文科立體幾何知識點方法總結(jié)高三復習

1、立體幾何知識點整理若n為平面的一個法向量，ni且直線和平面的三種位置關(guān)系:1.線面平行則/。3.面面平行:方法一：用線線平行實現(xiàn)l2.線面相交符號表示:3.線在面內(nèi)l/l'1.線面垂直:方方法一：用線線垂直實現(xiàn)。二.平行關(guān)系:1.線線平行：方法二：用面面垂直實現(xiàn)。2.面面垂直:/A：m，方法一：用線面垂方法一：用線面平行實若l,m，貝Ul/m面角為直角。3.線線垂直:直實現(xiàn)。方法二：計算所成CA方法一：用線面垂直實現(xiàn)。方法二：三垂線定理及其逆定理方法三：用向量方法：若向量i和向量m的數(shù)量積為0,則I m o三.夾角問題。（一）異面直線所成的角：方法四：用向量方法：若向量l和向量m共線且

2、I、m不重合，則I/mo2.線面平行：方法一：用線線平行實現(xiàn)方法二：用面面平行實現(xiàn)方法三：用平面法向量實現(xiàn)(1)范圍：(0,90（2）求法：方法一：定義法。步驟1:平移，使它們相交，找到夾角。步驟2:解三角形求出角。（常用到余弦定理）余弦定理：（計算結(jié)果可能是其補角）b方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角（計算結(jié)果可能是其補角）：（二）線面角定義：直線l上任取一點P（交點除外），作PO于O,連2gAO,則AO為斜線PA在面內(nèi)的射影，PAO（圖中）為直線l與面所成的角。（2）范圍:0,90當0時，l或l/當90時，l（3）求法：方法一：定義法。步驟1:作出線面角，并證明。步驟2:解三角形，求出線面角

3、。（三）二面角及其平面角（1）定義：在棱l上取一點P,兩個半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n,則射線m和n的夾角為二面角l的平面角。（2）范圍:0,180（3）求法：方法一：定義法。-P步驟1:作出二面角的平面角（三垂線定理），并證明。步驟2:解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟1:如圖，若平面POA同時垂直于平面和，則交線（射線）AP和AO的夾角就是二面角。步驟2:解三角形，求出二面角。方法三：坐標法（計算結(jié)果可能與二面角互補）。uuuuruu步驟一：計算cosn1n2-ur-uu-nn2iruu步驟二：判斷與n1n2的關(guān)系，可能相等或者互補。四.距離問題。1.點面距。方法一

4、：幾何法。步驟1:過點P作PO于O,線段PO即為所求。步驟2:計算線段PO的長度。（直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法）2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距。3.異面直線之間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，n且m/,則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：直接計算公垂線段的長度。方法三：公式法如圖，AD是異面直線m和n的公垂線為：段，m/m',則異面直線m和n之間的距離d2a一/2abc0s高考題典例考點1點到平面的距離例1如圖，正三棱柱ABCAB1C1的所有棱長都為2,D為co中點.（I）求證：AB1，平面AiBD；（H）求二面

5、角AA1DB的大??；（田）求八平吵1、距離.解答過程（I）取BC中點O,連結(jié)AO.QAABC為正三角形，Ao/bcQ“cAB1C1中，平面ABC，平面BCM,AO,平面BCGB.連結(jié)BQ,在正方由嫉GC中,O,D4iJ為BC,CCi的中點，B1O±BD,AB1±BD.在正方形ABB1A中，AB1±A1B,AB1L平面A1BD.（H）設ABi與A1B交于點G,在平面ABD中，作GF，AD于F,連結(jié)AF,由（I）得AB1，平面ABD.AF±A1D,/AFG為二面角AA1DB的平面角.在AAD中，由等面積法可求得AF還,又QAG1ABi近,sin/AFG9巫叵

6、所以二面角AWB的大小為52AF4,545arcsin0（田）ABD中，BDAD而AB2&$輛庭,$bcd1.在正三棱柱中，A4到平面BCC1B1的距離為舊.設點C到平面ABD的距離為d.由VAbcdVcAbd，得1SABcdN31S-bdB，d1s-CD互點C到平面ABD的距離為變.考點2異面直線的BCDA|BD33SaA1BD22距離例2已知三棱錐SABC,底面是邊長為4后的正三角形，棱SC的長為2,且垂直于底面.E、D分別為BC、AB的中點，求CD與SE間的距離解答過程：如圖所示，取BD的中點F,連結(jié)EF,SF,CF,EF為BCD的中位線，EF/CD,CD/面SEF,CD到平面S

7、EF的距離即為兩異面直線間的距離又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線CD上一點C到平面SEF的距離，設其為h,由題意知，BC442,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點,在RtSCE中，SEVSC2CE22<3在RtSCF中，SFxSCi一又 Soqg-OH OiG -3OH .2,OH2即BD到平面GB Di的距離等于解析二 BD/平面GBQ-BD上任意一點到平面GBiDi的距離皆為所求，以下求點 B平面GBiDi的距離.設點B到平面GBDi的距離為h,將它視為三棱錐B GBiDi的高，則CF24424233Q又EFgSsEF3由于VcsefVscef1SsEFhiP13h考，解得h絲故333

8、3CD與SE間的距離為空.3考點3直線到平面的距離例3.如圖，在棱長為2的正方體AC1中，G是AA1的中點，求BD到平面GB1D1的距離.思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點面距離，再用點到平面距離的方法求解.解答過程：解析一BD/平面GB1D1,BD上任意一點到平面GB,Di的距離皆為所求，以下求點O平面GBDi的距離,BiDiAG,BiDiAA,BiDi平面AACCi,作OH OiG于H,則有OH又BiDi平面GBiDi平面AACCiGRDi,兩個平面的交線是O£,平面GBiDi,即OH是O點到平面GBiDi的距離.rii在OiOG中，S010GOiOAO2J2V2.2.63i22VB

9、GB1D1VDi GBB1，由于 S GB1D11-rz-rz-rz-1142'36'V1322223,即BD到平面GB1D1的距離等于空.3小結(jié)：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準恰當?shù)狞c，轉(zhuǎn)化為點面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.考點4異面直線所成的角例4如圖，在R9AOB中，0AB，斜邊AB4.RtAAOC可以通過RtAOB以直線AO為軸6旋轉(zhuǎn)得到，且二面角BAOC的直二面角.D是AB的中點.(I)求證：平面COD平面AOB；(II)求異面直線A0與CD所成角的大小.解答過

10、程：(I)由題意，COAO,BOAO,BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO,又QAOIBOO,CO平面AOB,又CO平面COD.平面COD平面AOB.(II)作DEOB,垂足為E,連結(jié)CE(如圖)CDE是異面直線AO與CD所成的角.在RtCOE中，COBO2,OE1BO1，CE2又DE1AO石在RHCDE中，tanCDECE2DE異面直線AO與CD所成角的大小為arctan包5.3小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在于

11、容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法.同時要特別注意異面直線所成的角的范圍：0_.,2考點5直線和平面所成的角例5.四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD.已知/ABC45。,AB2,BC2&，SASB點.(I)證明SABC；(H)求直線SD與平面SAB所成角小.解答過程：(I)作SO,BC,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)的大面SBC，底面ABCD,得SO,底面ABCD.因為SASB,所以AOBO,又/ABC45。，故4AOB為等腰直角三角形，AO±BO,由三垂線定理，得SAXBC.(H

12、)由(I)知SAXBC,依題設AD/BC,AO 亞，得 SO 1, SD Jii . zSAB的面積故SAXAD,由ADBC2金,SAg,1c連結(jié)DB,得ADAB的面積S21ABgADsin135。2設D到平面SAB的距離為h,由于VdsabVsabd，得智第1SOgS2，解得h戊.33設SD與平面SAB所成角為，則sin旦旦叵.SD.1111所以，直線SD與平面SBC所成的我為arcsin叵.11小結(jié)：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系；(2)當直線和平面斜交時，常用以下步驟：構(gòu)造一一作出斜線與射影所成的角，證明一一論證作出的角為所求的角，計算一一常用解三

13、角形的方法求角，結(jié)論一一點明直線和平面所成的角的值.考點6二面角例6.如圖，已知直二面角PQ,APQ,BAP45。，直線CA和平面所成的角為30。.(II)求二面角BACP的大小.過程指引：（I）在平面內(nèi)過點C作CO，PQ于點O,連結(jié)OB.因為，IPQ,所以CO，又因為CACB,所以OAOB.而BAO45°,所以ABO450,AOB900,從而BO±PQ,又CO，PQ,所以PQ±平面OBC.因為BC平面OBC,故PQ，BC.(II)由(I)知，BOLPQ,又，IPQ,BO，所以BOL.過點O作OH，AC于點H,連結(jié)BH,由三垂線定理知，BH，AC.故BHO是二面角

14、BACP的平面角.由（I）知，COX，所以CAO是CA和平面所成的角，則CAO30°,不妨設AC2,則AO>/3,OHAOsin30°2在RtzXOAB中，ABOBAO45°,所以BOAO有,于是在RtABOH中，BO.3tanBHO二產(chǎn)2.故一面角BACP的大小為arctan2.OH_3萬小結(jié)：本題是一個無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無棱二面

15、角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時,可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.考點7利用空間向量求空間距離和角例7.如圖，已知ABCDAB1c1D1是棱長為3的正方體,點E在AA1上，點F在CC1上，且AEFC11.（1）求證：E,B,F,Di四點共面；2(2)若點G在BC上，BG.，點M在BBi上，GM，BF,垂足為H,求證：EM，平面3BCCiB;(3)用表示截面EBFD1和側(cè)面BCC1B1所成的銳二面角的大小，求tan過程指引：(1)如圖，在DDi上取點N,使DN1,連結(jié)EN,CN，則AEDN1,CFND12.因為AE/DN,ND1/CF,所以四邊形ADNE,CFD1N者B為平行四邊形.從而ENAD,FD1/CN.又因為ADJBC,所以ENJBC,故四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN/BE,從而FD1/BE.因此，E,B,F,D1四點共面./CFB ,(2)如圖，GM±BF,又BMLBC,所以/BGMB