物理現(xiàn)實(shí)的量子力學(xué)描述能否認(rèn)為是完備的

1、物理現(xiàn)實(shí)的量子力學(xué)描述能否認(rèn)為是完備的？著愛(ài)因斯坦、波多爾斯基和羅森譯 07046007 杜雪在一個(gè)完備的理論中， 每一個(gè)物理實(shí)體的要素都要有與之相對(duì)應(yīng)的要素。 一 個(gè)物理參量客觀存在的充分條件是在不會(huì)干擾系統(tǒng)的情況下， 能夠準(zhǔn)確預(yù)計(jì) 其值。量子力學(xué)中， 在由不可對(duì)易的算符所描述的兩個(gè)物理要素的情況下， 知道 其中一個(gè)物理量的準(zhǔn)確知識(shí)將排除對(duì)另外一個(gè)的準(zhǔn)確知識(shí)。那么就會(huì)有這兩種可能：（1） 由量子力學(xué)中的波函數(shù)所描述的實(shí)體是不完備的；（2） 這兩個(gè)物理實(shí)體要素不能夠同時(shí)客觀存在。 在預(yù)測(cè)一個(gè)系統(tǒng)時(shí)，我們是基于另一個(gè)先前與其相互作用的系統(tǒng)得出的測(cè)量 法則。出于對(duì)這個(gè)問(wèn)題的考慮會(huì)導(dǎo)致這樣的結(jié)果：如

2、果第（ 1）種可能是錯(cuò)誤的， 那么第（ 2）種可能也是錯(cuò)誤的！這樣我們就可以推斷出量子力學(xué)中波函數(shù)對(duì)物 理實(shí)體要素的描述是不完備的。1 任何一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢砝碚摫仨氁獏^(qū)別客觀實(shí)體與這個(gè)理論運(yùn)作所依據(jù)的物 理概念。 客觀實(shí)體應(yīng)該獨(dú)立于任何理論存在。 這些概念聯(lián)系著客觀實(shí)體， 而且通 過(guò)這些概念我們?yōu)樽约好枥L出了這個(gè)客觀實(shí)體。判斷一個(gè)物理體系的成功與否，我們會(huì)問(wèn)自己這樣兩個(gè)問(wèn)題：（1） “這個(gè)理論是正確的嗎？”（2） “理論的描述是完備的嗎？”只有在這兩個(gè)問(wèn)題都給出肯定的回答的情況下， 這個(gè)理論的概念才能被看作 是令人滿意的。這個(gè)理論體系的正確性是通過(guò)此體系的結(jié)論與人類自身的經(jīng)驗(yàn)的 一致程度來(lái)判別的

3、。 這種經(jīng)驗(yàn)在物理學(xué)中體現(xiàn)為實(shí)驗(yàn)和計(jì)算。 我們只有通過(guò)實(shí)驗(yàn) 才能對(duì)客觀實(shí)體做出推斷。在此我們來(lái)探討第（ 2）個(gè)問(wèn)題“量子理論的描 述是完備的嗎？” 用量子力學(xué)的原理來(lái)闡述。無(wú)論富于“完備性” 這個(gè)術(shù)語(yǔ)何種解釋， 緊接著對(duì)一個(gè)完備系統(tǒng)必須有一個(gè) 必要條件： “ 每一個(gè)物理實(shí)體的要素必須在其物理理論中有一對(duì)應(yīng)物！ ”我們把 這個(gè)必要條件稱作完備性的條件。 只要我們能夠確定什么是物理實(shí)體的要素， 那 么第二個(gè)問(wèn)題就容易回答了。物理實(shí)體的要素不能夠通過(guò)由原因推出結(jié)果的哲學(xué)理念來(lái)決定， 而必須由實(shí) 驗(yàn)和計(jì)算的結(jié)果來(lái)發(fā)現(xiàn)。 然而對(duì)實(shí)體的完整的定義對(duì)于我們的目的來(lái)說(shuō)不是必要 條件。我們會(huì)對(duì)接下來(lái)這個(gè)我們認(rèn)為

4、是合理的標(biāo)準(zhǔn)感到滿意： “ 如果在不對(duì)系統(tǒng) 造成任何干擾的情況下，我們可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)（即，以等于 1 的概率）一個(gè)物 理參量的值，那么就存在一個(gè)物理實(shí)體的要素對(duì)應(yīng)于這個(gè)物理參量。 ”看起來(lái)， 這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)決不是讓我們窮盡所有可能的方法去認(rèn)知一個(gè)物理實(shí)體。 至少它給我們 提供了這樣一個(gè)方法條件在事物發(fā)生的一刻確定了。 只要這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不是被看作一個(gè)必要條件，而是僅僅作為一個(gè)充分條件，那么它就同樣適用于經(jīng)典物理以 及量子力學(xué)中對(duì)實(shí)體的概念。為了解釋說(shuō)明這個(gè)包含著的概念，讓我們假設(shè)量子力學(xué)對(duì)粒子行為的描述有單一的自由度。這個(gè)理論的基礎(chǔ)概念是“態(tài)”。態(tài)被認(rèn)為是由波函數(shù)？完全描述。波函數(shù)由所選擇的變量來(lái)描述粒子

5、的行為。對(duì)應(yīng)于每一個(gè)物理可觀測(cè)量A，有一個(gè)可以是用同一個(gè)字母來(lái)表示的算符。如果 是算符 A的特征函數(shù)，也就是說(shuō)：(1)式中物理量a是一個(gè)數(shù)。一旦粒子處于由描述的態(tài)中，物理量A就被賦予了一個(gè)確定的值a。與我們對(duì)于實(shí)體的標(biāo)準(zhǔn)一致，一個(gè)粒子處于由描述的態(tài)中,滿足等式（1）,有一個(gè)對(duì)應(yīng)于A的物理實(shí)體的要素。例如:(2)這里h是普朗克常量，po是一個(gè)常數(shù)，x是一個(gè)不確定的變量。由于算符對(duì)應(yīng)于粒子的動(dòng)量：（3）我們得到：0 = pM*( 4)那么，在由等式（2）確定的態(tài)中，動(dòng)量具有確定的值 Po。這樣說(shuō)粒子的動(dòng)量在 等式（2）確定的態(tài)中是實(shí)際存在的就有意義了。另一方面如果等式（1）不成立，我們不能夠說(shuō)物理

6、量 A有特定的值。下面 舉粒子坐標(biāo)的例子。坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的算符，設(shè)為 q,是算符與獨(dú)立變量的乘積。 那么，人： （5）用符合量子力學(xué)的觀點(diǎn)我們只能說(shuō)測(cè)量坐標(biāo)所得的結(jié)果介于a , b之間的可能為：h） I ppdx = I dx b 人 “（6）由于這個(gè)可能是獨(dú)立于a的，但是僅取決于b-a的差值。因此我們知道坐標(biāo)的所 有值都是等可能的。處于由等式（2）確定的態(tài)中的粒子，它的坐標(biāo)的確切值是不可觀測(cè)得。但 是可以僅由一個(gè)直接的測(cè)量來(lái)得到。然而這樣的一個(gè)測(cè)量干擾了粒子，并且改變 了它的態(tài)。當(dāng)它的坐標(biāo)被確定之后，這個(gè)粒子已經(jīng)不再在由（2）所確定的態(tài)中 了。量子力學(xué)中由此得到的常見(jiàn)的結(jié)論是 “當(dāng)一個(gè)粒子的動(dòng)量確

7、定之后， 它的坐 標(biāo)不再是一個(gè)物理實(shí)體?！备毡榈?，量子力學(xué)中所講，設(shè) A，B是兩個(gè)物理量對(duì)應(yīng)的算符，它們不對(duì) 易，即ABBA。那么，它們其中一個(gè)的確切知識(shí)就會(huì)阻斷另一個(gè)的知識(shí)。更進(jìn) 一步的，任何試圖通過(guò)實(shí)驗(yàn)決定后一個(gè)的企圖都會(huì)改變系統(tǒng)的態(tài)，從而破壞了前者的知識(shí)。從而得到如下推論：（1）或者說(shuō)，在量子力學(xué)中波函數(shù)對(duì)物理現(xiàn)實(shí)的描述是不完備的。（2）或者說(shuō)，兩個(gè)對(duì)應(yīng)于不可對(duì)易算符的物理量不能同時(shí)是實(shí)在的。（即具有確定的值）因?yàn)槿绻鼈兺瑫r(shí)都是實(shí)在的（具有確定的值），根據(jù)完備性條件，這些值將會(huì) 進(jìn)入到完備描述中。如果這樣，波函數(shù)就會(huì)提供對(duì)實(shí)在的完備描述， 其中包括這 些值。這些值將會(huì)是可觀測(cè)得。但這

8、是不可能的，我們只能二選一。量子力學(xué)中通常假設(shè)波函數(shù)確實(shí)包含對(duì)物理實(shí)體的完備描述， 這個(gè)物理實(shí)體 處在于這個(gè)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的態(tài)中。乍看之下，這個(gè)假設(shè)是完全合理的，因?yàn)閺牟ê?數(shù)得到的信息看上去準(zhǔn)確的符合測(cè)量量而不影響系統(tǒng)的狀態(tài)。 然而，我們要指出 的是，這個(gè)假設(shè)與上面給出的物理實(shí)體的標(biāo)準(zhǔn)是相矛盾的。2基于這個(gè)目的，讓我們?cè)O(shè)想有兩個(gè)系統(tǒng)，I和II。我們?cè)试S它們?cè)趖=0到t=T 之間相互作用，過(guò)了這個(gè)時(shí)間之后，假設(shè)這兩部分間不再有相互作用。 再進(jìn)一步 假設(shè)這兩個(gè)系統(tǒng)在t=0之前的狀態(tài)是已知的。然后根據(jù)薛定諤方程，我們可以計(jì) 算出在其后任意時(shí)刻聯(lián)合系統(tǒng)I+II的狀態(tài)，尤其是在任意t>T的時(shí)刻。用相

9、應(yīng)的 波函數(shù) 來(lái)指出。然而，在相互作用之后，我們不能計(jì)算任何一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)。 根據(jù)量子力學(xué)，這只能通過(guò)更進(jìn)一步的測(cè)量，通過(guò)一個(gè)“波包衰減”的過(guò)程。讓 我們考慮一下這個(gè)過(guò)程的實(shí)質(zhì)。設(shè)ai,a2,a3是某個(gè)物理參量A附屬于系統(tǒng)I的特征值。對(duì)應(yīng)的特征方程為U1（X1）, U2（X1）, U3（X1）,其中xi代表用來(lái)描述系統(tǒng)I的變量的值。那么，xi的一個(gè)方程可表示為0業(yè)（尤 1,血）=龍轉(zhuǎn) T（ 7）災(zāi)表示描述第二個(gè)系統(tǒng)的變量的值。這里'-；n（X2）僅僅被看作是函數(shù)V展開 成為一系列正交函數(shù)Un（x1）的系數(shù)。現(xiàn)在假設(shè)參量A被測(cè)量，且具有值ak。接著可以得出在測(cè)量之后，第一個(gè)系統(tǒng)遺留在由波

10、函數(shù)Uk（X1）決定的態(tài)中，而第二個(gè)系統(tǒng)遺留在由波函數(shù)' k（X2）決定的態(tài)中。這就是波包衰減的過(guò)程；由無(wú)窮級(jí)數(shù)給 出的波包衰減為單一的項(xiàng)k（X2）Uk（X1）。函數(shù)Un（XI）的集合由物理參量A的選擇決定。代替這些，如果我們選擇另一個(gè)參量，設(shè)為B，它具有特征值'以及特征方程譏（尙），51（X1）,訊珀，代替等式（7），我們可以得到展開式巫（兀1,= K只仇）（兀）I（ 8）其中廠是新的系數(shù)。如果現(xiàn)在B被測(cè)量了，且具有值br，我們于是得出在測(cè)量之后，第一個(gè)系統(tǒng)遺留在由“ 給出的狀態(tài)中，第二個(gè)系統(tǒng)處在由夠廣（兀給出的態(tài)中。因此我們知道，作為在第一個(gè)系統(tǒng)上實(shí)行的兩個(gè)不同計(jì)算的后承，

11、第二個(gè)系 統(tǒng)可能處在這樣的狀態(tài)下，這個(gè)狀態(tài)具有兩個(gè)不同的波函數(shù)。 另一方面，由于在 測(cè)量的同時(shí)亮個(gè)系統(tǒng)不再相互作用， 在第二個(gè)系統(tǒng)中，并不會(huì)由于任何作用于第 一個(gè)系統(tǒng)的東西而產(chǎn)生真正的改變。當(dāng)然，這僅僅是由于兩系統(tǒng)間相互作用的缺 少所表現(xiàn)出的聲明。那么，就有可能對(duì)同一個(gè)實(shí)體（與第一個(gè)系統(tǒng)相互作用之后 的第二個(gè)系統(tǒng)）安排兩個(gè)不同的波函數(shù)（在我們舉的例子里是T和L ）現(xiàn)在，可能會(huì)出現(xiàn)這種情況：這兩個(gè)波函數(shù)T和L分別是兩個(gè)不可對(duì)易算?。?符P和Q的特征方程。這可能的確是可以由一個(gè)例子展現(xiàn)的情況。我們假設(shè)這 兩個(gè)系統(tǒng)斯兩個(gè)粒子，而且：（9） 其中xo是某個(gè)常數(shù)。設(shè)A是第一個(gè)粒子的動(dòng)量，然后，就像我們?cè)?/p>

12、等式（4） 所知道的，對(duì)應(yīng)于特征值p，它的特征方程為：(10)P(X2)Up(Xi)dpt由于我們?cè)谶@里有一個(gè)連續(xù)譜的情況。等式（7）現(xiàn)在寫為:(11)其中,為（兀=曠（2司冊(cè)3-列“（這個(gè)-是算符P的特征方程。P （Z?/2W） 3/3x2,（13）對(duì)應(yīng)于第二個(gè)粒子的動(dòng)量的特征值 -p。另一方面，如果B是第一個(gè)粒子的坐標(biāo), 它具有對(duì)應(yīng)于特征值x的特征方程(14)哄血）=3血一幼其中fJ： V1 '是著名的狄拉克S函數(shù)。等式（8）在這種情況下變?yōu)?巫（切血）=(15)7T訐帕3劭+盹）吃/pS(兀 Q =xa+xo).(16)其中,這個(gè)是算符Q的特征方程(17)Q = 2對(duì)應(yīng)于第二個(gè)粒

13、子的坐標(biāo)的特征值 二。由于PQ_QP = h 站、(18)我們已經(jīng)指出，對(duì)應(yīng)于物理參量，T和L是兩個(gè)不可對(duì)易算符的本征方程是普 遍可能的?，F(xiàn)在回到等式（7）和（8）所關(guān)注的普通的情況。假設(shè)T和廠 真是某不可 對(duì)易算符P和Q的特征方程。分別對(duì)應(yīng)于特征值,和W。那么，通過(guò)測(cè)量A 或者B，我們能夠在不以任何方式干擾第二個(gè)系統(tǒng)得情況下，確切的預(yù)測(cè)無(wú)論是P的值（即力無(wú)）還是Q的值（即9）。與我們對(duì)實(shí)體的定義標(biāo)準(zhǔn)相符合，在第 一種情況下，我們必須參量 P是實(shí)體的要素；在第二種情況下參量 Q是實(shí)體的 要素。但是，正如我們所知道的，波函數(shù) r和都屬于同一個(gè)實(shí)體。之前我們證明了（1）或者說(shuō)，在量子力學(xué)中波函數(shù)對(duì)物理實(shí)在的描述是不完備的；（2）或者說(shuō)，兩個(gè)對(duì)應(yīng)于不可對(duì)易算符的物理量不能同時(shí)是實(shí)在的。然后假設(shè)波函數(shù)確實(shí)對(duì)物理實(shí)體進(jìn)行了完備性描述， 我們得出這樣的結(jié)論： 兩個(gè) 對(duì)應(yīng)于不可對(duì)應(yīng)算符的物理量可是同時(shí)是實(shí)在的。那么，對(duì)（ 1）的否定導(dǎo)致了 對(duì)為一個(gè)另一種情況（ 2）的否定。因此我們被迫推論出量子力學(xué)通過(guò)波函數(shù)對(duì) 物理實(shí)體的描述是不完備的。一個(gè)人可以以我們對(duì)物理實(shí)在的定義標(biāo)準(zhǔn)不是充分嚴(yán)格的理由來(lái)反對(duì)這個(gè) 結(jié)論。實(shí)際上，如果一個(gè)人堅(jiān)持認(rèn)為， “只有當(dāng)兩個(gè)或者更多的物理參量可以同 時(shí)被測(cè)量或預(yù)測(cè)” 的情況下， 它們可以被認(rèn)為是實(shí)體的同時(shí)存在的要素， 那