數(shù)有時(shí)為了突出這一點(diǎn)，常記它為C或氛0。如果 e（x）不變號(hào),則由第二積分中值定理可知：存在常數(shù) W切,使得R門=詁帀廣叫）氏冷）厶最常用的數(shù)值積分公式是等跆節(jié)點(diǎn)的插值熨求枳公式，即插值節(jié)點(diǎn)兀=a + ibji = - ，/ = 0,1, /?.n只咚步長力已知或已知，就能方便的算出所有求積節(jié)點(diǎn)兀。下面列出這樣的一些求積公式及其余項(xiàng)：梯形求積公式：(3.2)1)it = lji = b-a、心嗚/(X。) + /(),ler門=-尋m）2)辛普森(Simpson)求積公式或拋物線求積公式

8、：0 * h-an = 2,h = ,心N £/(" +4/(xJ + /(xJ./?5町=-缶嚴(yán)(")3)牛頓（Newton）求積公式：2 b-a/門 Q ¥"（入）+ ”（兒）+ 3/（兀）+ /（兀）,O町=-驚)柯特斯(Cotes)求積公式：.> b-an = 4,/? =心卜石7/(兀)+ 32/(兀) + 12/(xJ + 32/(“)+7/g), 町=-爲(wèi)嚴(yán)(")上述這類公式統(tǒng)稱為牛頓柯特斯(Newion-Cotes)求積公式，是它的階 數(shù)。從各階牛頓柯特斯公式的余項(xiàng)表達(dá)式可知：梯形求積公式對所有次數(shù)不超過1的多項(xiàng)

9、式是準(zhǔn)確成立的；辛普森求積公式對所有次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的；牛頓求積公式對所有次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的；柯特斯求積公式對所有次數(shù)不超過5多項(xiàng)式是準(zhǔn)確成立的。定理3丄1當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，階牛頓柯特斯求積公式至少具有” + 1階代數(shù)精度。3.1.4牛頓柯特斯求積公式的穩(wěn)定性和收斂性牛頓-柯特斯公式需耍計(jì)算各節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值/(兀),心0丄幾當(dāng)/(x)較復(fù)雜時(shí)，如In'x,廠'等。這些函數(shù)值的計(jì)算常常存在舍入誤差。分析這種舍入謀差 對數(shù)值計(jì)算公式的影響，就叫做算法的穩(wěn)定性分析。假設(shè)/(x)的近似值為yf，它們的絕對誤差限是5,則由此產(chǎn)生的定積分的計(jì)算誤差為£&/（兀）一乞心 < J|A/=0 /=0其中,A = (A°，A，A,)J內(nèi)此牛頓-柯特斯求枳公式在求枳系數(shù)小為負(fù)數(shù)時(shí)是數(shù)值穩(wěn)足的。最后由丁龍格現(xiàn)象存在，不難得知，牛頓柯特斯求積公式不一定具有收斂 性。從以上關(guān)于穩(wěn)定性和收斂性的分析可知，數(shù)値計(jì)算中應(yīng)主張使用低階的牛 頓柯特斯求積公式。課堂演示 習(xí)題三第1題，說明數(shù)值積分計(jì)算過程和誤差估計(jì)方法。課堂小結(jié)布置作業(yè)參考文獻(xiàn)1. Burden R L, Faires J D.Numencal Ana