2017年中考復(fù)習(xí)圓綜合題

1、2017中考復(fù)習(xí)圓綜合題1如圖，在RtABC中，ABC=90°，AB=CB，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），DE的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)G，DFDG，且交BC于點(diǎn)F（1）求證：AE=BF；（2）連接GB，EF，求證：GBEF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的長(zhǎng)2如圖，AB為O的直徑，直線CD切O于點(diǎn)M，BECD于點(diǎn)E（1）求證：BME=MAB；（2）求證：BM2=BEAB；（3）若BE=，sinBAM=，求線段AM的長(zhǎng)3我們知道：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條?。黄椒只〉闹睆酱怪逼椒诌@條弧所對(duì)的弦你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題：如

2、圖，點(diǎn)P在以MN（南北方向）為直徑的O上，MN=8，PQMN交O于點(diǎn)Q，垂足為H，PQMN，弦PC、PD分別交MN于點(diǎn)E、F，且PE=PF（1）比較與的大小；（2）若OH=2，求證：OPCD；（3）設(shè)直線MN、CD相交所成的銳角為，試確定cos=時(shí)，點(diǎn)P的位置4如圖，ABC內(nèi)接于O，BD為O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且A=EBC（1）求證：BE是O的切線；（2）已知CGEB，且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G，若BGBA=48，F(xiàn)G=，DF=2BF，求AH的值5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（0，6），B（8，0）三點(diǎn)在P上（1）求圓的半

3、徑及圓心P的坐標(biāo)；（2）M為劣弧的中點(diǎn)，求證：AM是OAB的平分線；（3）連接BM并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，求N，M點(diǎn)的坐標(biāo)6如圖，在O中，直徑AB垂直弦CD于E，過(guò)點(diǎn)A作DAF=DAB，過(guò)點(diǎn)D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)G，連接EG，已知DE=4，AE=8（1）求證：DF是O的切線；（2）求證：OC2=OEOP；（3）求線段EG的長(zhǎng)7如圖，在RtABC中，ACB=90°，AO是ABC的角平分線以O(shè)為圓心，OC為半徑作O（1）求證：AB是O的切線（2）已知AO交O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)D，tanD=，求的值（3）在（2）的條件下，設(shè)O的半徑為3，求

4、AB的長(zhǎng)8如圖，O是ABC的外接圓，AE平分BAC交O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E做直線lBC（1）判斷直線l與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BE=EF；（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長(zhǎng)9如圖，在RtABC中，C=90°，以BC為直徑的O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH（1）求證：MH為O的切線（2）若MH=，tanABC=，求O的半徑（3）在（2）的條件下分別過(guò)點(diǎn)A、B作O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與O相切于N點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作NQBC，垂足為E，且交O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度10已知：ABC內(nèi)接于O，D是上

5、一點(diǎn)，ODBC，垂足為H（1）如圖1，當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí)，求證：AC=2OH；（2）如圖2，當(dāng)圓心O在ABC外部時(shí)，連接AD、CD，AD與BC交于點(diǎn)P，求證：ACD=APB；（3）在（2）的條件下，如圖3，連接BD，E為O上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N，連接OE，BF為O的弦，BFOE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G，若ACDABD=2BDN，AC=5，BN=3，tanABC=，求BF的長(zhǎng)11如圖，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分線，ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交 AB于點(diǎn)F（1）求證：AE為O的切線（2）當(dāng)

6、BC=8，AC=12時(shí)，求O的半徑（3）在（2）的條件下，求線段BG的長(zhǎng)12已知，如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，OFBC于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為OE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ODB=AEC（1）求證：BD是O的切線；（2）求證：CE2=EHEA；（3）若O的半徑為5，sinA=，求BH的長(zhǎng)13已知：AB是O的直徑，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，BP=OB=2，點(diǎn)Q在O上，連接PQ（1）如圖，線段PQ所在的直線與O相切，求線段PQ的長(zhǎng)；（2）如圖，線段PQ與O還有一個(gè)公共點(diǎn)C，且PC=CQ，連接OQ，AC交于點(diǎn)D判斷OQ與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；求線段PQ的長(zhǎng)14已知：O上

7、兩個(gè)定點(diǎn)A，B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，D，AC與BD交于點(diǎn)E（1）如圖1，求證：EAEC=EBED；（2）如圖2，若=，AD是O的直徑，求證：ADAC=2BDBC；（3）如圖3，若ACBD，點(diǎn)O到AD的距離為2，求BC的長(zhǎng)15如圖，在直角坐標(biāo)系中，M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（，0）與點(diǎn)B（0，），點(diǎn)D在劣弧上，連接BD交x軸于點(diǎn)C，且COD=CBO（1）求M的半徑；（2）求證：BD平分ABO；（3）在線段BD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E，使得直線AE恰好為M的切線，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)16如圖，AB是O的直徑，C、G是O上兩點(diǎn)，且AC=CG，過(guò)點(diǎn)C的直線CDBG于點(diǎn)D，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC，交OD于點(diǎn)F（

8、1）求證：CD是O的切線（2）若，求E的度數(shù)（3）連接AD，在（2）的條件下，若CD=，求AD的長(zhǎng)17如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，以AQ為邊作RtABQ，使BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作ABQ的外接圓O點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC=4，過(guò)點(diǎn)C作直線ml，過(guò)點(diǎn)O作ODm于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E在射線CD上取點(diǎn)F，使DF=CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF設(shè)AQ=3x（1）用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ，DF（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)（3）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)AP為何值時(shí)，矩形DEGF是正方形？作直線BG交O于

9、點(diǎn)N，若BN的弦心距為1，求AP的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出答案）18如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，AE和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為E，AE交O于點(diǎn)D，直線EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接AC，BC，PB：PC=1：2（1）求證：AC平分BAD；（2）探究線段PB，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若AD=3，求ABC的面積19如圖，AB是O的直徑，AB=6，過(guò)點(diǎn)O作OHAB交圓于點(diǎn)H，點(diǎn)C是弧AH上異于A、H的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CDOA，CEOH，垂足分別為D、E，過(guò)點(diǎn)C的直線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且GCD=CED（1）求證：GC是O的切線；（2）求DE的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)C作CFDE于點(diǎn)F，若CED

10、=30°，求CF的長(zhǎng) 20如圖1，水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上，AB=BC=6cm，OD=3cm，開(kāi)始的時(shí)候BD=1cm，現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動(dòng)（1）當(dāng)B與O重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（2）如圖2，當(dāng)AC與半圓相切時(shí)，求AD；（3）如圖3，當(dāng)AB和DE重合時(shí)，求證：CF2=CGCE21O是ABC的外接圓，AB是直徑，過(guò)的中點(diǎn)P作O的直徑PG交弦BC于點(diǎn)D，連接AG、CP、PB（1）如圖1，若D是線段OP的中點(diǎn)，求BAC的度數(shù)；（2）如圖2，在DG上取一點(diǎn)K，使DK=DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；（

11、3）如圖3，取CP的中點(diǎn)E，連接ED并延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)H，連接PH，求證：PHAB22如圖，在ACE中，CA=CE，CAE=30°，O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上（1）試說(shuō)明CE是O的切線；（2）若ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示O的直徑AB；（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求O的直徑AB的長(zhǎng) 23AB，CD是O的兩條弦，直線AB，CD互相垂直，垂足為點(diǎn)E，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BFAD，垂足為點(diǎn)F，直線BF交直線CD于點(diǎn)G（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在O外時(shí)，連接BC，求證：BE平分GBC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在O內(nèi)時(shí)

12、，連接AC，AG，求證：AC=AG；（3）如圖3，在（2）條件下，連接BO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)H，若BH平分ABF，AG=4，tanD=，求線段AH的長(zhǎng)24已知O是以AB為直徑的ABC的外接圓，ODBC交O于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接AD、BD，BD交AC于點(diǎn)F（1）求證：BD平分ABC；（2）延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P，使PF=PB，求證：PB是O的切線；（3）如果AB=10，cosABC=，求AD 25如圖，四邊形ABCD為菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，以EF為直徑作O，交DC于D，G兩點(diǎn)，AD分別于EF，GF交于I，H兩點(diǎn)（1）求FDE的度數(shù)；（2）試判斷四邊形FAC

13、D的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FD=FI；設(shè)AC=2m，BD=2n，求O的面積與菱形ABCD的面積之比26已知，如圖，AB是半圓O的直徑，弦CDAB，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延長(zhǎng)線與射線OQ相交于點(diǎn)E，與弦CD相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合），AB=20，cosAOC=，設(shè)OP=x，CPF的面積為y（1）求證：AP=OQ；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域；（3）當(dāng)OPE是直角三角形時(shí)，求線段OP的長(zhǎng)27已知RtABC中，AB是O的弦，斜邊AC交O于點(diǎn)D，且AD=DC，延長(zhǎng)CB交O于點(diǎn)E（1）圖1的A、B、C、D、E五

14、個(gè)點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F若CF=CD時(shí)，求sinCAB的值；若CF=aCD（a0）時(shí)，試猜想sinCAB的值（用含a的代數(shù)式表示，直接寫(xiě)出結(jié)果）28如圖1，ABC內(nèi)接于O，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E（BEEC），且BD=2過(guò)點(diǎn)D作DFBC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F（1）求證：DF為O的切線；（2）若BAC=60°，DE=，求圖中陰影部分的面積；（3）若=，DF+BF=8，如圖2，求BF的長(zhǎng)29在ABC的外接圓O中，ABC的外角平分線CD交O于點(diǎn)D，F(xiàn)為上點(diǎn)，且= 連接DF，并延長(zhǎng)DF交BA

15、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（1）判斷DB與DA的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：BCDAFD；（3）若ACM=120°，O的半徑為5，DC=6，求DE的長(zhǎng)30如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，AB=4，PC、PD是O的兩條切線，C、D為切點(diǎn)（1）如圖1，求O的半徑；（2）如圖1，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接PE，求PE的長(zhǎng)度；（3）如圖2，若點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含B、C），以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，在BC的上方作AMN=90°，交直線CP于點(diǎn)N，求證：AM=MN答案1（2016包頭）如圖，在RtABC中，ABC=90°，AB=CB，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上

16、一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），DE的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)G，DFDG，且交BC于點(diǎn)F（1）求證：AE=BF；（2）連接GB，EF，求證：GBEF；（3）若AE=1，EB=2，求DG的長(zhǎng)【分析】（1）連接BD，由三角形ABC為等腰直角三角形，求出A與C的度數(shù)，根據(jù)AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到ADB為直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD=AC，進(jìn)而確定出A=FBD，再利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接EF，BG，由三角形AED與三角形BFD全等，得到ED=FD

17、，進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；（3）由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的長(zhǎng)，由GE+ED求出GD的長(zhǎng)即可【解答】（1）證明：連接BD，在RtABC中，ABC=90°，AB=BC，A=C=45°，AB為圓O的直徑，ADB=90°，即BDAC，AD=DC=BD=AC，CBD=C=45°，A

18、=FBD，DFDG，F(xiàn)DG=90°，F(xiàn)DB+BDG=90°，EDA+BDG=90°，EDA=FDB，在AED和BFD中，AEDBFD（ASA），AE=BF；（2）證明：連接EF，BG，AEDBFD，DE=DF，EDF=90°，EDF是等腰直角三角形，DEF=45°，G=A=45°，G=DEF，GBEF；（3）AE=BF，AE=1，BF=1，在RtEBF中，EBF=90°，根據(jù)勾股定理得：EF2=EB2+BF2，EB=2，BF=1，EF=，DEF為等腰直角三角形，EDF=90°，cosDEF=，EF=，DE=

19、5;=，G=A，GEB=AED，GEBAED，=，即GEED=AEEB，GE=2，即GE=，則GD=GE+ED=【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵2（2016青海）如圖，AB為O的直徑，直線CD切O于點(diǎn)M，BECD于點(diǎn)E（1）求證：BME=MAB；（2）求證：BM2=BEAB；（3）若BE=，sinBAM=，求線段AM的長(zhǎng)【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出BME+OMB=90°，再由直徑得出AMB=90°，利用同角的余角相等判斷出結(jié)論；（2）由（1

20、）得出的結(jié)論和直角，判斷出BMEBAM，即可得出結(jié)論，（3）先在RtBEM中，用三角函數(shù)求出BM，再在RtABM中，用三角函數(shù)和勾股定理計(jì)算即可【解答】解：（1）如圖，連接OM，直線CD切O于點(diǎn)M，OMD=90°，BME+OMB=90°，AB為O的直徑，AMB=90°AMO+OMB=90°，BME=AMO，OA=OM，MAB=AMO，BME=MAB；（2）由（1）有，BME=MAB，BECD，BEM=AMB=90°，BMEBAM，BM2=BEAB；（3）由（1）有，BME=MAB，sinBAM=，sinBME=，在RtBEM中，BE=，sinB

21、ME=，BM=6，在RtABM中，sinBAM=，sinBAM=，AB=BM=10，根據(jù)勾股定理得，AM=8【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直徑，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是判斷出，BMEBAM3（2016泉州）我們知道：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題：如圖，點(diǎn)P在以MN（南北方向）為直徑的O上，MN=8，PQMN交O于點(diǎn)Q，垂足為H，PQMN，弦PC、PD分別交MN于點(diǎn)E、F，且PE=PF（1）比較與的大?。唬?）若OH=2，求證：OPCD；（3）設(shè)直線M

22、N、CD相交所成的銳角為，試確定cos=時(shí)，點(diǎn)P的位置【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由PE=PF，PHEF可判斷PH平分FPE，然后根據(jù)圓周角定理得到=；（2）連結(jié)CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，先計(jì)算出PH=2，則可判斷OPH為等腰直角三角形得到OPQ=45°，再判斷OPQ為等腰直角三角形得到POQ=90°，然后根據(jù)垂徑的推理由=得到OQCD，則根據(jù)平行線的判定方法得OPCD；（3）直線CD交MN于A，如圖，由特殊角的三角函數(shù)值得=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，利用OBCD得到AOB=60°，則POH=60&#

23、176;，然后在RtPOH中利用正弦的定義計(jì)算出PH即可【解答】（1）解：PE=PF，PHEF，PH平分FPE，DPQ=CPQ，=；（2）證明：連結(jié)CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，OH=2，OP=4，PH=2，OPH為等腰直角三角形，OPQ=45°，而OP=OQ，OPQ為等腰直角三角形，POQ=90°，OPOQ，=，OQCD，OPCD；（3）解：直線CD交MN于A，如圖，cos=，=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，而OBCD，AOB=60°，OHPQ，POH=60°，在RtPOH中，sinPOH=，PH=4si

24、n60°=2，即點(diǎn)P到MN的距離為2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推理、圓周角定理；能夠靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)進(jìn)行幾何計(jì)算4（2016瀘州）如圖，ABC內(nèi)接于O，BD為O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且A=EBC（1）求證：BE是O的切線；（2）已知CGEB，且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G，若BGBA=48，F(xiàn)G=，DF=2BF，求AH的值【分析】（1）欲證明BE是O的切線，只要證明EBD=90°（2）由ABCCBG，得=求出BC，再由BFCBCD，得BC2=BFBD求出BF，CF，CG，GB，

25、再通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG=AG，進(jìn)而可以證明CH=CB，求出AC即可解決問(wèn)題【解答】（1）證明：連接CD，BD是直徑，BCD=90°，即D+CBD=90°，A=D，A=EBC，CBD+EBC=90°，BEBD，BE是O切線（2）解：CGEB，BCG=EBC，A=BCG，CBG=ABCABCCBG，=，即BC2=BGBA=48，BC=4，CGEB，CFBD，BFCBCD，BC2=BFBD，DF=2BF，BF=4，在RTBCF中，CF=4，CG=CF+FG=5，在RTBFG中，BG=3，BGBA=48，即AG=5，CG=AG，A=ACG=BCG，CFH=CFB=90

26、6;，CHF=CBF，CH=CB=4，ABCCBG，=，AC=，AH=ACCH=【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定、圓的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是巧妙利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題5（2016赤峰）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），A（0，6），B（8，0）三點(diǎn)在P上（1）求圓的半徑及圓心P的坐標(biāo)；（2）M為劣弧的中點(diǎn)，求證：AM是OAB的平分線；（3）連接BM并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)N，求N，M點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】（1）先利用勾股定理計(jì)算出AB=10，再利用圓周角定理的推理可判斷AB為P的直徑，則得到P的半徑是5，然后利用線段的中點(diǎn)坐

27、標(biāo)公式得到P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)圓周角定理由=，OAM=MAB，于是可判斷AM為OAB的平分線；（3）連接PM交OB于點(diǎn)Q，如圖，先利用垂徑定理的推論得到PMOB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股定理計(jì)算出PQ=3，則MQ=2，于是可寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)，接著證明MQ為BON的中位線得到ON=2MQ=4，然后寫(xiě)出N點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解：（1）O（0，0），A（0，6），B（8，0），OA=6，OB=8，AB=10，AOB=90°，AB為P的直徑，P的半徑是5點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，P（4，3）；（2）M點(diǎn)是劣弧OB的中點(diǎn)，=，OAM=MAB，AM為OAB的平分線；（3）連接PM交OB于點(diǎn)Q，如圖，=，

28、PMOB，BQ=OQ=OB=4，在RtPBQ中，PQ=3，MQ=2，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）；MQON，而OQ=BQ，MQ為BON的中位線，ON=2MQ=4，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和圓周角定理；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)此類(lèi)題目通常解由半徑、弦心距和弦的一半所組成的直角三角形6（2016恩施州）如圖，在O中，直徑AB垂直弦CD于E，過(guò)點(diǎn)A作DAF=DAB，過(guò)點(diǎn)D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)G，連接EG，已知DE=4，AE=8（1）求證：DF是O的切線；（2）求證：O

29、C2=OEOP；（3）求線段EG的長(zhǎng)【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出DAB=ADO，再由已知條件得出ADO=DAF，證出ODAF，由已知DFAF，得出DFOD，即可得出結(jié)論；（2）由射影定理得出OD2=OEOP，由OC=OD，即可得出OC2=OEOP；（3）由垂徑定理得出DE=CE=4，OEC=90°，由相交弦定理得出DE2=AE×BE，求出BE=2，得出直徑CG=AB=AE+BE=10，半徑OC=CG=5，由三角函數(shù)的定義得出cosC=，在CEG中，由余弦定理求出EG2，即可得出EG的長(zhǎng)【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：OA=OD，DAB=ADO，DA

30、F=DAB，ADO=DAF，ODAF，又DFAF，DFOD，DF是O的切線；（2）證明：由（1）得：DFOD，ODF=90°，ABCD，由射影定理得：OD2=OEOP，OC=OD，OC2=OEOP；（3）解：ABCD，DE=CE=4，OEC=90°，由相交弦定理得：DE2=AE×BE，即42=8×BE，解得：BE=2，CG=AB=AE+BE=8+2=10，OC=CG=5，cosC=，在CEG中，由余弦定理得：EG2=CG2+CE22×CG×CE×cosC=102+422×10×4×=52，EG=

31、2【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要運(yùn)用相交弦定理、三角函數(shù)和余弦定理采才能得出結(jié)果7（2016鄂州）如圖，在RtABC中，ACB=90°，AO是ABC的角平分線以O(shè)為圓心，OC為半徑作O（1）求證：AB是O的切線（2）已知AO交O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)D，tanD=，求的值（3）在（2）的條件下，設(shè)O的半徑為3，求AB的長(zhǎng)【分析】（1）由于題目沒(méi)有說(shuō)明直線AB與O有交點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F，然后證明OC=OF即可；（2）連接CE，先求證

32、ACE=ODC，然后可知ACEADC，所以，而tanD=；（3）由（2）可知，AC2=AEAD，所以可求出AE和AC的長(zhǎng)度，由（1）可知，OFBABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)度【解答】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F，AO平分CAB，OCAC，OFAB，OC=OF，AB是O的切線；（2）如圖，連接CE，ED是O的直徑，ECD=90°，ECO+OCD=90°，ACB=90°，ACE+ECO=90°，ACE=OCD，OC=OD，OCD=ODC，ACE=ODC，CAE=CAE，ACEADC，tanD=，=，=；（3）由（2）可知：=，設(shè)AE=

33、x，AC=2x，ACEADC，AC2=AEAD，（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，OFB=ACB=90°，B=B，OFBACB，=，設(shè)BF=a，BC=，BO=BCOC=3，在RtBOF中，BO2=OF2+BF2，（3）2=32+a2，解得：a=或a=0（不合題意，舍去），AB=AF+BF=【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是證明ACEADC本題涉及勾股定理，解方程，圓的切線判定知識(shí)，內(nèi)容比較綜合，需要學(xué)生構(gòu)造輔助線才能解決問(wèn)題，對(duì)學(xué)生綜合能力要求較高8（2016德州）如圖，O是ABC的外接圓，AE

34、平分BAC交O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E做直線lBC（1）判斷直線l與O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，求證：BE=EF；（3）在（2）的條件下，若DE=4，DF=3，求AF的長(zhǎng)【分析】（1）連接OE、OB、OC由題意可證明，于是得到BOE=COE，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明OEBC，于是可證明OEl，故此可證明直線l與O相切；（2）先由角平分線的定義可知ABF=CBF，然后再證明CBE=BAF，于是可得到EBF=EFB，最后依據(jù)等角對(duì)等邊證明BE=EF即可；（3）先求得BE的長(zhǎng)，然后證明BEDAEB，由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長(zhǎng)，于是可得到AF的長(zhǎng)

35、【解答】解：（1）直線l與O相切理由：如圖1所示：連接OE、OB、OCAE平分BAC，BAE=CAEBOE=COE又OB=OC，OEBClBC，OEl直線l與O相切（2）BF平分ABC，ABF=CBF又CBE=CAE=BAE，CBE+CBF=BAE+ABF又EFB=BAE+ABF，EBF=EFBBE=EF（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7DBE=BAE，DEB=BEA，BEDAEB，即，解得；AE=AF=AEEF=7=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、切線的判定，證得EBF=EFB是解題的關(guān)鍵9（2016大慶）如圖，在RtAB

36、C中，C=90°，以BC為直徑的O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH（1）求證：MH為O的切線（2）若MH=，tanABC=，求O的半徑（3）在（2）的條件下分別過(guò)點(diǎn)A、B作O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與O相切于N點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作NQBC，垂足為E，且交O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度【分析】（1）連接OH、OM，易證OH是ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明COHMOH，所以HCO=HMO=90°，從而可知MH是O的切線；（2）由切線長(zhǎng)定理可知：MH=HC，再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)可知AC=3，由tanABC=，所以BC=4，從而可知O的半徑為2；（3）連接CN，AO，C

37、N與AO相交于I，由AC、AN是O的切線可知AOCN，利用等面積可求出可求得CI的長(zhǎng)度，設(shè)CE為x，然后利用勾股定理可求得CE的長(zhǎng)度，利用垂徑定理即可求得NQ【解答】解：（1）連接OH、OM，H是AC的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)，OH是ABC的中位線，OHAB，COH=ABC，MOH=OMB，又OB=OM，OMB=MBO，COH=MOH，在COH與MOH中，COHMOH（SAS），HCO=HMO=90°，MH是O的切線；（2）MH、AC是O的切線，HC=MH=，AC=2HC=3，tanABC=，=，BC=4，O的半徑為2；（3）連接OA、CN、ON，OA與CN相交于點(diǎn)I，AC與AN都是O的

38、切線，AC=AN，AO平分CAD，AOCN，AC=3，OC=2，由勾股定理可求得：AO=，ACOC=AOCI，CI=，由垂徑定理可求得：CN=，設(shè)OE=x，由勾股定理可得：CN2CE2=ON2OE2，（2+x）2=4x2，x=，OE=，由勾股定理可求得：EN=，由垂徑定理可知：NQ=2EN=【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定等知識(shí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)10（2016哈爾濱）已知：ABC內(nèi)接于O，D是上一點(diǎn)，ODBC，垂足為H（1）如圖1，當(dāng)圓心O在AB邊上時(shí)，求證：AC=2OH；（2）如圖2，當(dāng)圓心O在

39、ABC外部時(shí)，連接AD、CD，AD與BC交于點(diǎn)P，求證：ACD=APB；（3）在（2）的條件下，如圖3，連接BD，E為O上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N，連接OE，BF為O的弦，BFOE于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G，若ACDABD=2BDN，AC=5，BN=3，tanABC=，求BF的長(zhǎng)【分析】（1）ODBC可知點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，又中位線的性質(zhì)可得AC=2OH；（2）由垂徑定理可知：，所以BAD=CAD，由因?yàn)锳BC=ADC，所以ACD=APB；（3）由ACDABD=2BDN可知AND=90°，由tanABC=可知NQ和BQ的長(zhǎng)度，再由BFOE和ODBC可知GBN=ABC，所以BG=

40、BQ，連接AO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)I，連接IC后利用圓周角定理可求得IC和AI的長(zhǎng)度，設(shè)QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的長(zhǎng)度，利用垂徑定理可求得ED的長(zhǎng)度，最后利用tanOED=即可求得RG的長(zhǎng)度，最后由垂徑定理可求得BF的長(zhǎng)度【解答】解：（1）ODBC，由垂徑定理可知：點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，OH是ABC的中位線，AC=2OH；（2）ODBC，由垂徑定理可知：，BAD=CAD，ABC=ADC，180°BADABC=180°CADADC，ACD=APB，（3）連接AO延長(zhǎng)交于O于點(diǎn)I，連接IC，AB與OD相交于點(diǎn)M，ACDABD=2BDN，ACDBDN=ABD

41、+BDN，ABD+BDN=AND，ACDBDN=AND，ACD+ABD=180°，ABD+BDN=180°AND，AND=180°AND，AND=90°，tanABC=，BN=3，NQ=，由勾股定理可求得：BQ=，BNQ=QHD=90°，ABC=QDH，OE=OD，OED=QDH，ERG=90°，OED=GBN，GBN=ABC，ABED，BG=BQ=，GN=NQ=，AI是O直徑，ACI=90°，tanAIC=tanABC=，=，IC=10，由勾股定理可求得：AI=25，連接OB，設(shè)QH=x，tanABC=tanODE=，HD

42、=2x，OH=ODHD=2x，BH=BQ+QH=+x，由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2，（）2=（+x）2+（2x）2，解得：x=或x=，當(dāng)QH=時(shí)，QD=QH=，ND=QD+NQ=6，MN=3，MD=15MD，QH=不符合題意，舍去，當(dāng)QH=時(shí)，QD=QH=ND=NQ+QD=4，由垂徑定理可求得：ED=10，GD=GN+ND=EG=EDGD=，tanOED=，EG=RG，RG=，BR=RG+BG=12由垂徑定理可知：BF=2BR=24【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及圓周角定理，中位線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要

43、求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)11（2015鄂州）如圖，在ABC中，AB=AC，AE是BAC的平分線，ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交 AB于點(diǎn)F（1）求證：AE為O的切線（2）當(dāng)BC=8，AC=12時(shí)，求O的半徑（3）在（2）的條件下，求線段BG的長(zhǎng)【分析】（1）連接OM利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AEOM后即可證得AE是O的切線；（2）設(shè)O的半徑為R，根據(jù)OMBE，得到OMABEA，利用平行線的性質(zhì)得到=，即可解得R=3，從而求得O的半徑為3；（3）過(guò)點(diǎn)O作OHBG于點(diǎn)H，則BG=2BH，根據(jù)OME=M

44、EH=EHO=90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE=OM=3和BH=1，證得結(jié)論BG=2BH=2【解答】（1）證明：連接OMAC=AB，AE平分BAC，AEBC，CE=BE=BC=4，OB=OM，OBM=OMB，BM平分ABC，OBM=CBM，OMB=CBM，OMBC又AEBC，AEOM，AE是O的切線；（2）設(shè)O的半徑為R，OMBE，OMABEA，=即=，解得R=3，O的半徑為3；（3）過(guò)點(diǎn)O作OHBG于點(diǎn)H，則BG=2BH，OME=MEH=EHO=90°，四邊形OMEH是矩形，HE=OM=3，BH=1，BG=2BH=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合知識(shí)，題目中還運(yùn)

45、用到了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大12（2015荊門(mén)）已知，如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，OFBC于點(diǎn)F，交O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為OE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ODB=AEC（1）求證：BD是O的切線；（2）求證：CE2=EHEA；（3）若O的半徑為5，sinA=，求BH的長(zhǎng)【分析】（1）由圓周角定理和已知條件證出ODB=ABC，再證出ABC+DBF=90°，即OBD=90°，即可得出BD是O的切線；（2）連接AC，由垂徑定理得出，得出CAE=ECB，再由公共角CEA=HEC，證明CEHAEC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；

46、（3）連接BE，由圓周角定理得出AEB=90°，由三角函數(shù)求出BE，再根據(jù)勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結(jié)論求出EH，然后根據(jù)勾股定理求出BH即可【解答】（1）證明：ODB=AEC，AEC=ABC，ODB=ABC，OFBC，BFD=90°，ODB+DBF=90°，ABC+DBF=90°，即OBD=90°，BDOB，BD是O的切線；（2）證明：連接AC，如圖1所示：OFBC，CAE=ECB，CEA=HEC，CEHAEC，CE2=EHEA；（3）解：連接BE，如圖2所示：AB是O的直徑，AEB=90°，O的半徑為5，si

47、nBAE=，AB=10，BE=ABsinBAE=10×=6，EA=8，BE=CE=6，CE2=EHEA，EH=，在RtBEH中，BH=【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理、勾股定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要通過(guò)作輔助線證明三角形相似和運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理才能得出結(jié)果13（2015福建）已知：AB是O的直徑，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，BP=OB=2，點(diǎn)Q在O上，連接PQ（1）如圖，線段PQ所在的直線與O相切，求線段PQ的長(zhǎng)；（2）如圖，線段PQ與O還有一個(gè)公共點(diǎn)C，且P

48、C=CQ，連接OQ，AC交于點(diǎn)D判斷OQ與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；求線段PQ的長(zhǎng)【分析】（1）如圖，連接OQ利用切線的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求PQ的長(zhǎng)度（2）如圖，連接BC利用三角形中位線的判定與性質(zhì)得到BCOQ根據(jù)圓周角定理推知BCAC，所以，OQAC（3）利用割線定理來(lái)求PQ的長(zhǎng)度即可【解答】解：（1）如圖，連接OQ線段PQ所在的直線與O相切，點(diǎn)Q在O上，OQOP又BP=OB=OQ=2，PQ=2，即PQ=2；（2）OQAC理由如下：如圖，連接BCBP=OB，點(diǎn)B是OP的中點(diǎn)，又PC=CQ，點(diǎn)C是PQ的中點(diǎn)，BC是PQO的中位線，BCOQ又AB是直徑，ACB=90°，即BCAC，OQ

49、AC（3）如圖，PCPQ=PBPA，即PQ2=2×6，解得PQ=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題掌握?qǐng)A周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，熟練利用割線定理進(jìn)行幾何計(jì)算14（2015宿遷）已知：O上兩個(gè)定點(diǎn)A，B和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，D，AC與BD交于點(diǎn)E（1）如圖1，求證：EAEC=EBED；（2）如圖2，若=，AD是O的直徑，求證：ADAC=2BDBC；（3）如圖3，若ACBD，點(diǎn)O到AD的距離為2，求BC的長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到角相等，從而證得三角形相似，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，連接CD，OB交AC于點(diǎn)F由B是弧AC的中點(diǎn)得到BAC=ADB=ACB，且AF=CF=0.5AC證得CBFABD即可得到結(jié)論；（3）如圖3，連接AO并延長(zhǎng)交O于F，連接DF得到AF為O的直徑于是得到ADF=90°，過(guò)O作OHAD于H，根據(jù)三角形的中位線定理得到DF=2OH=4，通過(guò)ABEADF，得到1=2，于是結(jié)論可得【解答】（1）證明：EAD=EBC，BCE=ADE，AEDBEC，EAEC=EBED；（2）證明：如圖2，連接CD，OB交AC于點(diǎn)FB是弧AC