第7講-二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

1、第7講二項(xiàng)分布及其應(yīng)用最新考綱1.理解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念；2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.知 識(shí) 梳 理1.條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0P(B|A)1；(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2.事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，則A與、與B、與也都相互獨(dú)立，P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)

2、.3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中Ai(i1，2，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An).(2)二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率.診 斷 自 測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B).()(2)P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率，一定有P(AB)

3、P(A)·P(B).()(3)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.()解析對(duì)于(2)，若A，B獨(dú)立，則P(AB)P(A)·P(B)，若A，B不獨(dú)立，則P(AB)P(A)·P(B|A)，故(2)不正確.答案(1)(2)×(3)2.(選修23P54T2改編)已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)“第一次拿到

4、白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，依題意P(A)，P(AB)，故P(B|A).答案B3.設(shè)隨機(jī)變量XB，則P(X3)等于()A. B. C. D.解析XB，由二項(xiàng)分布可得，P(X3)C·.答案A4.兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為()A. B.C. D.解析設(shè)事件A：甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品；事件B：乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品，且A，B相互獨(dú)立，則P(A)，P(B)，所以這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)××.答案B

5、5.(2017·嘉興七校聯(lián)考)天氣預(yù)報(bào)，端午節(jié)假期甲、乙、丙三地降雨的概率分別是0.9、0.8、0.75，若甲、乙、丙三地是否降雨相互之間沒有影響，則其中至少一個(gè)地方降雨的概率為_.解析甲、乙、丙三地降雨的概率分別是0.9、0.8、0.75，甲、乙、丙三地不降雨的概率分別是0.1、0.2、0.25，甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.1×0.2×0.250.005，故至少一個(gè)地方降雨的概率為10.0050.995.答案0.9956.連續(xù)擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子3次，各次互不影響，則恰好有一次出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為_.解析擲一次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為P，所以所求概率為PC

6、3;·.答案考點(diǎn)一條件概率【例1】 (1)從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A：“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B：“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)()A. B. C. D.(2)(2014·全國(guó)卷)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45解析(1)法一事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4個(gè).事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2，4)一種情形，即n(AB)1.故由

7、古典概型概率P(B|A).法二P(A)，P(AB).由條件概率計(jì)算公式，得P(B|A).(2)記事件A表示“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，事件B表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，P(A)0.75，P(AB)0.6.由條件概率，得P(B|A)0.8.答案(1)B(2)A規(guī)律方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，這是求條件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).【訓(xùn)練1】 (2016·唐山二模)已知甲在上班途中要經(jīng)過兩個(gè)路口，在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5，

8、兩個(gè)路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4，則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為()A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9解析設(shè)“第一個(gè)路口遇到紅燈”為事件A，“第二個(gè)路口遇到紅燈”為事件B，則P(A)0.5，P(AB)0.4，則P(B|A)0.8.答案C考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的概率【例2】 (2017·東陽調(diào)研)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)

9、可獲利潤(rùn)100萬元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列.解記E甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功，由題設(shè)知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E與F，E與，與F，與都相互獨(dú)立.(1)記H至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，則，于是P()P()P()×，故所求的概率為P(H)1P()1.(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬元)，則X的可能取值為0，100，120，220，因?yàn)镻(X0)P(EF)×，P(X100)P()×，P(X120)P(F)×，P(X220)P(E)×.故所求的分布列為X0100120220P規(guī)律方法(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構(gòu)

10、成，將其轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算. 【訓(xùn)練2】 為了迎接2017在德國(guó)波恩舉行的聯(lián)合國(guó)氣候大會(huì)，某社區(qū)舉辦“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問答比賽活動(dòng).某場(chǎng)比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問題，已知甲家庭回答對(duì)這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答對(duì)的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響.(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答對(duì)這道題的概率；(2)求甲、乙、丙

11、三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答對(duì)這道題的概率.解(1)記“甲答對(duì)這道題”、“乙答對(duì)這道題”、“丙答對(duì)這道題”分別為事件A，B，C，則P(A)，且有即所以P(B)，P(C).(2)有0個(gè)家庭回答對(duì)的概率為P0P()P()·P()·P()××，有1個(gè)家庭回答對(duì)的概率為P1P(ABC)××××××，所以不少于2個(gè)家庭回答對(duì)這道題的概率為P1P0P11.考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例3】 (2015·湖南卷)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、

12、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列.解(1)記事件A1為“從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球”，A2為“從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球”，B為“顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)”，則表示“顧客抽獎(jiǎng)1次沒有獲獎(jiǎng)”.由題意A1與A2相互獨(dú)立，則1與2相互獨(dú)立，且1·2，因?yàn)镻(A1)，P(A2)，所以P()P(1·2)·，故所求事件的概率P(B)1P()1.

13、(2)設(shè)“顧客抽獎(jiǎng)一次獲得一等獎(jiǎng)”為事件C，由P(C)P(A1·A2) P(A1)·P(A2)，顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則XB，于是P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列為X0123P規(guī)律方法利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.【訓(xùn)練3】 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如

14、下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率.解(1)設(shè)“每盤游戲中擊鼓三次后，出現(xiàn)音樂的次數(shù)為”.依題意，的取值可能為0，1，2，3，且B，則P(k)CC·.又每盤游戲得分X的取值為10，20，100，200.根據(jù)題意則P(X10)P(1)C，P(X20)P(2)C，P(X100

15、)P(3)C，P(X200)P(0)C.所以X的分布列為X1020100200P(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以，“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1P(A1A2A3)11.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.思想方法1.古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法.2.相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響，計(jì)算公式為P(AB)P(A)P(B).互斥事件是指在同一試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生，計(jì)算公式為P(AB)P(A)P(B).3.二項(xiàng)分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實(shí)際應(yīng)用和理論分析中都有重要的地位.(1)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有二：其一是獨(dú)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.(2)對(duì)于二項(xiàng)分布，如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)