小學(xué)數(shù)學(xué)中的合情推理(共6頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學(xué)數(shù)學(xué)中的合情推理(2009-07-29 16:35:15) 標(biāo)簽： 分類： 合情推理，是美籍?dāng)?shù)學(xué)家波利亞在30年代提出的概念，它是指“觀察、歸納、類比、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、矯正和調(diào)控等方法”。波利亞在致力改變美國(guó)數(shù)學(xué)落后狀態(tài)的工作中，大力倡導(dǎo)合情推理的方法，并獲得成功。 在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，我們重視和加強(qiáng)了雙基教學(xué)，但學(xué)生在校所學(xué)到的學(xué)科知識(shí)，隨著他們離開(kāi)學(xué)校，多數(shù)會(huì)逐漸忘掉，甚至有的會(huì)忘得“一干二凈”。如果說(shuō)“教育是所有學(xué)會(huì)的東西都忘卻以后，仍然留下來(lái)的那些東西”（M勞厄），學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得的不僅僅是知識(shí)，除此之外，更為重要的是思想與方法。而在研究探究性學(xué)習(xí)的今天，

2、我們的教學(xué)一直在研究如何組織和組織的形式上，對(duì)在發(fā)展過(guò)程中使用的合情推理等方法沒(méi)有予以足夠的重視，而這些恰恰是人的優(yōu)秀文化素質(zhì)的重要組成部分。再聯(lián)想到有關(guān)團(tuán)體對(duì)中外學(xué)生調(diào)查結(jié)果顯示的中國(guó)學(xué)生科學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)較差的信息，不能不使我們感到加強(qiáng)對(duì)合情推理能力的培養(yǎng)已是刻不容緩。 一、合情推理在數(shù)學(xué)能力發(fā)展中的功能和作用 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）在課程的具體目標(biāo)中明確提出了“培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力”。合情推理，它“是在認(rèn)知過(guò)程中，主體根據(jù)自己在日常生活中積累的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)非演繹（或非完全演繹）的思維而得到合乎情理、理想化結(jié)論的一種推理方式”。其主要表現(xiàn)在：“它可能是”（猜測(cè)），“做出來(lái)看一看”（實(shí)

3、驗(yàn)），“由上所述可得”（歸納），“將人心比自心”（類比），“可以想象”（聯(lián)想）等。 合理推理與通常所說(shuō)的論證推理是不相同的。論證推理是可靠的；而合情推理是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、直觀與感覺(jué)得到的一種可能性結(jié)論的推理，它推出的結(jié)論不一定都正確，卻和論證推理一樣在數(shù)學(xué)和生活中都有廣泛的應(yīng)用。在社會(huì)生活中，醫(yī)生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰(zhàn)爭(zhēng)，人際交往等都應(yīng)用合情推理。一些科學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維，也主要是合情推理：量子力學(xué)方程是猜出來(lái)的；球體公式是阿基米德“稱”出來(lái)的；而現(xiàn)代仿生學(xué)則是類比推理在科技中應(yīng)用的杰出成果。事實(shí)證明，合情推理的這兩種主要推理方式歸納和類比，不受邏輯規(guī)則的約束具有強(qiáng)烈的創(chuàng)造性質(zhì)，它推動(dòng)

4、了數(shù)學(xué)的進(jìn)步和發(fā)展。盡管由類比、歸納得出的結(jié)論不一定正確，必須加以論證才能確立，但它在數(shù)學(xué)教學(xué)中突出發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要作用應(yīng)給予充分的重視，因?yàn)樾W(xué)生的認(rèn)知能力擅長(zhǎng)歸納和類比。 我們?cè)诮逃龑?shí)踐中加強(qiáng)合情推理能力的培養(yǎng)，還可以使受教育者將日常事務(wù)中積累的經(jīng)驗(yàn)、方法用于學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)的興趣，提高解決問(wèn)題的能力。而在其中，又將那自然狀態(tài)下的合情推理，提高到一個(gè)更加合理更加科學(xué)的層次，可能成為“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”。 二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理能力的培養(yǎng) 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以根據(jù)兒童的心理特點(diǎn)，結(jié)合教材內(nèi)容，有意識(shí)地從以下幾個(gè)方面來(lái)培養(yǎng)小學(xué)生的合情推理能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。 （一）為學(xué)

5、生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間 波利亞說(shuō)：“有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能”，“要通過(guò)模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)習(xí)它，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力”，因此，教師要充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)。問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的前提。把學(xué)科的內(nèi)容隱入情境，提供給學(xué)生足以探索的數(shù)學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)具有一定合理自由度的思維空間，要突出問(wèn)題（應(yīng)有一定的難度和開(kāi)放性），把問(wèn)題放在“需要”與“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”矛盾的風(fēng)口浪尖，同時(shí)也注意對(duì)學(xué)生情緒背景的創(chuàng)設(shè)。不僅要?jiǎng)?chuàng)設(shè)引入問(wèn)題的情境，也要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好每個(gè)環(huán)節(jié)的情境。情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)滿足：a.可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)；b.一定的趣味性；C.便于學(xué)生參與，但要防止讓學(xué)生看了書(shū)上的結(jié)論一語(yǔ)點(diǎn)破。如：我們學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基

6、本性質(zhì)”時(shí)，可以用“猴王分餅”這一童話故事創(chuàng)設(shè)趣味情境；如學(xué)習(xí)“乘法運(yùn)算定律”時(shí)，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運(yùn)算定律”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，利用類比推理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境；如學(xué)習(xí)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)操作情境：可以提供圖釘、鉛筆、棉線等材料，讓學(xué)生在自主探索如何畫(huà)圓時(shí)，發(fā)現(xiàn)圓的基本性質(zhì)和概念。 師生感情融洽也是參與教學(xué)的感情保證，而“知識(shí)情感”則是學(xué)生參與教學(xué)的“認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力”，教師要把學(xué)生的情感調(diào)整到樂(lè)于研究、探索問(wèn)題上，讓學(xué)生在“尋找回來(lái)的世界中”動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口去探索猜測(cè)（要積極鼓勵(lì)各種猜測(cè)，不能只限定在教師的猜想中），在親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程中，提高應(yīng)用合情推理的技能。 （二）引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理

7、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí) 日本的著名教育家米山國(guó)藏曾說(shuō)：“我們搞了這么多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诔踔?、高中等接受的?shù)學(xué)知識(shí)，出校不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，惟有深深銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維的方法、研究方法、推理方法卻隨時(shí)發(fā)生作用，使他們受益終生”。也正因?yàn)槿绱耍覀冊(cè)诓煌虒W(xué)時(shí)如果能注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生也會(huì)因此積累一些解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。比如，在小學(xué)數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時(shí)，我們可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所掌握的信息，對(duì)一定條件下可能產(chǎn)生的結(jié)論，用合理推理的方法先進(jìn)行合理的猜測(cè)，形成假說(shuō)、猜想，然后再予以驗(yàn)證，從而得出法則、性質(zhì)、公式等知識(shí)

8、。 1、發(fā)現(xiàn)規(guī)律性知識(shí)時(shí) 合情推理的兩種主要推理方式是“類比”和“歸納”。類比是指通過(guò)比較兩個(gè)對(duì)象或兩類事物屬性的相似、相同，從而猜測(cè)等待解決的問(wèn)題或事物與相關(guān)問(wèn)題或事物的屬性是否相同或相似，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法，如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”、“商不變性質(zhì)”、“分?jǐn)?shù)和除法有密切關(guān)系”等常常利用類比推理。而歸納就是對(duì)研究對(duì)象或問(wèn)題從一定數(shù)量的特例進(jìn)行觀察分析，應(yīng)用不完全歸納法得出有關(guān)命題的形式，結(jié)論或方法的猜想，根據(jù)這種推理作出直覺(jué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，如著名的歌德巴赫猜想，“三角形的面積等于平行四邊形面積的一半”等。從理論上講，兩種方法是分開(kāi)的，事實(shí)上，我們?cè)趯?shí)際教學(xué)時(shí)，常常是幾種方法互相配合，交叉使用的

9、。 比如說(shuō)如在小學(xué)數(shù)學(xué)中教學(xué)“長(zhǎng)方體的體積公式”時(shí)，可以先引導(dǎo)學(xué)生用小木塊擺長(zhǎng)方體，獲得有關(guān)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和體積的數(shù)據(jù)。再要求學(xué)生觀察這些數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的猜想，猜想出長(zhǎng)方體的體積公式，然后再要求學(xué)生進(jìn)行論證以確認(rèn)長(zhǎng)方體的體積公式是否正確。最后引導(dǎo)學(xué)生將長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體作類比，比較長(zhǎng)方形、長(zhǎng)方體的名稱、圖形及邊的長(zhǎng)度名稱，找出相同之處及兩者之間的聯(lián)系（歸納），從而進(jìn)一步提高學(xué)生的合情推理能力。 學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，積累的一些發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，這正是進(jìn)一步學(xué)習(xí)所需要的能夠持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力之所在，是教學(xué)可供利用的重要資源。也正因?yàn)槿绱?，我們?yīng)該在教學(xué)中加強(qiáng)合情推理能力的培養(yǎng)。 現(xiàn)附具體操作要求如

10、下： 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)形式對(duì)教師要求 1、積極思維，大膽猜測(cè)，形成假說(shuō)（猜想）； 2、合情推理的方法得到訓(xùn)練。 假說(shuō)、猜想形成過(guò)程及其運(yùn)用。一般是學(xué)生觀察，獨(dú)立思考，輔以二、三人的討論、研究，也可以是全班的“七嘴八舌”。1、心理?yè)Q位，用一個(gè)普通學(xué)生的角色參與探討；2、在觀察、歸納、類比等的難點(diǎn)上給學(xué)生以點(diǎn)撥；3、要給學(xué)習(xí)的后進(jìn)生以特別的關(guān)注，給他們的提示可直接些、具體些；4、要引導(dǎo)學(xué)生積極地運(yùn)用其自身所擁有的合情推理方法，教師本人也要進(jìn)行較高層次的合情推理方法的示范，以此逐步提高學(xué)生的合情推理的能力，提高猜想的可靠性。 2、預(yù)測(cè)可能性問(wèn)題時(shí) “體驗(yàn)事件發(fā)生的可能性，游戲規(guī)則的公平性，計(jì)算一

11、些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性?！边@是標(biāo)準(zhǔn)的具體目標(biāo)之一。學(xué)生在日常生活、游戲中，的確需要對(duì)一些可能發(fā)生的事件，作出判斷和合情推理。比如：在兩方球隊(duì)比賽時(shí)，預(yù)測(cè)此場(chǎng)比賽誰(shuí)獲勝的可能性大，并闡述理由，學(xué)生必然會(huì)根據(jù)兩支球隊(duì)以往比賽的勝負(fù)情況或當(dāng)時(shí)賽場(chǎng)的情況等方面作出猜想。這種預(yù)測(cè)結(jié)論的形成是學(xué)生利用類比、歸納等多種進(jìn)行合情推理的結(jié)果。又如：一刀能把西瓜切成兩塊、兩刀能切成四塊，那么3刀能切成多少塊西瓜？n刀呢？這個(gè)問(wèn)題我們就可以利用操作、實(shí)驗(yàn)等合情推理的方法去解決，可以推進(jìn)學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)。 3、實(shí)驗(yàn)探究問(wèn)題時(shí) 當(dāng)對(duì)要探究的問(wèn)題，初步形成假說(shuō)、猜想后，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解僅停留在猜測(cè)階段，沒(méi)有真正的內(nèi)

12、化，根據(jù)小學(xué)生年齡特征和認(rèn)識(shí)規(guī)律（動(dòng)作感知建立表象形成概念），我們應(yīng)積極創(chuàng)造條件，要求學(xué)生“做出來(lái)看一看”，這也是數(shù)學(xué)課在對(duì)猜想進(jìn)行推理證明前所進(jìn)行的必要步驟。如學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”時(shí)，當(dāng)學(xué)生提出“被除數(shù)變大后，除數(shù)不變，商也變大”等猜想，可以引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)征“你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是不是在除法運(yùn)算中真的成立呢？”學(xué)生通過(guò)舉例、驗(yàn)證，有些表示贊同，有些甚至?xí)翢o(wú)疑問(wèn)，但當(dāng)有一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)93=3 103=31商并沒(méi)有變時(shí)，引起了激烈爭(zhēng)論：當(dāng)場(chǎng)就有一名學(xué)生提出反駁，“有了余數(shù)，就說(shuō)明結(jié)果變大了”。學(xué)生在爭(zhēng)論操作感知時(shí)，對(duì)商不變性質(zhì)有了更深刻的體驗(yàn)，合情推理能力也得到了培養(yǎng)。教師在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，應(yīng)起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作

13、用，幫助學(xué)生用類比、特殊化等合性推理的方法選擇特例或設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)猜想，并引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)科規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá)結(jié)論；同意時(shí)還要注意保護(hù)得出“不同”猜想的同學(xué)的積極性。在逐步形成結(jié)論的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生真正暴露出合情推理的思維過(guò)程，并使之得到優(yōu)化。當(dāng)然不同年齡段要求也不相同，標(biāo)準(zhǔn)明確指出：第一學(xué)段（13年級(jí)）：在教師的幫助下，初步學(xué)會(huì)選擇有用信息進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納與類比。第二學(xué)段（46年級(jí)）：能根據(jù)解決問(wèn)題的需要，收集有用的信息，進(jìn)行歸納、類比與猜測(cè)，發(fā)展初步的合情推理能力。第三學(xué)段（79年級(jí)）：能收集、選擇、處理數(shù)學(xué)信息，并作出合理的推斷或大膽的猜測(cè)；能用實(shí)例對(duì)一些數(shù)學(xué)猜想作出檢驗(yàn)，從而增加猜想的可信

14、程度或推翻猜想。 4、選擇數(shù)學(xué)解題途徑時(shí) 猜測(cè)和檢驗(yàn)是問(wèn)題解決的一種策略，也是一種有效的策略。當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)全新問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)有很多種解題方法，我們也常常會(huì)進(jìn)行一些嘗試性的猜測(cè)，再根據(jù)不同的猜測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正。 例如：有100位和尚，吃100個(gè)饅頭，大和尚每人吃3個(gè)，小和尚每3人吃一個(gè)。問(wèn)大小和尚各幾人？ 首先指導(dǎo)學(xué)生作出一個(gè)猜測(cè)：小和尚有90個(gè)，則大和尚有10個(gè)，一共吃饅頭60個(gè)。猜測(cè)有誤，指導(dǎo)學(xué)生修正猜測(cè)。所作猜測(cè)饅頭數(shù)較少，故小和尚數(shù)過(guò)多，第二次猜測(cè)時(shí)小和尚人數(shù)應(yīng)適當(dāng)減少，如下表格 次數(shù) 小和尚人數(shù) 大和尚人數(shù) 所吃饅頭個(gè)數(shù) 第一次90 1060 第二次60 30110 第三次75 251

15、00經(jīng)過(guò)上述的猜測(cè)、檢驗(yàn)、修正等過(guò)程后問(wèn)題得了解決。不難看出，即使學(xué)生不會(huì)列方程解應(yīng)用題，不會(huì)假設(shè)法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)合情推理，學(xué)生也能找到解決問(wèn)題的線索。（三）在反思、評(píng)價(jià)和引申中培養(yǎng)合情推理能力對(duì)學(xué)生合情推理的能力的培養(yǎng)與提高離不開(kāi)學(xué)生對(duì)其“提出猜想檢驗(yàn)”；“修正猜想驗(yàn)證、證明”這一學(xué)習(xí)過(guò)程的反思。無(wú)論是提出猜想的過(guò)程、修正猜想還是驗(yàn)證猜想的過(guò)程都必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆此?，通過(guò)反思可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)猜想的提出必須要有合理性且充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受驗(yàn)證和證明的必要。反思也是提高學(xué)生提出猜想的質(zhì)量，修正猜想的能力和驗(yàn)證猜想的能力必不可少的重要一環(huán)，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的必要條件。平常我們

16、應(yīng)多要求學(xué)生在形成結(jié)論后，及時(shí)回顧和重新審視解決問(wèn)題的全過(guò)程，如：在得出“能被3整除的數(shù)的特征”后，教師可適當(dāng)反思：剛才我們是怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？學(xué)生可能會(huì)說(shuō)出探究問(wèn)題時(shí)的過(guò)程“先再”；也可能說(shuō)出自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中聽(tīng)取了哪些同學(xué)的意見(jiàn)，受到了哪些啟發(fā)；聰明的學(xué)生也會(huì)能就會(huì)根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行質(zhì)疑，尋找新的思路、方法。在引導(dǎo)學(xué)生自我認(rèn)知的過(guò)程中，重建學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使其與原有知識(shí)的邏輯聯(lián)系更明晰，使某些“技巧”上升為“方法”，使一些有意義的經(jīng)驗(yàn)、方法、思想得到及時(shí)的提取。同時(shí)，在學(xué)生進(jìn)行合情推理的過(guò)程中教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者和指導(dǎo)者，必須對(duì)學(xué)生的合情推理進(jìn)行積極地評(píng)價(jià)，尤其對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)體會(huì)教師要進(jìn)行

17、及時(shí)的、有效的分析和概括，幫助學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的方法進(jìn)行提煉和哲學(xué)思考。而引申則是在形成結(jié)論后，在可能的條件下，要對(duì)其進(jìn)行變換條件擴(kuò)展結(jié)論（可稱先證后猜）。結(jié)論和條件的變通和應(yīng)用，可能提出新的挑戰(zhàn)性問(wèn)題，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造能力有利。三、關(guān)于合理推理的幾個(gè)問(wèn)題1、合情推理的適用性在數(shù)學(xué)學(xué)科的課堂教學(xué)中，并非所有內(nèi)容都需要合情推理。例如：四則運(yùn)算順序純屬人為規(guī)定的知識(shí)，沒(méi)有需要推理的必要（如果課外讓學(xué)生探究，自己定又一種新的運(yùn)算順序，那是另外一回事了）又如：學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，讓學(xué)生根據(jù)自己原有的分類概念推測(cè)自然數(shù)可以分成幾類。學(xué)生可以想到各種各樣的分類，卻極少有人想到按照自然數(shù)所含約數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分，而且要分成“只有一個(gè)約數(shù)”、“只含有兩個(gè)約數(shù)”、“含有三個(gè)或三個(gè)以上約數(shù)”這樣的三類。一再啟發(fā)、提示，到頭來(lái)還是要看課本的，聽(tīng)老師的，在學(xué)生心底是始終不明白為什么要分成這三類（事實(shí)上，直到學(xué)完“數(shù)的整除”，大多數(shù)學(xué)生對(duì)此還是不勝了解）。也就是說(shuō)，這樣的概念缺少有意義猜想的可能性。所以，確定合情推理的內(nèi)容、要求，還是條件制宜為好。2、合情推理與邏輯推理、演繹推理等在知識(shí)