數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展門(mén)頭溝章建躍講座

1、一、全面深化課改的新要求一、全面深化課改的新要求國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（20102020年）年）的頒布標(biāo)志著我國(guó)課程改革進(jìn)入了新階段。的頒布標(biāo)志著我國(guó)課程改革進(jìn)入了新階段。 全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)，提出，提出“大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把培育和踐行大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，把培育和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀融入國(guó)民教育全過(guò)程社會(huì)主義核心價(jià)值觀融入國(guó)民教育全過(guò)程”的新要求的新要求 。著力推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革著力推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研究制訂學(xué)生

2、發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)學(xué)生的成長(zhǎng)規(guī)律和社會(huì)對(duì)人才的需求，把對(duì)學(xué)生德根據(jù)學(xué)生的成長(zhǎng)規(guī)律和社會(huì)對(duì)人才的需求，把對(duì)學(xué)生德智體美全面發(fā)展總體要求和社會(huì)主義核心價(jià)值觀的有關(guān)內(nèi)容具體化、細(xì)化，深入回答智體美全面發(fā)展總體要求和社會(huì)主義核心價(jià)值觀的有關(guān)內(nèi)容具體化、細(xì)化，深入回答“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人培養(yǎng)人”的問(wèn)題。教育部組織研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和的問(wèn)題。教育部組織研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛(ài)、家國(guó)情懷，更加注重自主發(fā)展、合社會(huì)發(fā)展需要的必

3、備品格和關(guān)鍵能力，突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛(ài)、家國(guó)情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐。作參與、創(chuàng)新實(shí)踐。貫徹德育為先、能力為重、全面發(fā)展的教育理念，完善符合素質(zhì)教育和時(shí)代要求的課程教材體系，深化人貫徹德育為先、能力為重、全面發(fā)展的教育理念，完善符合素質(zhì)教育和時(shí)代要求的課程教材體系，深化人才培養(yǎng)模式改革，為各級(jí)各類(lèi)人才的成長(zhǎng)提供平臺(tái)和良好環(huán)境；在教與學(xué)的方式上，要進(jìn)一步推廣自主、才培養(yǎng)模式改革，為各級(jí)各類(lèi)人才的成長(zhǎng)提供平臺(tái)和良好環(huán)境；在教與學(xué)的方式上，要進(jìn)一步推廣自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式與啟發(fā)、討論、參與的教學(xué)方式，特別是要堅(jiān)持啟發(fā)式教學(xué)這一優(yōu)秀傳統(tǒng)，增強(qiáng)育合作、探究的學(xué)習(xí)方式與啟發(fā)、

4、討論、參與的教學(xué)方式，特別是要堅(jiān)持啟發(fā)式教學(xué)這一優(yōu)秀傳統(tǒng)，增強(qiáng)育人的針對(duì)性和實(shí)效性；要改變重智輕德、單純追求分?jǐn)?shù)和升學(xué)率的現(xiàn)狀，在增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感、提高人的針對(duì)性和實(shí)效性；要改變重智輕德、單純追求分?jǐn)?shù)和升學(xué)率的現(xiàn)狀，在增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感、提高學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力上狠下功夫。學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力上狠下功夫。以考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率為唯一衡量標(biāo)準(zhǔn)的教育發(fā)展模式已經(jīng)走到了盡頭。以考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率為唯一衡量標(biāo)準(zhǔn)的教育發(fā)展模式已經(jīng)走到了盡頭。回歸數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)期利益，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值觀回歸數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目，著眼于學(xué)生的長(zhǎng)期利益，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量

5、，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，資源，以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人才。成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的人才。 人類(lèi)文明進(jìn)步的基本面是如何善用腦力去人類(lèi)文明進(jìn)步的基本面是如何善用腦力去“認(rèn)識(shí)問(wèn)題與解決問(wèn)題認(rèn)識(shí)問(wèn)題與解決問(wèn)題”。基礎(chǔ)教育的主要任務(wù)其實(shí)就是要教導(dǎo)、培訓(xùn)年輕一代成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、善于解決問(wèn)題的人才基礎(chǔ)教育的主要任務(wù)其實(shí)就是要教導(dǎo)、培訓(xùn)年輕一代成為善于認(rèn)識(shí)問(wèn)題、善于解決問(wèn)題的人才，也，也是基礎(chǔ)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的主題與

6、數(shù)學(xué)教育的主題與重任重任所在所在。二、當(dāng)前課堂教學(xué)的一些現(xiàn)象二、當(dāng)前課堂教學(xué)的一些現(xiàn)象課堂教學(xué)目標(biāo)的定位不準(zhǔn)確，把課堂教學(xué)目標(biāo)的定位不準(zhǔn)確，把 “三維目標(biāo)三維目標(biāo)”當(dāng)成當(dāng)成課堂教學(xué)目標(biāo)。課堂教學(xué)目標(biāo)。內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源挖掘得不夠。內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源挖掘得不夠。缺乏內(nèi)容為載體，過(guò)程中滲透思想方法、培養(yǎng)思維能力的教學(xué)措施。缺乏內(nèi)容為載體，過(guò)程中滲透思想方法、培養(yǎng)思維能力的教學(xué)措施。不用教材，濫用教輔，誤導(dǎo)教學(xué)。不用教材，濫用教輔，誤導(dǎo)教學(xué)。教學(xué)的投機(jī)性，走捷徑的企圖明顯，試圖通過(guò)大量練習(xí)的高分。教學(xué)的投機(jī)性，走捷徑的企圖明顯，試圖通過(guò)大量練習(xí)的高分。需要商榷的一些問(wèn)題需要商榷的一些問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

7、案泛濫：擾亂了導(dǎo)學(xué)案泛濫：擾亂了“預(yù)設(shè)預(yù)設(shè)”和和“生成生成”的關(guān)系。的關(guān)系。采用課前導(dǎo)學(xué)案已經(jīng)成為常態(tài)，造成預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)過(guò)于充分，生成的環(huán)節(jié)過(guò)于順暢，教學(xué)的重心過(guò)于前移，采用課前導(dǎo)學(xué)案已經(jīng)成為常態(tài)，造成預(yù)設(shè)的環(huán)節(jié)過(guò)于充分，生成的環(huán)節(jié)過(guò)于順暢，教學(xué)的重心過(guò)于前移，在某種程度上掩蓋了學(xué)生獨(dú)立思考和當(dāng)堂訓(xùn)練落實(shí)的情況，造成課堂練習(xí)的進(jìn)程太快，擠壓了學(xué)生思考、在某種程度上掩蓋了學(xué)生獨(dú)立思考和當(dāng)堂訓(xùn)練落實(shí)的情況，造成課堂練習(xí)的進(jìn)程太快，擠壓了學(xué)生思考、交流的空間交流的空間導(dǎo)學(xué)案加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)導(dǎo)學(xué)案加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān)小組合作學(xué)習(xí)該怎么做？小組合作學(xué)習(xí)該怎么做？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首先需要獨(dú)立思考！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首先需要獨(dú)立思

8、考！翻轉(zhuǎn)課堂該怎么看？什么地方用？什么時(shí)候用？怎么用？翻轉(zhuǎn)課堂該怎么看？什么地方用？什么時(shí)候用？怎么用？數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，翻轉(zhuǎn)課堂能用于翻轉(zhuǎn)課堂能用于“教思維教思維”嗎？嗎？三、我國(guó)數(shù)學(xué)教育的問(wèn)題與思考三、我國(guó)數(shù)學(xué)教育的問(wèn)題與思考1.課程內(nèi)容與結(jié)構(gòu)課程內(nèi)容與結(jié)構(gòu)課程內(nèi)容，一是比較龐雜、臃腫，基礎(chǔ)性不突出；二是開(kāi)放性不夠，對(duì)學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)思維方式不利；課程內(nèi)容，一是比較龐雜、臃腫，基礎(chǔ)性不突出；二是開(kāi)放性不夠，對(duì)學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)思維方式不利；三是不能反映信息化社會(huì)的需求以與技術(shù)環(huán)境下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)。三是不能反映信息化社會(huì)的需求以與

9、技術(shù)環(huán)境下數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)。課程結(jié)構(gòu)，模塊化破壞了知識(shí)的系統(tǒng)性，削弱了知識(shí)的邏輯聯(lián)系性，降低了知識(shí)的自我生長(zhǎng)能力。課程結(jié)構(gòu)，模塊化破壞了知識(shí)的系統(tǒng)性，削弱了知識(shí)的邏輯聯(lián)系性，降低了知識(shí)的自我生長(zhǎng)能力。2.教學(xué)素材的選擇和組織教學(xué)素材的選擇和組織理想：反映知識(shí)的背景和應(yīng)用（數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系性），關(guān)注真實(shí)性問(wèn)題，以開(kāi)放的形理想：反映知識(shí)的背景和應(yīng)用（數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯，與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系性），關(guān)注真實(shí)性問(wèn)題，以開(kāi)放的形式，解決的途徑多樣化，答案也可以不唯一。式，解決的途徑多樣化，答案也可以不唯一?，F(xiàn)實(shí)：形式化的學(xué)習(xí)材料，標(biāo)準(zhǔn)化的答案。雖有一題多解，但往往只是技巧上的變化。唯一的目的是應(yīng)對(duì)現(xiàn)實(shí)

10、：形式化的學(xué)習(xí)材料，標(biāo)準(zhǔn)化的答案。雖有一題多解，但往往只是技巧上的變化。唯一的目的是應(yīng)對(duì)高考的功利訴求。高考的功利訴求。3學(xué)與教的過(guò)程學(xué)與教的過(guò)程理想：注重調(diào)動(dòng)所有感官，動(dòng)手觸摸、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考，通過(guò)豐富多彩的學(xué)習(xí)活動(dòng)、長(zhǎng)時(shí)間的理想：注重調(diào)動(dòng)所有感官，動(dòng)手觸摸、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考，通過(guò)豐富多彩的學(xué)習(xí)活動(dòng)、長(zhǎng)時(shí)間的“悟悟”，然后是有所發(fā)現(xiàn)。然后是有所發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)實(shí)：學(xué)習(xí)過(guò)程單一，學(xué)習(xí)活動(dòng)缺乏靈活性，現(xiàn)實(shí)：學(xué)習(xí)過(guò)程單一，學(xué)習(xí)活動(dòng)缺乏靈活性，“悟悟”的過(guò)程太短，甚至沒(méi)有。直接告訴知識(shí)后，進(jìn)行大運(yùn)的過(guò)程太短，甚至沒(méi)有。直接告訴知識(shí)后，進(jìn)行大運(yùn)動(dòng)量操練動(dòng)量操練可能成為可能成為“熟練工熟練工”，但肯定成不

11、了，但肯定成不了“領(lǐng)導(dǎo)者領(lǐng)導(dǎo)者”、科學(xué)家、思想家等等。、科學(xué)家、思想家等等。4學(xué)習(xí)態(tài)度學(xué)習(xí)態(tài)度理想：對(duì)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈興趣，主動(dòng)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)一種專(zhuān)注于數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣。理想：對(duì)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈興趣，主動(dòng)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)一種專(zhuān)注于數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣?，F(xiàn)實(shí)：因?yàn)楦呖家妓灾荒苡仓^皮學(xué)現(xiàn)實(shí)：因?yàn)楦呖家妓灾荒苡仓^皮學(xué)許多學(xué)生憎恨數(shù)學(xué)。許多學(xué)生憎恨數(shù)學(xué)?！捌鋵?shí)大多數(shù)人恨的不是數(shù)學(xué)，而是中學(xué)老師教給你的那門(mén)叫做數(shù)學(xué)的科目其實(shí)大多數(shù)人恨的不是數(shù)學(xué)，而是中學(xué)老師教給你的那門(mén)叫做數(shù)學(xué)的科目”。丘成桐說(shuō)，學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)是丘成桐說(shuō)，學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)是“老師講得不好！老師講得不好！”他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是教師，這是世界性的共識(shí)。他認(rèn)為

12、數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是教師，這是世界性的共識(shí)。5學(xué)習(xí)結(jié)果學(xué)習(xí)結(jié)果理想：養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和能力；知識(shí)成為獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題時(shí)的智慧，成為認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的利器。理想：養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和能力；知識(shí)成為獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題時(shí)的智慧，成為認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的利器?，F(xiàn)實(shí)：習(xí)慣于依賴，解老師給的、各種教輔中的題目，缺乏獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題的勇氣和能力，現(xiàn)實(shí)：習(xí)慣于依賴，解老師給的、各種教輔中的題目，缺乏獨(dú)立面對(duì)問(wèn)題的勇氣和能力，“知識(shí)知識(shí)”量大，量大，但缺乏靈活性、變通性，雜亂的知識(shí)堆砌成為解決問(wèn)題包袱。但缺乏靈活性、變通性，雜亂的知識(shí)堆砌成為解決問(wèn)題包袱。 如何通過(guò)改革，改變現(xiàn)狀？如何通過(guò)改革，改變現(xiàn)狀？我們應(yīng)該從哪些方面做

13、出努力？我們應(yīng)該從哪些方面做出努力？教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的三大基石教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的三大基石理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)?！叭齻€(gè)理解三個(gè)理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。特別是，特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。的

14、理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。四、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)四、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)包括知識(shí)目標(biāo)、知識(shí)價(jià)值、知識(shí)樂(lè)趣、知識(shí)熱情等，它是人們?cè)谥R(shí)生產(chǎn)過(guò)程中的目標(biāo)追求與價(jià)值取向。包括知識(shí)目標(biāo)、知識(shí)價(jià)值、知識(shí)樂(lè)趣、知識(shí)熱情等，它是人們?cè)谥R(shí)生產(chǎn)過(guò)程中的目標(biāo)追求與價(jià)值取向。知識(shí)知識(shí)意蘊(yùn)意蘊(yùn)是啟動(dòng)、維持與強(qiáng)化認(rèn)識(shí)活動(dòng)，推動(dòng)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在力量與根本動(dòng)力。是啟動(dòng)、維持與強(qiáng)化認(rèn)識(shí)活動(dòng)，推動(dòng)知識(shí)產(chǎn)生的內(nèi)在力量與根本動(dòng)力。不了解知識(shí)不了解知識(shí)意蘊(yùn)意蘊(yùn)，就不，就不可能可能了解學(xué)科，對(duì)這個(gè)學(xué)科的認(rèn)識(shí)就不會(huì)達(dá)到一定的高度，很難在教學(xué)中提出一些了解學(xué)科，對(duì)這個(gè)學(xué)科的認(rèn)識(shí)就不會(huì)達(dá)到一定的高度，很難在教學(xué)中提出一些本原性的

15、問(wèn)題。本原性的問(wèn)題。理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提。理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意蘊(yùn)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提。從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā)從培養(yǎng)創(chuàng)新人才出發(fā), ,應(yīng)緊緊圍繞應(yīng)緊緊圍繞“數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系”、“空間形式空間形式”、“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”和和“公理化思想公理化思想”這四條這四條主線主線, ,讓讓學(xué)生學(xué)生有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問(wèn)題有機(jī)會(huì)體會(huì)和認(rèn)識(shí)一些數(shù)學(xué)本源性問(wèn)題，例如引發(fā)某個(gè)數(shù)學(xué)分支創(chuàng)立的基本問(wèn)題, ,創(chuàng)立過(guò)程中創(chuàng)立過(guò)程中出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想出現(xiàn)的瓶頸和突破的關(guān)鍵思想, ,以與從定性到精確定量的基本過(guò)程等。以與從定性到精確定量的基本過(guò)程等。數(shù)學(xué)對(duì)象

16、是怎么抽象出來(lái)的；面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，如何展開(kāi)研究；如何用已有知識(shí)去解決問(wèn)題，發(fā)展新知數(shù)學(xué)對(duì)象是怎么抽象出來(lái)的；面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，如何展開(kāi)研究；如何用已有知識(shí)去解決問(wèn)題，發(fā)展新知識(shí)；等等。識(shí)；等等。例例 幾個(gè)幾個(gè)“簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單”概念的理解概念的理解空間中的空間中的“位置位置”差異用什么表示？差異用什么表示？空間中的空間中的“方向方向”差異用什么表示？差異用什么表示？如何刻畫(huà)直線的如何刻畫(huà)直線的“直直”？如何刻畫(huà)平面的如何刻畫(huà)平面的“平平”？“位置位置”是宇宙空間的最基本要素，位置用是宇宙空間的最基本要素，位置用“點(diǎn)點(diǎn)”表示；表示；線段是連接兩點(diǎn)的最短通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用線段的線段是連接兩點(diǎn)的最短

17、通路，兩個(gè)點(diǎn)的位置差異用線段的“長(zhǎng)度長(zhǎng)度”表示；表示；兩個(gè)兩個(gè)“方向方向”的差異用的差異用“角度角度”表示；表示；直線的直線的“直直”用點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系刻畫(huà)；用點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系刻畫(huà)；平面的平面的“平平”用點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系來(lái)刻畫(huà)。用點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系來(lái)刻畫(huà)。理解數(shù)學(xué)的三重境界理解數(shù)學(xué)的三重境界知其然知其然知其所以然知其所以然何以知其所以然何以知其所以然五、對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的認(rèn)識(shí)五、對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的認(rèn)識(shí)思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概括的反映，包括邏輯思維是指理性認(rèn)識(shí)，或指理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，它是人腦對(duì)客觀事物能動(dòng)的、間接的和概括的反映，包括邏輯思

18、維和形象思維，但通常是指邏輯思維。思維和形象思維，但通常是指邏輯思維。思維的工具是語(yǔ)言；思維的工具是語(yǔ)言；思維的形式是概念、判斷、推理等；思維的形式是概念、判斷、推理等；思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。思維的方法是抽象、歸納、演繹、分析和綜合等。一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的的基本結(jié)構(gòu)：定義概念基本結(jié)構(gòu)：定義概念推導(dǎo)性質(zhì)推導(dǎo)性質(zhì)建立聯(lián)系建立聯(lián)系實(shí)踐應(yīng)用。實(shí)踐應(yīng)用。先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)先從數(shù)、形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性，定義概念從而明確數(shù)學(xué)對(duì)象；探索對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作

19、用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)境等之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系而形成知識(shí)體系；應(yīng)用所得知識(shí)解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問(wèn)題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過(guò)程。外的問(wèn)題，并深化認(rèn)識(shí)、拓展新知。這是一個(gè)螺旋上升、逐漸深入的過(guò)程。兩個(gè)方向（方面）兩個(gè)方向（方面）數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面數(shù)學(xué)思維有兩個(gè)相輔相成的方向或方面歸納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)知過(guò)程中，一歸納和演繹。在對(duì)某一數(shù)學(xué)領(lǐng)域或?qū)ο蟮奶剿髡J(rèn)知過(guò)程中，一方面要從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數(shù)理方面要

20、從具體事例的實(shí)驗(yàn)、分析中歸納其本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)猜想、命題等；另一方面又要用邏輯推理、數(shù)理分析去研討業(yè)已認(rèn)知的本質(zhì)，證明猜想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同分析去研討業(yè)已認(rèn)知的本質(zhì)，證明猜想，發(fā)現(xiàn)新的性質(zhì)，認(rèn)知相關(guān)概念的聯(lián)系性和一致性，直至形成不同學(xué)科統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不到的效果學(xué)科統(tǒng)一性的認(rèn)知。數(shù)學(xué)思維中，歸納和演繹的配合，往往能相互為用、相得益彰，產(chǎn)生意想不到的效果。三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言數(shù)學(xué)思維的工具數(shù)學(xué)思維的工具：符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和普通文字語(yǔ)言。符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和普通文字語(yǔ)言。數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式

21、，它使人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果。數(shù)學(xué)符號(hào)是內(nèi)涵豐富的的“信息塊信息塊”，因而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言能縮短數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使之變得，因而成為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的理想載體。另外，數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言能縮短數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使之變得簡(jiǎn)約、精練。簡(jiǎn)約、精練。四種形式四種形式數(shù)學(xué)思維的基本形式數(shù)學(xué)思維的基本形式：邏輯推理邏輯推理代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算幾何直觀幾何直觀數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)邏輯推理是數(shù)學(xué)思維的主要形式，是

22、從一些數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、定理出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出結(jié)論的思維過(guò)程。程。認(rèn)識(shí)問(wèn)題的要點(diǎn)在于把好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；而解決問(wèn)題的任務(wù)則是運(yùn)用認(rèn)識(shí)問(wèn)題的要點(diǎn)在于把好本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；而解決問(wèn)題的任務(wù)則是運(yùn)用“已知已知”之性質(zhì)去推論之性質(zhì)去推論“待知待知”之之性質(zhì)。概括言之，乃是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。性質(zhì)。概括言之，乃是在性質(zhì)層面的一種以簡(jiǎn)馭繁。而邏輯推理就是這種以簡(jiǎn)馭繁的實(shí)踐與步驟。“代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算代數(shù)學(xué)的根源在于代數(shù)運(yùn)算”，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的基本思想；數(shù)與其運(yùn)算，有效有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律去解決問(wèn)題是代數(shù)學(xué)的基本思想；數(shù)與其運(yùn)算是一

23、切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類(lèi)比而發(fā)現(xiàn)需研究的問(wèn)題和方法，是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方式；代數(shù)運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的模范，與它類(lèi)比而發(fā)現(xiàn)需研究的問(wèn)題和方法，是基本而重要的數(shù)學(xué)思維方式；代數(shù)運(yùn)算的過(guò)程和方法可以容易地發(fā)展成高層次函數(shù)觀點(diǎn)。的過(guò)程和方法可以容易地發(fā)展成高層次函數(shù)觀點(diǎn)。幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探幾何直觀是利用幾何概念抽象空間事物獲得幾何圖形，用圖形描述事物的結(jié)構(gòu)特征，用點(diǎn)線面體的關(guān)系探索事物的關(guān)系，乃至用圖形與其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)系，幾何直觀是展開(kāi)邏輯推理的思維基礎(chǔ)索事物的關(guān)系，乃至用圖形與其關(guān)系認(rèn)知、表達(dá)事物的本質(zhì)和關(guān)

24、系，幾何直觀是展開(kāi)邏輯推理的思維基礎(chǔ)。用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系，把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量結(jié)果，這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系，把幾何中的定性結(jié)果轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的定量結(jié)果，這是數(shù)學(xué)思維的變通、靈活性的表現(xiàn)，坐標(biāo)法、函數(shù)與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。的表現(xiàn)，坐標(biāo)法、函數(shù)與圖像（曲線）、三角函數(shù)與圓、向量法與幾何等都是數(shù)形結(jié)合的思維產(chǎn)物。N N種因地制宜的具體方法種因地制宜的具體方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法針對(duì)具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方法：觀察、假說(shuō)、實(shí)驗(yàn)法、確證等科學(xué)思維方法在數(shù)學(xué)研究中有用武之地觀察、假說(shuō)、實(shí)驗(yàn)法、確證等科學(xué)思維方法在數(shù)

25、學(xué)研究中有用武之地；觀察引領(lǐng)思考，事物現(xiàn)象的因果關(guān)系、事物的特征和構(gòu)成要素、以與如何介入其中創(chuàng)造出我們想要的變化觀察引領(lǐng)思考，事物現(xiàn)象的因果關(guān)系、事物的特征和構(gòu)成要素、以與如何介入其中創(chuàng)造出我們想要的變化等，都能從觀察中獲得啟示；等，都能從觀察中獲得啟示；綜合法與分析法、順證法與反證法，以與數(shù)學(xué)歸納法等等是常用的思維方法。綜合法與分析法、順證法與反證法，以與數(shù)學(xué)歸納法等等是常用的思維方法。數(shù)學(xué)思維方法數(shù)學(xué)思維方法一個(gè)結(jié)構(gòu)一個(gè)結(jié)構(gòu)兩個(gè)方向兩個(gè)方向三種語(yǔ)言三種語(yǔ)言四種形式四種形式演化出演化出千變?nèi)f化、賞心悅目、震撼心靈千變?nèi)f化、賞心悅目、震撼心靈的思維方法。的思維方法。數(shù)學(xué)思維是人類(lèi)智慧的最精彩綻

26、放。數(shù)學(xué)思維是人類(lèi)智慧的最精彩綻放。六、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性六、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性整體是事物的一種真實(shí)存在形式。整體是事物的一種真實(shí)存在形式。數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上識(shí)的前后邏輯關(guān)系上縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系?？v向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教。如何處理好這種矛盾

27、，是教學(xué)中的核心問(wèn)題。核心問(wèn)題。例例 從數(shù)與其運(yùn)算看數(shù)學(xué)的整體性從數(shù)與其運(yùn)算看數(shù)學(xué)的整體性在數(shù)系的發(fā)展過(guò)程中，正整數(shù)與人的直覺(jué)一致，天經(jīng)地義；在數(shù)系的發(fā)展過(guò)程中，正整數(shù)與人的直覺(jué)一致，天經(jīng)地義；0、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)取得、負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)取得“合法合法”地位，都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)、曲折而相似的過(guò)程。地位，都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)、曲折而相似的過(guò)程。讓學(xué)生返璞歸真地?fù)褚?jīng)歷這個(gè)過(guò)程，對(duì)他們理解數(shù)學(xué)的整體性、感受數(shù)學(xué)研究的讓學(xué)生返璞歸真地?fù)褚?jīng)歷這個(gè)過(guò)程，對(duì)他們理解數(shù)學(xué)的整體性、感受數(shù)學(xué)研究的“味道味道”很有好處，自很有好處，自然地，這也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的

28、能力的極好途徑。然地，這也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高他們發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力的極好途徑。數(shù)系擴(kuò)充的基本思想是什么數(shù)系擴(kuò)充的基本思想是什么數(shù)學(xué)推廣過(guò)程的一個(gè)重要特性是：使得在原來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。數(shù)學(xué)推廣過(guò)程的一個(gè)重要特性是：使得在原來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。數(shù)系擴(kuò)充：引入一種新數(shù)（如何引入）；定義其運(yùn)算（如何定義）；滿足怎樣的運(yùn)算律。數(shù)系擴(kuò)充：引入一種新數(shù)（如何引入）；定義其運(yùn)算（如何定義）；滿足怎樣的運(yùn)算律。擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變。擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變。“有理數(shù)有理數(shù)”的整體結(jié)構(gòu)的整體結(jié)構(gòu)背景

29、（現(xiàn)實(shí)需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）背景（現(xiàn)實(shí)需要、數(shù)學(xué)發(fā)展的需要）定義、表示、分類(lèi)定義、表示、分類(lèi)性質(zhì)性質(zhì)運(yùn)算運(yùn)算聯(lián)系和應(yīng)用。聯(lián)系和應(yīng)用。研究一個(gè)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本套路。研究一個(gè)數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本套路。“數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入數(shù)系擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”的教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)設(shè)計(jì)例例 解析幾何中如何體現(xiàn)坐標(biāo)法思想解析幾何中如何體現(xiàn)坐標(biāo)法思想解析幾何是方法論；解析幾何是方法論；其整體性就在于用坐標(biāo)法處理幾何問(wèn)題。其整體性就在于用坐標(biāo)法處理幾何問(wèn)題。形式上：形式上：“三步曲三步曲”；經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的完整過(guò)程：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決。經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的完整過(guò)程：先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決。

30、平面直角坐標(biāo)系的要素是什么？平面直角坐標(biāo)系的要素是什么？平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，可以討論哪些問(wèn)題平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，可以討論哪些問(wèn)題一個(gè)點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)點(diǎn)？三個(gè)點(diǎn)？一個(gè)點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)點(diǎn)？三個(gè)點(diǎn)？直線與方程的結(jié)構(gòu)直線與方程的結(jié)構(gòu)在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素在平面直角坐標(biāo)系中，確定直線位置的幾何要素平面幾何是平面幾何是”兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)確定一條直線”；這里要發(fā)揮直角；這里要發(fā)揮直角坐標(biāo)系的力量，因此引入傾斜角和斜率的概念。坐標(biāo)系的力量，因此引入傾斜角和斜率的概念。斜率：概念、公式（不同條件下的不同形式）、性質(zhì)（特例、關(guān)系）斜率：概念、公式（不同條件下的不同形式）、性質(zhì)（特例、關(guān)系）直線的方程：

31、直線的方程：“一點(diǎn)和一個(gè)方向，或兩點(diǎn)，唯一確定一條直線一點(diǎn)和一個(gè)方向，或兩點(diǎn)，唯一確定一條直線”的代數(shù)化。求解的過(guò)程是的代數(shù)化。求解的過(guò)程是“同一事物的兩同一事物的兩種表示等價(jià)種表示等價(jià)”。從哪些角度討論直線方程？從哪些角度討論直線方程？不同的條件下的不同形式不同的條件下的不同形式可以問(wèn)學(xué)生：你認(rèn)為可以從哪些角度確定一條直線？可以問(wèn)學(xué)生：你認(rèn)為可以從哪些角度確定一條直線？與直線相關(guān)的幾何問(wèn)題有哪些？如何利用直線方程進(jìn)行討論？與直線相關(guān)的幾何問(wèn)題有哪些？如何利用直線方程進(jìn)行討論？平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，討論平面幾何的經(jīng)驗(yàn)，討論“相交線與平行相交線與平行線線”，“相交線相交線”中有交點(diǎn)坐標(biāo)、交角、點(diǎn)到直線

32、的距離等，特例是垂直；中有交點(diǎn)坐標(biāo)、交角、點(diǎn)到直線的距離等，特例是垂直；“平行線平行線”中，平行的條件，中，平行的條件，平行線間的距離。平行線間的距離。還可以討論哪些問(wèn)題？還可以討論哪些問(wèn)題？二元一次不等式表示平面區(qū)域二元一次不等式表示平面區(qū)域如何提出問(wèn)題？如何獲得猜想？如何提出問(wèn)題？如何獲得猜想？從具體到抽象、從特殊到一般從具體到抽象、從特殊到一般強(qiáng)調(diào)歸納的過(guò)程。強(qiáng)調(diào)歸納的過(guò)程。直角坐標(biāo)系中，方程直角坐標(biāo)系中，方程xy6=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線l上；同時(shí)，直線上；同時(shí)，直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程xy6=0的解的解由此你能提出什么新問(wèn)題？由此你能提出什么

33、新問(wèn)題？(x0 ,y0)不在直線不在直線l上，則上，則x0y060 x0y060或或x0y060。坐標(biāo)平面被直線坐標(biāo)平面被直線xy6=0分成三個(gè)部分，它們與分成三個(gè)部分，它們與xy60， xy6=0 ，xy60有什么關(guān)系呢？有什么關(guān)系呢？任意取點(diǎn)，代入，找規(guī)律任意取點(diǎn)，代入，找規(guī)律發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)“同側(cè)同號(hào)同側(cè)同號(hào)”。如何證明如何證明“同側(cè)同號(hào)同側(cè)同號(hào)”點(diǎn)點(diǎn)P0 (x0 ,y0 )在直線在直線Ax+By+C=0的的“左上方左上方”、“右下方右下方”如何用數(shù)量關(guān)系表達(dá)？如何用數(shù)量關(guān)系表達(dá)？ y P0(x0 ,y0 ) O x獲得證明思路的關(guān)鍵獲得證明思路的關(guān)鍵對(duì)解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解深度；對(duì)

34、解析幾何的基本思想（坐標(biāo)法）的理解深度；對(duì)對(duì)“先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決先用平面幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的認(rèn)識(shí)；的認(rèn)識(shí)；在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化在直角坐標(biāo)系中，幾何方位的代數(shù)化以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示以坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)，用不等式表示“上下左右上下左右”的關(guān)系。所以，歸的關(guān)系。所以，歸根到底是對(duì)直角坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。根到底是對(duì)直角坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)等概念的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。 七、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)七、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素?cái)?shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維。系

35、統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系與相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系與相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來(lái)整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來(lái)整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。中表現(xiàn)。例例 研究研究“三角形三角形”的系統(tǒng)思維的系統(tǒng)思維定義定義“三角形三角形”，明確它的構(gòu)成要素；用符號(hào)表示三角形與其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)，明確它的構(gòu)成要素；用

36、符號(hào)表示三角形與其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)；明確研究對(duì)象明確研究對(duì)象基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到 “三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于180” 等；等；研究研究“相關(guān)要素與其關(guān)系相關(guān)要素與其關(guān)系”，如，如“三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等；等；三角形的全等（反映空間的對(duì)稱(chēng)性，三角形的全等（反映空間的對(duì)稱(chēng)性，“相等相等”是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成“確定一個(gè)三角形的條件確定一個(gè)三角形的條件”）；）；特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）；特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三

37、角形、直角三角形）；三角形的變換（如相似三角形等）；三角形的變換（如相似三角形等）；直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究明確研究對(duì)象（定義、表示、劃分）明確研究對(duì)象（定義、表示、劃分） 性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)系；聯(lián)系；定性研究（相等、不等、對(duì)稱(chēng)性等）定性研究（相等、不等、對(duì)稱(chēng)性等）定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。定量

38、研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問(wèn)題的習(xí)慣，避免培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問(wèn)題的習(xí)慣，避免“見(jiàn)木不見(jiàn)林見(jiàn)木不見(jiàn)林”，進(jìn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)，進(jìn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能把解決問(wèn)題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程、解決過(guò)程的優(yōu)化以與對(duì)問(wèn)題的拓展、深化等作為一個(gè)整體題時(shí)，能把解決問(wèn)題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程、解決過(guò)程的優(yōu)化以與對(duì)問(wèn)題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的人才使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的人才”就能落在實(shí)處。就能落在實(shí)處。什么叫性質(zhì)？什么叫性質(zhì)？性質(zhì)是指事物所具有

39、的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。問(wèn)題：這里的問(wèn)題：這里的“事物內(nèi)部事物內(nèi)部”指什么？指什么？“穩(wěn)定的聯(lián)系穩(wěn)定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系聯(lián)系”？從三角形的從三角形的“內(nèi)角和為內(nèi)角和為180”、“兩邊之和大于第三邊兩邊之和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角大邊對(duì)大角”、“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”等你想到了等你想到了什么？什么？“內(nèi)部?jī)?nèi)部”可以是可以是“三角形的組成要素三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系穩(wěn)定的聯(lián)系”是指是指“三角形要素之間確定的關(guān)系三角形要素之間確定的關(guān)系”。幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性

40、質(zhì)。幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。從從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三條高交于一點(diǎn)三條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一”等又想到了什么？等又想到了什么？把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素相關(guān)要素”也可以看成是也可以看成是“三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)部”。要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“

41、同位角相等同位角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相內(nèi)錯(cuò)角相等等”以與以與“同旁內(nèi)角互補(bǔ)同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可以想到，這時(shí)的可以想到，這時(shí)的“性質(zhì)性質(zhì)”是借助是借助“第三條直線第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由兩條構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何事物與其他幾研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。圓的幾何性質(zhì)圓的幾何性質(zhì)

42、要素、相關(guān)要素：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角要素、相關(guān)要素：圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何一條弦；同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何一條弦；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧；在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對(duì)的弦較大（弦心在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對(duì)的弦較大（弦心距較?。?；逆定理也成

43、立。距較?。?；逆定理也成立。切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究幾何體結(jié)構(gòu)特征的研究 棱柱棱柱要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角線、體對(duì)角線、高要素、相關(guān)要素：面、棱、頂點(diǎn)、面對(duì)角線、體對(duì)角線、高要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱與棱、面與棱要素、相關(guān)要素之間的關(guān)系：面與面、棱與棱、面與棱特例：長(zhǎng)方體特例：長(zhǎng)方體正方體，平行六面體正方體，平行六面體直線與平面平行的性質(zhì)直線與平面平行的性質(zhì)位置關(guān)系：直線位置關(guān)系：直線l 平面平

44、面；其他事物：直線、平面；其他事物：直線、平面；命題：命題：（1）如果）如果 al，那么，那么a ；（2）如果）如果 a ，那么，那么a l；（3）如果）如果a l，那么，那么a；（4）如果）如果a，那么，那么a l；（5）如果）如果l，那么，那么；（6）如果）如果，那么，那么l；（7）如果）如果l，那么，那么 ；（8）如果）如果 ，那么，那么 l。（9）與）與“公理公理”相聯(lián)系，直線相聯(lián)系，直線l與平面與平面 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn)A確定一個(gè)平面確定一個(gè)平面 ， =m ，那么，那么 ml；（10）l ，所以，所以l =。如果。如果m在在 內(nèi)，則或者內(nèi)，則或者ml，或者，或者m與與l是異面直線。

45、是異面直線。（11）直線）直線m與直線與直線l異面，則過(guò)直線異面，則過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與直線有且只有一個(gè)平面與直線l平行。平行。（12）l ， =l， =l1， =l2，那么那么l1l2。從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的能力。程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)化的過(guò)程數(shù)

46、學(xué)化的過(guò)程關(guān)于關(guān)于“解三角形解三角形”教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問(wèn)題的策略等方面的思考：教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問(wèn)題的策略等方面的思考：如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；從定性到定量地研究問(wèn)題；從定性到定量地研究問(wèn)題；將新問(wèn)題化歸為舊問(wèn)題；將新問(wèn)題化歸為舊問(wèn)題；從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問(wèn)題；等等。從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問(wèn)題；等等。如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問(wèn)題后，希望得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素，由全等三角形的數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問(wèn)題后，希望得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素，由全等三角形的“基基本事實(shí)本事實(shí)”SSSSSS，

47、SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的問(wèn)題？，你能提出什么新的問(wèn)題？六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是說(shuō)，其余三個(gè)要素可以六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是說(shuō)，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求出其余三個(gè)要素。由這三個(gè)要素唯一確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求出其余三個(gè)要素。解直角三角形問(wèn)題的引出解直角三角形問(wèn)題的引出關(guān)于解一般三角形關(guān)于解一般三角形對(duì)于對(duì)于“解三角形解三角形”，你會(huì)哪些知識(shí)？，你會(huì)哪些知識(shí)？會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只

48、有“內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理”。給定兩邊一夾角，求其他邊、角給定兩邊一夾角，求其他邊、角化歸為直角三角形?；瘹w為直角三角形。還有沒(méi)有其他方法？還有沒(méi)有其他方法？從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？怎么用？從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？怎么用？你還能提出哪些問(wèn)題？你還能提出哪些問(wèn)題？對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來(lái)表示。怎樣對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來(lái)表示。怎樣用三角形的邊、角來(lái)表示它的外接圓半徑？用三角形的邊、角來(lái)表示它的外接圓半徑？對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高

49、、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來(lái)表對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來(lái)表示它們的度量？示它們的度量？一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長(zhǎng)、角平一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長(zhǎng)、角平分線長(zhǎng)等，這是三角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出系分線長(zhǎng)等，這是三角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維、掌握統(tǒng)思維的

50、力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維、掌握“認(rèn)識(shí)、解決問(wèn)題的方法認(rèn)識(shí)、解決問(wèn)題的方法”、提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和、提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力等方面都能發(fā)揮很好的作用。解決問(wèn)題的能力等方面都能發(fā)揮很好的作用。八、發(fā)揮核心概念與其反映的數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用八、發(fā)揮核心概念與其反映的數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用 數(shù)學(xué)核心知識(shí)是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)和功能的基本單位，核心概念是數(shù)學(xué)核心知識(shí)的數(shù)學(xué)核心知識(shí)是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)和功能的基本單位，核心概念是數(shù)學(xué)核心知識(shí)的“控制中心控制中心”，在數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展中起著重要作用，是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要生長(zhǎng)點(diǎn)。知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展中起著重要作用，是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要生長(zhǎng)點(diǎn)

51、。把握住數(shù)學(xué)核心概念，就抓住了數(shù)學(xué)知識(shí)的根本，掌握了知識(shí)增長(zhǎng)的源泉。把握住數(shù)學(xué)核心概念，就抓住了數(shù)學(xué)知識(shí)的根本，掌握了知識(shí)增長(zhǎng)的源泉。核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法具有數(shù)學(xué)方法論的基礎(chǔ)地位，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想，是探索大自核心概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法具有數(shù)學(xué)方法論的基礎(chǔ)地位，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和基本思想，是探索大自然中各種各樣問(wèn)題以與數(shù)學(xué)規(guī)律的指導(dǎo)思想，從中可以生發(fā)出解決問(wèn)題的策略和方法。然中各種各樣問(wèn)題以與數(shù)學(xué)規(guī)律的指導(dǎo)思想，從中可以生發(fā)出解決問(wèn)題的策略和方法。發(fā)揮數(shù)學(xué)核心概念與其反映的思想方法的引領(lǐng)作用至關(guān)重要。發(fā)揮數(shù)學(xué)核心概念與其反映的思想方法的引領(lǐng)作用至關(guān)重要。 例例 “向量法向量法

52、”的本質(zhì)的本質(zhì)“向量法向量法”的教學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)向量法的特點(diǎn)有基本而完整的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上與相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系。的教學(xué)，要讓學(xué)生對(duì)向量法的特點(diǎn)有基本而完整的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上與相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系。向量法的本質(zhì)，首先是讓幾何量帶上符號(hào)，向量法的本質(zhì)，首先是讓幾何量帶上符號(hào)，“對(duì)比把長(zhǎng)度、面積、體積考慮為絕對(duì)值的普通初等幾何學(xué)，對(duì)比把長(zhǎng)度、面積、體積考慮為絕對(duì)值的普通初等幾何學(xué)，這樣做有極大的好處。初等幾何必須依照?qǐng)D形呈現(xiàn)的情況而區(qū)分許多情況，而現(xiàn)在用幾個(gè)簡(jiǎn)單的一般定理這樣做有極大的好處。初等幾何必須依照?qǐng)D形呈現(xiàn)的情況而區(qū)分許多情況，而現(xiàn)在用幾個(gè)簡(jiǎn)單的一般定理就可以概括。就可以概括?！?（F克萊因克萊因 ）這幾

53、個(gè)這幾個(gè)“一般定理一般定理”就是：就是：向量加法法則（向量回路）；向量加法法則（向量回路）；向量數(shù)乘的意義與其運(yùn)算律；向量數(shù)乘的意義與其運(yùn)算律；向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算律（特別是相互垂直的向量數(shù)量積為向量數(shù)量積的意義和運(yùn)算律（特別是相互垂直的向量數(shù)量積為0）；）；平面（空間）向量基本定理。平面（空間）向量基本定理。 向量的向量的“聯(lián)系性聯(lián)系性”向量回路與三角形定義一致，三角形是最基本、最重要的幾何圖形，是整個(gè)歐氏幾何的基礎(chǔ)；向量回路與三角形定義一致，三角形是最基本、最重要的幾何圖形，是整個(gè)歐氏幾何的基礎(chǔ)；向量數(shù)乘與三角形相似的緊密聯(lián)系；向量數(shù)乘與三角形相似的緊密聯(lián)系；平面向量基本定理與平行四邊形

54、的性質(zhì)一致；平面向量基本定理與平行四邊形的性質(zhì)一致；平面向量數(shù)量積與余弦定理等價(jià)；等等。平面向量數(shù)量積與余弦定理等價(jià)；等等。向量法是以基本的幾何圖形與其相互關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)解決問(wèn)題，由此可以把眾多的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，形成有機(jī)向量法是以基本的幾何圖形與其相互關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)解決問(wèn)題，由此可以把眾多的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，形成有機(jī)聯(lián)系的整體。聯(lián)系的整體。向量集數(shù)與形于一身，向量運(yùn)算既是數(shù)的運(yùn)算，也是圖形的運(yùn)算，根據(jù)圖形列出向量等式，使計(jì)算與圖形向量集數(shù)與形于一身，向量運(yùn)算既是數(shù)的運(yùn)算，也是圖形的運(yùn)算，根據(jù)圖形列出向量等式，使計(jì)算與圖形融為一體，這是體現(xiàn)向量法解題特點(diǎn)的關(guān)鍵。融為一體，這是體現(xiàn)向量法解題特點(diǎn)的關(guān)鍵。教學(xué)

55、中的問(wèn)題與改進(jìn)教學(xué)中的問(wèn)題與改進(jìn)沒(méi)有反映向量法的本質(zhì)，披著向量法的外衣，實(shí)際上還是綜合幾何的方法。沒(méi)有反映向量法的本質(zhì)，披著向量法的外衣，實(shí)際上還是綜合幾何的方法。把向量法中的代數(shù)化曲解為把向量法中的代數(shù)化曲解為“坐標(biāo)運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算”窄化了向量法的應(yīng)用范圍。窄化了向量法的應(yīng)用范圍。改進(jìn)：加深對(duì)改進(jìn)：加深對(duì)“方向方向”的重要性的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)從四個(gè)的重要性的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)從四個(gè)“一般定理一般定理”出發(fā)思考和解決問(wèn)題的教學(xué)，加強(qiáng)出發(fā)思考和解決問(wèn)題的教學(xué)，加強(qiáng)“代代數(shù)運(yùn)算數(shù)運(yùn)算”和和“圖形運(yùn)算圖形運(yùn)算”的結(jié)合。的結(jié)合。九、要使學(xué)生掌握研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的具體方法九、要使學(xué)生掌握研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的具體方法 數(shù)學(xué)觀

56、念和具有一般意義的數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)數(shù)學(xué)觀念和具有一般意義的數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)保證高立意。保證高立意。好的教學(xué)既需要有好的想法，也需要有能夠落實(shí)的具體措施，變成學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)可以實(shí)施的行動(dòng)。好的教學(xué)既需要有好的想法，也需要有能夠落實(shí)的具體措施，變成學(xué)生面對(duì)問(wèn)題時(shí)可以實(shí)施的行動(dòng)。一般而言，研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象（即使是解一個(gè)有思維含金量的數(shù)學(xué)題目），往往需要經(jīng)歷從定性到一般而言，研究一個(gè)具體的數(shù)學(xué)對(duì)象（即使是解一個(gè)有思維含金量的數(shù)學(xué)題目），往往需要經(jīng)歷從定性到定量、從具體到抽象、從宏觀到微觀的過(guò)程。定量、從具體到抽象、從宏觀到微觀的過(guò)程。圍繞核心概念發(fā)展知識(shí)體系圍繞核心概念發(fā)展知識(shí)體系十、數(shù)學(xué)方

57、法因解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生十、數(shù)學(xué)方法因解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)非是兩種途徑：解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，無(wú)非是兩種途徑：（1 1）調(diào)動(dòng)已有知識(shí)解決之）調(diào)動(dòng)已有知識(shí)解決之用概念、原理為條件和結(jié)論搭橋；用概念、原理為條件和結(jié)論搭橋；（2 2）創(chuàng)造一種新的方法解決之）創(chuàng)造一種新的方法解決之在分析面臨問(wèn)題的特征的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，核心是從具體事例中抽象規(guī)在分析面臨問(wèn)題的特征的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，核心是從具體事例中抽象規(guī)律，概括出一般方法。律，概括出一般方法。 數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)如何引出問(wèn)題如何引出問(wèn)題明確要解決的問(wèn)題是明確要解決的問(wèn)題是“證明一個(gè)依賴于自然數(shù)證明一個(gè)依賴于自然數(shù)n的命

58、題的命題p(x)”，而用現(xiàn)有的邏輯推理方法，而用現(xiàn)有的邏輯推理方法如分析法、綜合法、反證法等無(wú)法證明。如分析法、綜合法、反證法等無(wú)法證明。如何獲得方法如何獲得方法在具體推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，這里就是歸納（為什么這種方法叫做數(shù)學(xué)歸納法？）：在具體推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，這里就是歸納（為什么這種方法叫做數(shù)學(xué)歸納法？）：a1=1；由；由a1=1和和an+1 =f(an)得得a2=1/2；由；由a2=1/2和和an+1 =f(an)得得a3=1/3；歸納出具有一般性的結(jié)構(gòu)：歸納出具有一般性的結(jié)構(gòu)：ak=1/k和和an+1 =f(an)得到得到ak+1=1/(k+1)。利用生活經(jīng)驗(yàn)（多米諾骨牌等）增強(qiáng)直觀感受

59、，使學(xué)生確信方法的可靠性；利用生活經(jīng)驗(yàn)（多米諾骨牌等）增強(qiáng)直觀感受，使學(xué)生確信方法的可靠性；方法的給出，強(qiáng)調(diào)第二步到底要做什么。方法的給出，強(qiáng)調(diào)第二步到底要做什么。如何教解題（應(yīng)用）如何教解題（應(yīng)用）亦步亦趨地寫(xiě)出條件和結(jié)論各是什么；用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步要證的是什亦步亦趨地寫(xiě)出條件和結(jié)論各是什么；用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步要證的是什么，特別是第二步本質(zhì)上是要干什么么，特別是第二步本質(zhì)上是要干什么證明一個(gè)命題：以證明一個(gè)命題：以n=k成立為條件，證明成立為條件，證明n=k+1也成立。也成立。缺第一步、第二步的辨析放在哪里？缺第一步、第二步的辨析放在哪里？小結(jié)如何做？小結(jié)如何做？十一、使學(xué)生

60、學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言思考和表達(dá)十一、使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言思考和表達(dá)用代數(shù)、幾何的語(yǔ)言刻畫(huà)和表達(dá)一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。完成這個(gè)任務(wù)，實(shí)際上也是進(jìn)行用代數(shù)、幾何的語(yǔ)言刻畫(huà)和表達(dá)一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。完成這個(gè)任務(wù)，實(shí)際上也是進(jìn)行“數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題數(shù)學(xué)地思考和解決問(wèn)題”的教學(xué)。的教學(xué)。 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是性質(zhì)課，核心是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)用嚴(yán)格的代數(shù)語(yǔ)言刻畫(huà)是性質(zhì)課，核心是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)用嚴(yán)格的代數(shù)語(yǔ)言刻畫(huà)“在區(qū)間在區(qū)間D上，當(dāng)上，當(dāng)x增大（減小）時(shí)，相應(yīng)的增大（減?。r(shí)，相應(yīng)的f(x)也也隨著增大（減?。╇S著增大（減?。?。要引導(dǎo)學(xué)生借助具體函數(shù)，經(jīng)歷從圖像直觀到定性刻畫(huà)，再