知識講解-《解三角形》全章復(fù)習(xí)鞏固

1、解三角形全章復(fù)習(xí)鞏固 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；2掌握三角形面積公式，并能解決一些簡單的三角形度量問題；3能夠運用正弦定理、余弦定理、面積公式等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題；【知識網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)用解三角形正弦定理面積公式余弦定理【要點梳理】知識點一：三角形中的邊與角之間的關(guān)系約定：的三個內(nèi)角、所對應(yīng)的三邊分別為、.1邊的關(guān)系：(1) 兩邊之和大于第三邊：，；兩邊之差小于第三邊：，；(2) 勾股定理：中，.2角的關(guān)系：中，,=（1）互補關(guān)系：（2）互余關(guān)系：3直角三角形中的邊與角之間的關(guān)系中，（如圖），有：，.知識點二：正弦定理、余弦定

2、理1.正弦定理：在個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等即：（為的外接圓半徑）2. 余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即： 要點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；每個等式可視為一個方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題： 已知兩個角及任意邊，求其他兩邊和另一角； 已知兩邊和其中邊的對角，求其他兩個角及另一邊.（3）利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；已知三角形的三條邊，求其三個角.(4) 利用余弦定理判斷三角形形狀：勾股定理是余弦定理的特殊情況，.在中，所

3、以為銳角；若，同理可得角、為銳角.當(dāng)，都成立時，為銳角三角形在中，若，所以為鈍角，則是鈍角三角形同理：若，則是鈍角三角形且為鈍角； 若，則是鈍角三角形且為鈍角知識點三：解斜三角形的類型1.已知兩角一邊，用正弦定理，有解時，只有一解.2.已知兩邊及其一邊的對角，用正弦定理，有解的情況可分為以下情況，在中，已知和角時，解的情況如下： (1)若A為銳角時：如圖：(2)若A為直角或鈍角時：3.已知三邊，用余弦定理有解時，只有一解.4.已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解.要點詮釋：1在利用正弦定理理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解

4、情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對大角”來判斷解的情況，作出正確取舍.2在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系或邊邊關(guān)系，再用三角變換或代數(shù)式的恒等變換（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項提取公因式，否則會漏掉一種形狀的可能知識點四：三角形面積公式 1（表示邊上的高）；2；知識點五：實際問題中的常用角1. 仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示：2.方位角：一般指正北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角. 方位角的取值范圍為

5、0°360°.如圖，點的方位角是。3. 坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值?！镜湫屠}】類型一、正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用【高清課堂：正、余弦定理及解三角形401223 例1】例1. 在ABC中，AB2，AC3，則BC()A. B. C D. 【思路點撥】畫出示意圖，注意向量數(shù)量積的夾角是.【答案】A【解析】， ,，由余弦定理有，從而BC.【總結(jié)升華】本題主要考查余弦定理以及三角形中有關(guān)的向量和三角函數(shù)的應(yīng)用.舉一反三：【變式1】(2014 北京高考)在ABC中，a1，b2，則c

6、；sinA【答案】在ABC中，a1，b2，由余弦定理得：c2a2b22abcosC1414，即c2；，C為三角形內(nèi)角，由正弦定理得：故答案為：2；【變式2】在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c。若，則A=（ ）A30° B60° C120° D150°【答案】A【解析】，在ABC中，A=30°.例2. 在中，試確定滿足下列條件的三角形的形狀。（1）； （2）；（3），且.【思路點撥】（1）考慮用正弦定理將邊化為角；（2）正弦、余弦定理都可以選用；（3）由可以先化簡，再考慮用余弦定理.【解析】（1）由得，整理得：即，同理可得，所以為等

7、邊三角形.（2）方法一：化邊為角由正弦定理得：即，即 或，即或故為等腰三角形或直角三角形。方法二：化角為邊由余弦定理得整理得：，即或故為等腰三角形或直角三角形。（3） 即, 又 ，即即 故是正三角形.【總結(jié)升華】依據(jù)正、余弦定理定理的結(jié)構(gòu)特點，若在式子中出現(xiàn)的為與邊相關(guān)的一次式，則一般多用正弦定理，如果利用余弦定理，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，則需要有較高的恒等變形能力（比如第2小題）；若在式子中出現(xiàn)的為與邊相關(guān)的二次式，則一般多用余弦定理.舉一反三：【變式1】已知ABC中,bsinB=csinC,且,試判斷三角形的形狀【答案】為等腰直角三角形【解析】bsinB=csinC,由正弦定理得 sin

8、B=sinC， sinB=sinC B=C由 得 三角形為等腰直角三角形【變式2】在ABC中，若，則ABC的形狀是（ ）A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能確定 D等腰三角形 【答案】B【解析】 類型二、有關(guān)解三角形的綜合應(yīng)用例3. 在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，b=2，求ABC的面積S.【思路點撥】（1）利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，整理后求得sinC與sinA的關(guān)系式，則的值可得；（2）先通過余弦定理可求得a和c的關(guān)系式，同時利用（1）中的結(jié)論和正弦定理求得a和c的另一個關(guān)系式，最后聯(lián)立求得a和c，利用三角形面積公式即可得

9、面積S.【解析】（1）由正弦定理，設(shè)，則，所以.即，化簡可得sin（A+B）=2sin（B+C）.又A+B+C=，所以sinC=2sinA.因此.（2）由得c=2a.由余弦定理b2=a2+c22ac cosB及，b=2，得，解得a=1，從而c=2.又因為，且0B，所以.因此.【總結(jié)升華】處理三角形中的三角函數(shù)求值時，要注意角的范圍與三角函數(shù)符號之間的聯(lián)系與影響.本題主要考查了解三角形和三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本分析能力及計算能力.舉一反三：【變式1】在中，所對的邊長分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值【解析】由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°

10、B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而【變式2】中， ，則的周長為（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 .例4. (2014 遼寧高考)在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且ac，已知2，cosB，b3，求：()a和c的值；()cos(BC)的值【答案】() a3，c2，()【思路點撥】（1）由平面向量的數(shù)量積，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）畫出簡易圖，將已知條件在圖上標(biāo)出來，運用正弦定理求得角的正弦值.【解析】()2，cosB，cacosB2，即ac6，b3，由余弦定理得：b2a2c22accosB，即9a2c24，a2c213，聯(lián)立得：a3，c2；

11、()在ABC中，sinB，由正弦定理得：sinCsinB，abc，C為銳角，cosC，則cos(BC)cosBcosCsinBsinC×【總結(jié)升華】解答該類題目要注意以下幾個方面：（1）借助圖形標(biāo)注已知和所求；（2）利用三角形的性質(zhì)把相關(guān)條件化歸到同一個三角形中；（3）注意靈活利用正、余弦定理，實施邊、角互化.舉一反三：【高清課堂：正、余弦定理及解三角形401223 例5】【變式】在ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且 （）求A的大小；（）求的最大值.【答案】（），（）1例5. 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個觀測點. 現(xiàn)位于A點北偏東45

12、6;，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里小時，該救援船到達(dá)D點需要多少時間？【思路點撥】在DAB中，由正弦定理得，由此可求得；然后在DAB中，由余弦定理可求得CD；最后根據(jù)時間=路程速度，即可求得該救援船到達(dá)D點需要的時間. 準(zhǔn)確找出題目中的方向角是解題的關(guān)鍵之處.【解析】由題意知（海里），DBA=90°60°=30°，DAB=90°45°=45°，ADB=180°(45°+30°)=105°，在DAB中，由正弦定理得，（海里）.又DBC=DBA+ABC=30°+(90°60°)=60°，海里，在DBC中，由余弦定理得，CD=30（海里），則需要的時間（小時）.【總結(jié)升華】對圖形進(jìn)行有效的分析，