三角函數(shù)、不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題型一函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)(xR).其中aR.(1)當(dāng)a1時(shí),求曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程；(2)當(dāng)a0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.解(1)當(dāng)a1時(shí),f(x),f(2),又f(x),f(2).所以,曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y(x2),即6x25y320.(2)f(x).由于a0,以下分兩種情況討論.當(dāng)a0,令f(x)0,得到x1,x2a.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表：x(,)(,a)a(a,)f(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在區(qū)間,(a,)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).函數(shù)f(x

2、)在x1處取得極小值f,且fa2.函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(a),且f(a)1.當(dāng)a0時(shí),令f(x)0,得到x1a,x2,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表：x(,a)a(a,)(,)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在區(qū)間(,a),內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).函數(shù)f(x)在x1a處取得極大值f(a),且f(a)1.函數(shù)f(x)在x2處取得極小值f(),且fa2.答題過(guò)程：第一步：確定函數(shù)的定義域.如此題函數(shù)的定義域?yàn)镽.第二步：求f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x).第三步：求方程f(x)0的根.第四步：利用f(x)0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成假設(shè)干個(gè)

3、小開(kāi)區(qū)間,并列出表格.第五步：由f(x)在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f(x)在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.第六步：明確標(biāo)準(zhǔn)地表述結(jié)論.第七步：反思回憶.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題標(biāo)準(zhǔn).如此題中f(x)0的根為x1,x2a.要確定x1,x2的大小,就必須對(duì)a的正、負(fù)進(jìn)行分類討論.這就是此題的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn).訓(xùn)練1設(shè)f(x),其中a為正實(shí)數(shù).(1)當(dāng)a時(shí),求f(x)的極值點(diǎn)；(2)假設(shè)f(x)為R上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.題型二導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題例2設(shè)函數(shù)f(x)定義在(0,)上,f(1)0,導(dǎo)函數(shù)f(x),g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系；(3

4、)是否存在x0>0,使得|g(x)g(x0)|<對(duì)任意x>0成立？假設(shè)存在,求出x0的取值范圍；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解(1)由題設(shè)易知f(x)ln x,g(x)ln x,g(x),令g(x)0,得x1,當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間,當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)>0.故(1,)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間,因此,x1是g(x)的唯一極值點(diǎn),且為極小值點(diǎn),從而是最小值點(diǎn),所以最小值為g(1)1.(2)gln xx,設(shè)h(x)g(x)g2ln xx,則h(x),當(dāng)x1時(shí),h(1)0,即g(x)g,當(dāng)x(0,1)(1,)時(shí),h(x)<

5、0,h(1)0,因此,h(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時(shí),h(x)<h(1)0,即g(x)<g.當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)>h(1)0,即g(x)>g,(3)滿足條件的x0不存在.證明如下：假設(shè)存在x0>0,使|g(x)g(x0)|<對(duì)任意x>0成立,即對(duì)任意x>0,有l(wèi)n x<g(x0)<ln x,(*)但對(duì)上述x0,取x1e 時(shí),有l(wèi)n x1g(x0),這與(*)左邊不等式矛盾,因此,不存在x0>0,使|g(x)g(x0)|<對(duì)任意x>0成立.答題過(guò)程：第一步：構(gòu)造函數(shù)h(x)g(x)g；第

6、二步：根據(jù)求單調(diào)性、極值的步驟探求函數(shù)h(x)的單調(diào)性；第三步：根據(jù)h(x)的單調(diào)性比較h(x)和0的大??；第四步：下結(jié)論,反思回憶.訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)(x23x3)ex,x2,t (t>2). (1)當(dāng)t<1時(shí),求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)f(2)m,f(t)n,求證：m<n.題型三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例3已知f(x) (xR)在區(qū)間1,1上是增函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A；(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2,試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2tm1|x1x2|對(duì)任意aA及t1,1恒成立？假設(shè)存在,求出m的取值范圍；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理

7、由.解(1)f(x).f(x)在1,1上是增函數(shù),f(x)0對(duì)x1,1恒成立,即x2ax20對(duì)x1,1恒成立.設(shè)(x)x2ax2,1a1.對(duì)x1,1,f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a1時(shí),f(1)0以及當(dāng)a1時(shí),f(1)0,Aa|1a1.(2)由,得x2ax20.a28>0,x1,x2是方程x2ax20的兩個(gè)非零實(shí)根,x1x2a,x1x22,從而|x1x2|.1a1,|x1x2|3.要使不等式m2tm1|x1x2|對(duì)任意aA及t1,1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)m2tm13對(duì)任意t1,1恒成立.即m2tm20,對(duì)任意t1,1恒成立.設(shè)g(t)m2tm2mt(m22),則m2或m2.綜上知：存在實(shí)數(shù)m,

8、使得不等式m2tm1|x1x2|對(duì)任意aA及t1,1恒成立,其取值范圍是m|m2或m2.答題過(guò)程：第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形如不等式f(x)a(或f(x)a)恒成立的問(wèn)題.第二步：求函數(shù)f(x)的最小值f(x)min或f(x)的最大值f(x)max.第三步：解不等式f(x)mina(或f(x)maxa).第四步：明確標(biāo)準(zhǔn)地表述結(jié)論.第五步：反思回憶.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及標(biāo)準(zhǔn)解答.如此題重點(diǎn)反思每一步轉(zhuǎn)化的目標(biāo)及合理性,最大或最小值是否正確.訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)aln xbx2圖象上點(diǎn)P(1,f(1)處的切線方程為2xy30.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)函數(shù)g(x)f(x)mln 4,假

9、設(shè)方程g(x)0在上恰有兩解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)練習(xí)：1.假設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域是0,2，則函數(shù)g(x) 的定義域是 ()A.0,1 B.0,1)C.0,1)(1,4 D.(0,1)2.設(shè)函數(shù)g(x)x22(xR)，f(x)則f(x)的值域是()A.，0(1，) B.0，)C.，) D.，0(2，)3.假設(shè)方程xlg(x2)1的實(shí)根在區(qū)間(k，k1) (kZ)上，則k等于()A.2 B.1C.2或1 D.04.已知函數(shù)f(x)x3x，對(duì)任意的m2,2，f(mx2)f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為_(kāi).5.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0x<2時(shí)，

10、f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.96.已知函數(shù)f(x)log2(x22x3)，則使f(x)為減函數(shù)的區(qū)間是 ()A.(3,6) B.(1,0)C.(1,2) D.(3，1)7.如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a> B.aC.a<0 D.a08.設(shè)函數(shù)f(x)xln x (x>0)，則yf(x)()A.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B.在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C.在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D.在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)9.函

11、數(shù)f(x)cos x在0，)內(nèi)()A.沒(méi)有零點(diǎn) B.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D.有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)10.設(shè)alog3，blog2，clog3，則()A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a11.定義xy3xy，則a(aa)等于()A.a B.3a C.a D.3a12/已知函數(shù)yf(x)的周期為2，當(dāng)x1,1時(shí)f(x)x2，那么函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)y|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有()A.10個(gè) B.9個(gè) C.8個(gè) D.1個(gè)13.已知函數(shù)f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)

12、間；(3)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)x3·ex，假設(shè)函數(shù)g(x)在x3，2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.14.已知函數(shù)f(x)aln x(a0，aR).(1)假設(shè)a1，求函數(shù)f(x)的極值和單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)a<0且在區(qū)間(0，e上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.15.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，(2,0)，如下列圖，則以下說(shuō)法中不正確的選項(xiàng)是_.(填序號(hào)) 當(dāng)x時(shí)函數(shù)取得極小值； f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)x2時(shí)函數(shù)取得極小值；當(dāng)x1時(shí)函數(shù)取得極大值.不等式不等式的恒成立，能成立，恰成立等問(wèn)題(

13、1)恒成立問(wèn)題假設(shè)不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min>A；假設(shè)不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max<B.(2)能成立問(wèn)題假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max>A；假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min<B.(3)恰成立問(wèn)題假設(shè)不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)>A的解集為D；假設(shè)不等式f(x)<B在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)<B的解集

14、為D.1.設(shè)變量x，y滿足則2x3y的最大值為()A.20 B.35 C.45 D.552.設(shè)a>0，b>0.假設(shè)是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A.8 B.4 C.1 D.3.假設(shè)函數(shù)f(x)x (x>2)在xa處取最小值，則a等于()A.1 B.1C.3 D.44.設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x3y1的最大值為()A.11 B.10 C.9 D.8.55.已知函數(shù)(I)求不等式6的解集；()假設(shè)關(guān)于的不等式>恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍6.已知函數(shù)()假設(shè)不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；()在()的條件下，假設(shè)存在實(shí)數(shù)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍三角函數(shù)1.

15、已知函數(shù)f(x).(1)求f(x)的定義域；(2)假設(shè)角在第一象限,且cos ,求f().2.已知<x<0,sin xcos x,求cos xsin x的值.3.已知函數(shù)f(x)cos2,g(x)1sin 2x. (1)設(shè)xx0是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對(duì)稱軸,求g(x0)的值；(2)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.4.已知函數(shù)f(x)2sin x(sin xcos x),x,求函數(shù)f(x)的最大值.在銳角ABC中,已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,且 (tan Atan B)1tan A·tan B,又已知向量m(sin A,cos A),n(c

16、os B,sin B),求|3m2n|的取值范圍.5.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大??；(2)假設(shè)sin Bsin C,試判斷ABC的形狀.6.在ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且a2c2b2ac.(1)求2sin2sin 2B的值；(2)假設(shè)b2,求ABC面積的最大值.7.已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)ysin(x) (>0，<)的圖象如下列圖，則_.9.如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么|的最小值為 ()A. B. C. D.10.已知函數(shù)f(x)sin xcos x，xR，假設(shè)f(x)1，則x的取值范圍為 ()A.