新課標九年級數(shù)學提高培訓-圓冪定理

1、圓冪定理提高訓練一、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）1、已知：如圖，PT切O于點T，PA交O于A，B兩點且與直徑CT交于點D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB=第1題 第2題 第3題2、如圖：PT是O的切線，T為切點，PB是O的割線交O于A，B兩點，交弦CD于點M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長等于3、如圖，PAB、PCD為O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=4、如圖，AB是O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是O的切線，D為切點，過點B作O的切線交CD于點E，若AB=CD=2，則CE=第4題 第5題 第6題5、如圖，ABC中，C

2、=90°，O為AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點E，與AC相切于點D，已知AD=2，AE=1，那么BC=6、如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD=二、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）7、如圖，在ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于E，且與CD相切若AB=4，BE=5，則DE的長為（）A、3B、4 C、D、第7題 第8題 第9題 8、如圖，在ABC中，C=90°，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為（）A、6.4B、3.2 C、3

3、.6D、89、如圖，O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA和PB的長分別是方程x212x+24=0的兩根，則此圓的直徑為（）A、B、 C、D、10、如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H，點P是上一點（點P不與A、C兩點重合），連接PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四個結(jié)論：（1）CH2=AHBH；（2）=；（3）AD2=DFDP；（4）EPC=APD，其中正確的個數(shù)是（）A、1B、2 C、3D、4第10題 第11題 第12題11如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AHBC于H，若PA=1，PB+PC=a（a2），則PH等

4、于（）A、B、C、D、12、已知：如圖，ABC是O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EFAB，若AB=2，則DE的長是（）A、B、C、D、1三、解答題（共10小題，滿分96分）13如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，PA是過A點的直線，PAC=B，（1）求證：PA是O的切線；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的長和ECB的正切值第13題第14題 第15題14、如圖，P是平行四邊形ABCD的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE15、如圖

5、，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF=4求：（1）cosF的值；（2）BE的長16如圖，BC是半圓的直徑，O是圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，ADBC于點D（1）若B=30°，問：AB與AP是否相等？請說明理由；（2）求證：PDPO=PCPB；（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的長 17已知：如圖，PA切O于點A，割線PBC交O于點B、C，PDAB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連接CE并延長CE交O于點F，連接AF（1）求證：PBDPEC；（2）若AB=12，tanEAF=，求

6、O半徑的長18已知：如圖AB是O的直徑，PB切O于點B，PA交O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0（其中m為實數(shù)）的兩根（1）求證：BE=BD（2）若GEEF=6，求A的度數(shù) 19、如圖，已知AB為O的直徑，C為O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC20、已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的O相交于P、C兩點，連接AC、AP、CP，井延長CP、AP分別交AB、BC、O于E、H、F、三點，連接OF（1）求證：AEPC

7、EA；（2）判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）求BH：HC 21、如圖，PA、PB是O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2，CD=1，求DE的長22、如圖所示，O的直徑的長是關(guān)于x的二次方程x2+2（k2）x+k=0（k是整數(shù)）的最大整數(shù)根 P是O外一點，過點P作O的切線PA和割線PBC，其中A為切點，點B，C是直線PBC與O的交點若PA，PB，PC的長都是正整數(shù)，且PB的長不是合數(shù)，求PA2+PB2+PC2的值 答案與評分標準一、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）1、（2001重慶）已知：如圖，PT切O于點T，PA交O于A，B兩點且與直徑

8、CT交于點D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB=15解答：解：根據(jù)相交弦定理得DTCD=ADBD，DT=9設PB=x根據(jù)切割線定理和勾股定理得：PT2=PD2DT2=PBPA，即（x+6）281=x（x+9），解得x=152、（2006菏澤）（非課改區(qū)）如圖：PT是O的切線，T為切點，PB是O的割線交O于A，B兩點，交弦CD于點M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長等于分析：由相交弦定理得AMMB=CMMD，由此求出AM=5，再由切割線定理得PT2=PAPB即可求出PT解答：解：由相交弦定理得，AMMB=CMMD，而CM=10，MD=2，PA=MB=4，AM=5；由切割線

9、定理得，PT2=PAPB=4×（4+5+4）=4×13，PT=23、如圖，PAB、PCD為O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=1：3分析：根據(jù)切割線定理可以求得D=PAC，即可求證PACPDB，根據(jù)對應邊比值相等的性質(zhì)和CD的長可求得PC與PB的比值，即可解題解答：解：PAB、PCD為O的兩條割線，BAC+BDC=180°，PAC+BAC=180°，BDC=PAC，又P=P，PACPDB，=，設PC=x，PD=y，且yx=11，解得x=4，y=15，=，4、如圖，AB是O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是O的切線，D為切點，

10、過點B作O的切線交CD于點E，若AB=CD=2，則CE=分析：連接OD，設CE=x，由切割線定理得，CD2=CBCA，根據(jù)AB=CD=2，求得BC，由切線的性質(zhì)，可證明BCEDCO，由比例式求得CE即可解答：解：CD是O的切線，CD2=CBCA，AB=CD=2，4=BC（BC+2），解得BC=1+，CD是O的切線，BE為O的切線，CBE=CDO=90°，BCEDCO，=，即=，解得，CE=，故答案為點評：本題考查了切割線定理和切線長定理以及三角形的相似的判定和性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較大5、如圖，ABC中，C=90°，O為AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于

11、點E，與AC相切于點D，已知AD=2，AE=1，那么BC=分析：連OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到ODAC，在RtADO中，設OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可計算出R=，則AO=，AB=4，再根據(jù)ODBC，得到AODABC，利用相似比=，即可求出BC的長解答：解：連OD，如圖，AC為O的切線，ODAC，在RtADO中，設OD=R，AD=2，AE=1，22+R2=（R+1）2，解得R=，AO=，AB=4，又C=90°，ODBC，AODABC，=，即BC=故答案為：6、如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，

12、則BD=7分析：根據(jù)已知條件，易證ABCBEC，所以BC2=CEAC，即可求得EC=2，AE=6，利用相交弦定理，可以確定BEDE=12，又線段BE、ED為正整數(shù)，且在BCD中，BC+CDBE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7解答：解：BC=CD，BAC=DAC，DBC=DAC，BAC=DBC，又BCE=ACB，ABCBEC，BC2=CEAC，AC=8，CD=4，EC=2，AE=6，由相交弦定理得，BEDE=AEEC，即BEDE=12，又線段BE、ED為正整數(shù)，且在BCD中，BC+CDBE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=BE+

13、DE=7二、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）7、如圖，在ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于E，且與CD相切若AB=4，BE=5，則DE的長為（）A、3B、4 C、D、分析：連接CE，根據(jù)圓周角定理易知：BAE=BEC+EBC，而DCB=DCE+BCE，這兩個等式中，由弦切角定理知：DCE=EBC；再由平行四邊形的性質(zhì)知：DCB=EAB，因此BEC=BCE，即可得BC=BE=5，即AD=5，進而可由切割線定理求DE的長解答：解：連接CE；，BAE=EBC+BEC；DCB=DCE+BCE，由弦切角定理知：DCE=EBC，由平行四邊形的性質(zhì)知：DCB=BAE，BEC=BCE，即BC=

14、BE=5，AD=5；由切割線定理知：DE=DC2÷DA=，BEC是等腰三角形，是解決此題的關(guān)鍵8、如圖，在ABC中，C=90°，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為（）A、6.4B、3.2C、3.6D、8分析：在直角ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，BC是圓的切線，根據(jù)切割線定理即可求得BP的長解答：解：在直角ABC中，BC2=AB2AC2=10262=64，C=90°，BC是圓O的切線，BC2=BPAB，即64=10BP，BP=6.49、（2003昆明）如圖，O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA和PB的長分別是方程x

15、212x+24=0的兩根，則此圓的直徑為（）A、B、 C、D、分析：由根與系數(shù)的關(guān)系和根據(jù)相交弦定理求解解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1x2=24即PAPB=24設PC=x，則PAPB=x3x即3x2=24，解得x=2，則圓的直徑為4×2=810、（2003福州）如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H，點P是上一點（點P不與A、C兩點重合），連接PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四個結(jié)論：（1）CH2=AHBH；（2）=；（3）AD2=DFDP；（4）EPC=APD，其中正確的個數(shù)是（）A、1B、2 C、3D、4分析：根據(jù)圓周角定理，垂徑

16、定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相交弦定理，采用排除法，逐條分析判斷解答：解：由垂徑定理知，點H是CD的中點，=，故（2）正確；弧AC對的圓周角為ADC，弧AD對的圓周角為APD，ADC=APD，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角知，EPC=ADC，EPC=APD，故（4）正確；由相交弦定理知，CHHD=CH2=AHBH，故（1）正確；連接BD后，可得AD2=AHAB，故（3）不正確，所以選項C正確11、（1998寧波）如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AHBC于H，若PA=1，PB+PC=a（a2），則PH等于（）A、B、C、D、分析：連接OA，構(gòu)造APHOPA，通過相似比

17、可求出PH的長解答：解：如圖，連接OAPA2=PCPB又PC+PB=aBC=PBPC=OA=OC=OP=又APH=OPA，PAO=PHA=90°APHOPA PH=12、（2000安徽）已知：如圖，ABC是O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EFAB，若AB=2，則DE的長是（）A、 B、 C、D、1分析：設AC與EF交于點G，由于EFAB，且D是BC中點，易得DG是ABC的中位線，即DG=1；易知CDG是等腰三角形，可過C作AB的垂線，交EF于M，交AB于N；然后證DE=FG，根據(jù)相交弦定理得BDDC=DEDF，而BD、DC的長易知，DF=1+DE，由此可得到關(guān)于DE的方程

18、，即可求得DE的長解答：解：如圖過C作CNAB于N，交EF于M，則CMEF根據(jù)圓和等邊三角形的性質(zhì)知：CN必過點OEFAB，D是BC的中點，DG是ABC的中位線，即DG=AB=1；易知CGD是等邊三角形，而CMDG，則DM=MG；由于OMEF，由垂徑定理得：EM=MF，故DE=GF弦BC、EF相交于點D，BDDC=DEDF，即DE×（DE+1）=1；解得DE=（負值舍去）點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、三角形中位線定理、相交弦定理等知識，能夠證得DE、GF的數(shù)量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵三、解答題（共10小題，滿分96分）13、（2001北京）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O

19、的直徑，PA是過A點的直線，PAC=B，（1）求證：PA是O的切線；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的長和ECB的正切值分析：（1）要證PA是O的切線，只要證PAO=90°即可，因為AB為直徑，所以有CAB+CBA=90°，又PAC=B，所以CAB+PAC=90°即PA是O的切線（2）連接AD、BD；可設CE=6x，AE=2y，進而根據(jù)已知條件，用x、y表示出DE、BE的長，由相交弦定理，即可求得x、y的比例關(guān)系；易證得AECBED，根據(jù)所得成比例線段，即可求得BD的長，同理可設BC=m，

20、由BECDEA，求得AD的表達式；在RtADB和RtACB中，可由勾股定理分別表示出AB2，即可得到關(guān)于m的方程，從而求出m的值，即BC的長，即可由勾股定理求得AB的長；根據(jù)圓周角定理知：ECB=DAB，因此只需在RtABD中，求出DAB的正切值即可解答：（1）證明：AB是O的直徑，ACB=90°；CAB+CBA=90°；又PAC=B，CAB+PAC=90°；PAB=90°；即PA是O的切線（2）解：設CE=6x，AE=2y，則DE=5x，BE=3y；由相交弦定理，得：AEEB=CEDE，即：2y3y=5x6x，解得：x=y；ACD=ABD，AEC=DE

21、B，AECDEB，則有：；AE=2y=2x，DE=5x，由于AC=8，則BD=4；設BC=m，同理可求得AD=m；AB是直徑，ACB、ADB是直角三角形；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2=AD2+BD2，即：82+m2=（m）2+（4）2，解得m=6；故BC=6，AD=2；AB=10，tanECB=tanDAB=214、如圖，P是平行四邊形ABCD的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE分析：由=，=，即DE2=EFEP，再由圓切線的性質(zhì)即可得出結(jié)論解答：證明：ABCD是平行四邊形，DCAB，ADBC，=，=，=

22、即DE2=EFEP，又EG是圓的切線，EG2=EFEP，即DE=EG15、如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF=4求：（1）cosF的值；（2）BE的長分析：（1）解答此題的關(guān)鍵是由OEFDAF得出AF=2EF，再根據(jù)此數(shù)值求出EF和FO，然后即可求出cosF（2）由BEFEAF，和設BE=k，則AE=2k，即可求得BE解答：解：（1）由OEFDAF，得=，即AF=2EF，又EF2=FBFA=BF2EF，EF=2BF=8，AF=2EF=16，AB=AFBF=12，F(xiàn)O=AB+BF=10cosF=；（2）連接AE，由BE

23、FEAF，得=，設BE=k，則AE=2k，根據(jù)AB是直徑，故AEB=90°，即AE2+BE2=AB2，得（2k）2+k2=122，解得k=，故BE=點評：此題涉及的知識點較多，由相似形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識點，綜合性較強16、（2003紹興）如圖，BC是半圓的直徑，O是圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，ADBC于點D（1）若B=30°，問：AB與AP是否相等？請說明理由；（2）求證：PDPO=PCPB；（3）若BD：DC=4：1，且BC=10，求PC的長分析：（1）可根據(jù)度數(shù)來求，連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出OAAP，根據(jù)圓周角定理可得出A

24、OC=60°，因此P=BC=30°，由此得證（2）我們先看給出的比例關(guān)系，PCPB恰好可以用切割線定理得出他們與PA2相等，那么我們再看PA2和PDPO的關(guān)系，在直角三角形PAO中，根據(jù)三角形PAD和PAO相似，我們可得出PA2=PDPO，那么就得出本題的結(jié)論（3）根據(jù)BD、DC的比例關(guān)系和BC的長，我們可得出BD和DC的長，也就求出了OD的長，要求出CP的長就要知道PB或PO的長，我們可參照（2）中的方法，用三角形OAD和OAP相似得出OA2=ODOP從而求出PO的長，也就可以得出CP的長了解（1）相等理由如下：連接AO，PA是半圓的切線，OAP=90°OA=O

25、B，B=OAB，AOP=2B=60°，APO=30°，B=APO，AB=AP（2）證明：在RtOAP中，ADOP，PA2=PDPOPA是半圓的切線，PA2=PCPB，PDPO=PCPB（3）解：BD：DC=4：1，且BC=10，BD=8，CD=2，OD=3OA2=ODOP，25=3×OP，OP=，PC=17、（2002崇文區(qū)）已知：如圖，PA切O于點A，割線PBC交O于點B、C，PDAB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連接CE并延長CE交O于點F，連接AF（1）求證：PBDPEC；（2）若AB=12，tanEAF=，求O半徑的長分析：（1）欲證兩三角形相似，

26、在此題所給的已知條件中，可運用兩組邊對應成比例，且夾角相等來證明，APE的余弦值在APD和APE中，有兩種表示方法，從而得出一個等積式，根據(jù)切割線定理，再得到一個等積式，從而借助于PA2得到對應線段成比例，進而解答；（2）由（1）得C=90°，所以BF是直徑，得BAF=90°，作OHAB于H點，則HOA=EAF，在HOA中求半徑OA的長解答：（1）證明：PA切O于點A，AOPAPDAB，=cosAPE=PA2=PDPEPBC是O的割線，PA為O切線，PA2=PBPC聯(lián)立，得PDPE=PBPC，即又BPD=EPC，PBDPEC（2）解：連接BF，作OHAB于H點，PBDPEC

27、，C=PDB=90°BF是直徑BAF=90°OHAB，OHAFEAF=HOAtanEAF=tanHOA=AH：OH=2：3又AB=12，AH=6OH=9OA=318、（2003山西）已知：如圖AB是O的直徑，PB切O于點B，PA交O于點C，PF分別交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0（其中m為實數(shù)）的兩根（1）求證：BE=BD（2）若GEEF=6，求A的度數(shù)分析：（1）要證明BE=BD，就要根據(jù)BE、BD恰好是關(guān)于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0（其中m為實數(shù)）的兩根，來判斷，是它的兩根，可見此方程有

28、根，所以求出，必須0利用這求出m的值從而求出這個方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的長度；（2）要求A的度數(shù)就要利用直角三角形的角邊關(guān)系，求出在RtACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值這就要利用題中給出的條件利用相似三角形來求解答：（1）證明：BE、BD是關(guān)于x的方程x26x+（m2+4m+13）=0的兩根，=（6）24（m2+4m+13）=4（m+2）20，m=2，（2分）原方程為x26x+9=0，解之，得x1=x2=3，BE=BD=3；（4分）（2）解：由相交弦定理得AEBE=GEFE=6AE=2（5分）PB切O于點B，AB為O的直徑ABP=ACB=90

29、°又BE=BD=3，1=21=A+4，2=3+5又5=A，3=4（7分）方法一：易證PBDPAE，PDCPEB（9分）（10分）在RtACB中，A=60°；（12分）方法二：易證PBCPAB，PBDPAE（9分）（10分）A=60°（12分）19、如圖，已知AB為O的直徑，C為O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC分析：連接OC，可證明PC為O的切線，則PC2=PFPA，又由PEFPAE，可證明PC=PE解答：證明：連接OC，則OCAD，可證明PC為O的切線，PC2=PFPA，又由PEFPAE，得PE2=

30、PFPA，故PC2=PE2即PC=PE20、（2001四川）已知：如圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的O相交于P、C兩點，連接AC、AP、CP，井延長CP、AP分別交AB、BC、O于E、H、F、三點，連接OF（1）求證：AEPCEA；（2）判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）求BH：HC分析：（1）欲證AEPCEA，可以根據(jù)相似三角形的判斷定理證明PAE=ACE，AEP=AEC得出；（2）判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定證明B=ABC=90°得出ABOF；（3）求BH：HC，由平行線的性質(zhì)，及線段相互間的關(guān)系得出解答：（1）證明：ABCD為正方形，CAB=ACB=45°，DCB=90°，DC是OD的切線，BCE=CAP，PAE=ACE，AEP=AEC，PAEACE；（2）解：CPF=CAP+ACP=CAP+BAP=45°，COF=90°，BOF=90°，BOF=B=90°，ABOF；（3）解：ABOF，BH：OH=AB：OF=2：1，CO=OB=OH+HB，BH：HC=2O