二次函數(shù)專題

1、3.c 的符號(hào)：c 的符號(hào)由拋物線與 y 軸的交點(diǎn)位置確定.若拋物線交y 軸于正半，則 c 0，拋物線交 y 軸于負(fù)半軸.則 cv0 ;若拋物線過原點(diǎn)，則c=0.4 .的符號(hào)：的符號(hào)由拋物線與x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定.若拋物線與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則 =0 ；有兩個(gè)交點(diǎn)，則0 .沒有交點(diǎn)，則0 時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；當(dāng)av0 時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)；a 越小，拋物線開口越大.y=a(x h)2+ k 的對(duì)稱軸是 x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h, k)。2丄 丄b4ac b2b 二次函數(shù)y=ax+bxP 的圖象是一條拋物線頂點(diǎn)為( 夕， 一),對(duì)稱軸 x= ;當(dāng) a2a 4a2a0 時(shí)

2、，拋物線開口向上，圖象有最低點(diǎn)，且bx務(wù)的增大而增大，Xv-舟,y隨1152、 (2012?衢州)已知二次函數(shù)y=X2-7X+ ， 若自變量 x 分別取 X1,x?,X3，且 0vX1 X2y2y3B. y1y2y3y1D. y2y3 了，y 隨 x 的增大而2a減小,y 隨 x 的增大而增大.注意：分析二次函數(shù)增減性時(shí)，一定要以對(duì)稱軸為分界線。首先要看所要分析的點(diǎn)是否是在對(duì)稱 軸同側(cè)還是異側(cè)，然后再根據(jù)具體情況分析其大小情況。解題小訣竅：二次函數(shù)上兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y), (x2, y),即兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，則其對(duì)稱軸為直線10 .已知二次函數(shù)y1=axbx c(aM0)與一次函數(shù) y2=kx

3、+m(kM0)的圖象相交于點(diǎn)2)，如圖 1 2 7 所示，能使 y1y2成立的 x 取值范圍是 _11、 若直線 y=ax 6 與拋物線 y=x2 4x+3 只有一個(gè)交點(diǎn)，則1a 的值為12、 已知 M、N 兩點(diǎn)關(guān)于 y 軸對(duì)稱，且點(diǎn) M 在雙曲線 y= -2-上，點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(a, b)，則拋物線 y= abx2+(a + b) x 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 考點(diǎn)三：拋物線的特征與a、b、c 的關(guān)系一、考點(diǎn)講解：a 的符號(hào)：a 的符號(hào)由拋物線的開口方向決定.拋物線開口向上，貝 Uav0.A( 2,4),B(8 ,mis?a 0;拋物線開口向下，則1、% 、x2x -一 2b 的符號(hào)由對(duì)稱軸決定，

4、若對(duì)稱軸是y 軸，則 b=0;若拋物線的頂點(diǎn)在 y 軸左側(cè)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)KkKv0,即 0，貝Ua、b 為同號(hào)；若拋物線的頂點(diǎn)在y 軸右側(cè)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)一 0,2 a2 a2 ab4ac b2b4ac b2當(dāng) a 0 時(shí)，當(dāng) x= b-時(shí)，函數(shù)有最小值 -一；當(dāng) av0 時(shí)，當(dāng) x= 時(shí)，函數(shù)有最大值 -2a4a2a4a即舟v0則 a、b異號(hào).即“左同右異”4a1(2012?常州)已知二次函數(shù)3、0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的1、 (2012?玉林)二次函數(shù) y=ax +bx+c ( aM)的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為x=1，有如下結(jié)論： cv1； 2a+b=0 : b2v4ac；若方程 ax2+bx+c=0

5、的兩根為 X1, X2，則 X1+X2=2, 則正確的結(jié)論是() A .B.C.D.一2一12.(2012?重慶)已知二次函數(shù) y=ax +bx+c (aM)的圖象如圖所示對(duì)稱軸為x=.下列結(jié)論中，2正確的是()A . abc0B. a+b=0 C. 2b+c 0 D. 4a+cv2b3 .已知二次函數(shù)y/xbx+c的圖象與 x 軸交于點(diǎn)(一 2, 0), (X1, 0)且 1vX1 0:4a+c 0.其2 2 23圖象的平移：將二次函數(shù)y=ax (aM0)的圖象進(jìn)行平移，可得到 y=ax + c, y=a(x h) , y=a(xh)2+ k 的圖象. 將 y=ax2的圖象向上(c0)或向下

6、(c 0)平移|c|個(gè)單位，即可得到 y=ax2+ c 的圖象.其頂點(diǎn)是(0,c),形狀、對(duì)稱軸、開口方向與拋物線y=ax2相同. 將 y=ax2的圖象向左(h 0)平移|h 個(gè)單位，即可得到 y=a(x h)2的圖象.其頂點(diǎn) 是(h, 0),對(duì)稱軸是直線 x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同.將 y=ax2的圖象向左(h0)平移|h 個(gè)單位，再向上(k0)或向下(k0),當(dāng)自變量 x 分別取 J2、函數(shù)值分別：y-, y2, y3,則 yi, y2,y的大小關(guān)系正確的是()A.y3y2y-B.yivy2y3C.y2y-vy3D.y30. 其中正確的是 (把正確的序號(hào)都填上).1 題圖

7、考點(diǎn) 4:二次函數(shù)解析式求法二次函數(shù)表達(dá)式的求法：一般式法：若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入解析式，得到一個(gè)三元一次方程組， 解這個(gè)方程組即可。頂點(diǎn)式法：若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程， 則可采用頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)為(h, k)，對(duì)稱軸為直線 x=h；交點(diǎn)式法：若已知拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可采用交點(diǎn)式：y=a(x xi)(xX2),其中與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(X1, 0), (X2, 0)。解題小訣竅：在求二次函數(shù)解析式時(shí)，要靈活根據(jù)題目給出的條件來設(shè)解析式。例如，已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)可設(shè)y=ax2；已知頂點(diǎn)(0, c),即在 y 軸上時(shí)可

8、設(shè)y=ax2c；已知頂點(diǎn)(h, 0)即頂點(diǎn)在 x 軸上可設(shè)y =a(x-h)2.注意：當(dāng)涉及面積周長的問題時(shí)，1.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一2 .已知拋物線的對(duì)稱軸為直線3.已知拋物線與 x 軸交于點(diǎn) 4、已知拋物線y=x2+(2n 1)x+ n2 1 (n 為常數(shù)).(1) 當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)， 并且頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，求出它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于 x軸下方、且在對(duì)稱軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過線，交拋物線于另一點(diǎn) D，再作 AB 丄 x 軸于 B, DC 丄 x 軸于 C.當(dāng) BC=1 時(shí)，求矩形 ABCD 的周長；試問矩形 ABCD 的周長是否存在最大值？如

9、果存在， 請(qǐng)求出這個(gè)最大值，并指出此時(shí) A 點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 考點(diǎn) 5 :根據(jù)二次函數(shù)圖象解一元二次方程的近似解一、考點(diǎn)講解：1 .二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：2(1)一元二次方程ax2bx c =0就是二次函數(shù)yx?bx c當(dāng)函數(shù) y 的值為2(2)二次函數(shù)y =axbx c的圖象與 x2交點(diǎn)；當(dāng)二次函數(shù)y=ax bx c的圖象與的值，即一元二次方程 ax2+ bx + c=0 的根.2 232個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y=ax bx c的圖象與+ bx + c= 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y = ax2+二次方程y =ax2bx c沒有實(shí)數(shù)根.解題小訣竅：拋物線

10、與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離可以用1. 已知函數(shù)y=kx2 7x7 的圖象和 x 軸有交點(diǎn)，則 k 的取值范圍是(2. 不論 m 為何實(shí)數(shù)，拋物線 y=x2 mx + m 2 ()A .在 x 軸上方 B .與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)C.與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)D .在 x 軸下方3.已知二次函數(shù) y =x2 x 6 ( 1)求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)畫出函數(shù)圖象(3)觀察圖象，指出方程 x2 x 6=0 的解；(4)求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積(5) x 取什么值時(shí)，函數(shù)值大于 0?(6) x 取什么值時(shí)，函數(shù)值小于 0?【備考真題過關(guān)】(2012?白銀)A

11、.xv-1 (2012?蘭州)等的實(shí)數(shù)根，則A.kv-33 當(dāng)二次函數(shù) y=ax bx c的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程 y=ax bx c有兩A.C.當(dāng) x=0 時(shí)，y 的值大于 1B. 當(dāng) x=3 時(shí)，y 的值小于 0當(dāng) x=1 時(shí)，y 的值大于 1D. y 的最大值小于 0y =ax2bx c；將已知的三個(gè)2y二a(x -h) - k其中定要注意自3,2),(2,7),( 0,1),求其解析式.x= 2，且經(jīng)過點(diǎn)(一I，1),(4, 0)兩點(diǎn).求拋物線的解析式.1, 0)和(2,0)且過點(diǎn)(3,4)， 求拋物線的解析式.0 時(shí)的情況.軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交

12、點(diǎn)、沒有x 軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0 時(shí)自變量| X1 X2I 來表示。)x 軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則一元二次方程ax2bx+c 的圖象與 x 軸沒有交點(diǎn)時(shí)，則一元二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象如圖所示，則函數(shù)值B. x 3C. -1vxv3 D. xv-1 或2二次函數(shù) y=ax +bx+c (a 工0的圖象如圖所示，若 k的取值范圍是()yv0 時(shí) x 的取值范圍是(x 3|ax+bx+c|=k (k 工0有兩個(gè)不相C.K c 0.其中正確的有()A . 3 個(gè) B . 2 個(gè) C . 1 個(gè) D . 0 個(gè)6 . (2012?樂山)二次函數(shù) y=ax2+bx+1 ( a 工

13、0的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過點(diǎn)(-1, 0).設(shè) t=a+b+1 ,則 t 值的變化范圍是()A.0vtv1 B.0vtv2 C.1vtv2 D.-1vtv127、 (2012?陜西)在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x -x-6 向上(下)或向左(右)平移 m 個(gè)單位，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過原點(diǎn)，則|m|的最小值為()A . 1 B . 2 C . 3 D . 628、 (2012?長春)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 是拋物線 y=a (x-3) +k 與 y 軸的交點(diǎn)，點(diǎn) B 是這條 拋物線上的另一點(diǎn)，且 AB / x 軸，則以 AB 為邊的等邊三角形 ABC 的周長為_.)9、 (201

14、0 湖北孝感，)如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與 y 軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為|_,1 ,V2丿(2012?德陽)取值范圍是(4、( 2012?西寧)二次函數(shù)的敘述正確的是()A . c=3 B . c3.2.如圖，二次函數(shù) y=ax +bx+c 的圖象過(-1, 1)、( 2,- 1)兩點(diǎn)，下列關(guān)于這個(gè) )214、 （2010 浙江臺(tái)州市）如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（1, 4）和（4, 4）,拋物線y = a（x - m）2- n的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-3，則 點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為（）A. 3B . 1C. 5D.

15、815、（2010 安徽蚌埠）已知函數(shù)y = 3-（x - m）（x - n）,并且a, b是方程3-（x-m）（x- n） = 0的兩個(gè)根，則實(shí)數(shù)m, n,a,b的大小關(guān)系可能是A.m a：b nB .m a：n：bC .a：m b：nD.a：m：n：b16、(2011 湖北黃石，9, 3 分)設(shè)一元二次方程(x 1) ( x 2) =m(m0)的兩實(shí)根分別為a 3,且aB Va,3滿足 A. 1a32 B. 1a2 3C.a132 D.a22、如圖，點(diǎn) A 在 x 軸上，OA=4，將線段 OA 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120 至 OB 的位置.（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過點(diǎn) A .

16、O、B 的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn) P、O、B 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.下列結(jié)論：ac 0;a+b=0;4ac b =4a:a+b+c0時(shí)，2-1vx0:2a+b 0:a+b m （am+b） （ml 的實(shí)數(shù)）a+c)2 1其中正確的項(xiàng)是（） A .B .C .D .B、12ax2+ bx+c3、 2009 威海)如圖， 在直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn) A,B,C A,B,C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線， D 為對(duì)稱(1)求拋物線的解析式；(2)求當(dāng) AD+CD 最小時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作

17、。A.1證明：當(dāng) AD+CD 最小時(shí)，直線 BD 與OA 相切.2寫出直線 BD 與OA 相切時(shí)，D 點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo):6、(2009 年濟(jì)南)已知：拋物線的對(duì)稱軸為與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中A -3,0、CO,- 2.(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2) 已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn) P,使得PBC的周長最小.請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo).(3) 若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) 0、點(diǎn) C 重合).過點(diǎn) D 作DE/PC交x軸于點(diǎn)E.連接PD、PE.設(shè)CD的長為m,PDE的面積為S求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式試說明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 24、(2010 山東聊城)如圖，已知拋物線y=ax+bx+c(az0)的對(duì)稱軸為x= 1,且拋物線經(jīng)過A(1, 0)、C(0, 3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=1 上求一點(diǎn)M使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求此 時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=1 上的一動(dòng)點(diǎn)，求使/PCB=90o 的點(diǎn)P的坐標(biāo).27 .已知拋物線y=ax+bx+ c 經(jīng)過A 1,0)、耳 3 ,0