函數(shù)單調(diào)性及最大最小值

1、單調(diào)性與最大（小）值單調(diào)性與最大（?。┲?曹利霞問題提出問題提出 德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究. .他經(jīng)過測試，得他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：到了以下一些數(shù)據(jù)：時(shí)間間隔時(shí)間間隔 t剛記剛記憶完憶完畢畢20分分鐘后鐘后60分分鐘后鐘后8-9小時(shí)小時(shí)后后1天天后后2天天后后6天天后后一個一個月后月后記憶量記憶量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶量以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y y是時(shí)間是時(shí)間間隔間隔t t的函數(shù)的函數(shù). . 艾賓浩斯

2、根據(jù)這艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩艾賓浩斯遺忘曲線斯遺忘曲線”, ,如圖如圖. .123tyo20406080100思考思考1:1:當(dāng)時(shí)間間隔當(dāng)時(shí)間間隔t t逐漸增逐漸增 大你能看出對應(yīng)的函數(shù)值大你能看出對應(yīng)的函數(shù)值y y有什么變化趨勢？通過這個有什么變化趨勢？通過這個試驗(yàn)，你打算以后如何對待試驗(yàn)，你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識剛學(xué)過的知識? ?思考思考2:2:“艾賓浩斯遺忘曲線艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？tyo20406080100123知識探究（一）知識探

3、究（一）yxo考察下列兩個函數(shù)考察下列兩個函數(shù): :( )f xx2( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2)xyo思考思考1 1: :這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何共同特征？共同特征？思考思考2 2: :如果一個函數(shù)的圖象從左至右逐漸上升，如果一個函數(shù)的圖象從左至右逐漸上升，那么當(dāng)自變量那么當(dāng)自變量x x從小到大依次取值時(shí)，函數(shù)值從小到大依次取值時(shí)，函數(shù)值y y的的變化情況如何？變化情況如何？( )f x12xx1()f x2()f x思考思考3 3: :如圖為函數(shù)如圖為函數(shù) 在定義域在定義域I I內(nèi)某個區(qū)間內(nèi)某個區(qū)間D D上的圖象，對于該

4、上的圖象，對于該區(qū)間上任意兩個自變量區(qū)間上任意兩個自變量x x1 1和和x x2 2，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 與與 的大的大小關(guān)系如何小關(guān)系如何？xyox1x2( )yf x1()f x2()f x思考思考4 4: :我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為增函數(shù)，我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為增函數(shù)，那么怎樣定義那么怎樣定義“函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間D D上是增函數(shù)上是增函數(shù)”？( )f x( )f x12,x x1x2x1( )f x2()f x)(xf對于對于函數(shù)函數(shù)定義域定義域I I內(nèi)某個區(qū)間內(nèi)某個區(qū)間D D上的任意兩個自變量上的任意兩個自變量 的值的值，若當(dāng)，若當(dāng) 時(shí)，都有時(shí)，都有 , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù)

5、在區(qū)間在區(qū)間D D上是增函數(shù)上是增函數(shù). . 知識探究（二）知識探究（二）考察下列兩個函數(shù)考察下列兩個函數(shù): :( )f xx 2( )(0)f xxx （1 1） ； (2)(2)1()f x2()f x( )yf xxyoxoy思考思考1 1: :這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何二者有何 共同特征？共同特征？( )f x思考思考2 2: :我們把具有上述特點(diǎn)的我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為減函數(shù)，那么怎樣定函數(shù)稱為減函數(shù)，那么怎樣定義義“函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間D D上是減上是減函數(shù)函數(shù)”？2()f xxyox1x2( )yf x1()f x( )f x12,x

6、 x1x2x1( )f x2()f x)(xf對于對于函數(shù)函數(shù)定義域定義域I I內(nèi)某個區(qū)間內(nèi)某個區(qū)間D D上的任意兩個自變量上的任意兩個自變量 的值的值，若當(dāng)，若當(dāng) , ,則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間D D上是減函數(shù)上是減函數(shù). . 2( )(1)f xx( )f x( )f x思考思考3 3：如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間D D上是增函上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù) 在這一區(qū)間具有在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）（嚴(yán)格的）單調(diào)性單調(diào)性，區(qū)間，區(qū)間D D叫做函數(shù)叫做函數(shù) 的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. .那么二次函數(shù)在那么二次函數(shù)在R R上具有單調(diào)性嗎？上具有單調(diào)性嗎

7、？函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間如何？的單調(diào)區(qū)間如何？ 1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì)；注意：注意： 2 、必須是對于區(qū)間必須是對于區(qū)間D內(nèi)的內(nèi)的任意任意兩個自變量兩個自變量x1，x2；當(dāng)；當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，總有總有f(x1)f(x2) 分別是增函數(shù)和減函數(shù)分別是增函數(shù)和減函數(shù). .下面是常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（應(yīng)熟記）yoxoyxyoxyoxyox在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2ab在 增函數(shù)在 減函數(shù)ab2-，,2ab在(-,+)是減函數(shù)在(-,0)和(0,+)是減函數(shù)在(-,+)是增函數(shù)在(-,0

8、)和(0,+)是增函數(shù)yox例1、下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間-5,-2), 1,3)是減函數(shù)，是減函數(shù)， 在區(qū)間在區(qū)間-2,1), 3,5 上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。知識遷移,應(yīng)用提高思考思考:能否寫成能否寫成-5,-2) 1,3)?注意：注意：函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確

9、定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題；對于閉區(qū)間上的連續(xù)函存在單調(diào)性問題；對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)數(shù)來說，只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以；間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以；例例2、證明函數(shù)、證明函數(shù)f(x)=3x+2在在R上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。證明：證明：設(shè)設(shè)x1，x2是是R上的任意兩個實(shí)數(shù)，且上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x1x2，則，則f(x1)f（x2）（）（3x12） （3x22）3（ x1x2 ）由由x1x2，得，得x1x2

10、0于是于是f（x1）f（x2）0即即f（x1）f（x2）所以，函數(shù)所以，函數(shù)f(x)=3x+2在在R上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。取值取值作差作差變形變形定號定號下結(jié)論下結(jié)論證明證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；的正負(fù)）；5 下結(jié)論（即指出函數(shù)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的上的單調(diào)性）單調(diào)性） 利用定義證明函數(shù)利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的

11、單上的單調(diào)性的一般步驟：調(diào)性的一般步驟：設(shè)設(shè)x1，x2（0，+），且），且x1x2，則，則22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx 0), 0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.), 0(1)(上是減函數(shù)在函數(shù)xxf111Ox y1f（x）在定義域）在定義域上是減函數(shù)嗎？上是減函數(shù)嗎？減函數(shù)減函數(shù)f（x）在定義域）在定義域上是減函數(shù)嗎？上是減函數(shù)嗎？取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）13.( )(0,).f xx例 函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論 小小 結(jié)

12、結(jié)利用定義確定或證明函數(shù)利用定義確定或證明函數(shù)f(x)f(x)在給定的在給定的 區(qū)間區(qū)間D D上的單調(diào)性的一般步驟：上的單調(diào)性的一般步驟： 1.1.取數(shù)取數(shù): :任取任取x x1 1，x x2 2DD，且，且x x1 1x x2 2； 2.2.作差作差: :f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )； 3.3.變形變形: :通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方; ; 4.4.定號定號: :判斷差判斷差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正負(fù)的正負(fù); ; 5.5.小結(jié)小結(jié): :指出函數(shù)指出函數(shù)f(x)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D D上的上的 單調(diào)性單調(diào)性. . 1、如果 ，且 時(shí)，有 ，則函數(shù) 在 上是( ) A增函數(shù) B減函數(shù) C先減后增 D不能確定12,x xa b12xx12( )()f xf x, a