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1、勾股定理及應(yīng)用 勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠,在西方數(shù)學(xué)史上稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理” 例1 已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2,周長(zhǎng)是2+,求這個(gè)三角形的面積 分析 由斜邊長(zhǎng)是2,周長(zhǎng)是2+,易知兩直角邊的和是,又由勾股定理可知兩直角邊的平方和為4,列關(guān)于兩直角邊的方程,只需求出兩直角邊長(zhǎng)的積,即可求得三角形的面積本題中用到數(shù)學(xué)解題中常用的“設(shè)而不求”的技巧,要熟練掌握 解:設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b,根據(jù)題意列方程得: 即 式兩邊同時(shí)平方再減去式得: 2ab=2, ab= S=因此,這個(gè)三角形的面積為 練習(xí)11已知:如圖2-1,AD=4,CD=3,ADC=90°,AB=13,AC
2、B=90°,求圖形中陰影部分的面積2-12已知:長(zhǎng)方形ABCD,ABCD,ADBC,AB=2,ADDC,長(zhǎng)方形ABCD的面積為S,沿長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新長(zhǎng)方形,求這個(gè)新長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng) 3若線段a、b、c能組成直角三角形,則它們的比值可以是( ) A1:2:4 B1:3:5 C3:4:7 D5:12:13 例2 如圖2-2,把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊起來,使其對(duì)角頂點(diǎn)A、C重合,若其長(zhǎng)BC為a,寬AB為b,則折疊后不重合部分的面積是多少? 分析 圖形沿EF折疊后A、C重合,可知四邊形AFED與四邊形CFED全等,則對(duì)應(yīng)邊、角相等,AF=FC,且FC=AE,則ABFAD
3、E,由三角形面積公式不難求出不重合部分的面積 解:圖形沿EF折疊后A、C重合, 2-2 四邊形AFED與CFED關(guān)于EF對(duì)稱, 則四邊形AFED四邊形CFED AFE=CFE AF=FC,D=D=B=90° AB=CD=AD ADBC, AEF=EFC AEF=AFE 則AE=AF RtABFRtADE 在RtABF中,B=90°, AB2+BF2=AF2 設(shè)BF=x,b2+x2=(a-x)2, x= 2-3 S=2SABF=2×bx=2×·b·= 練習(xí)21如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊,使點(diǎn)C落在C的位置上,已知AB=
4、3,BC=7,重合部分EBD的面積為_2如圖2-4,一架長(zhǎng)2.5m的梯子,斜放在墻上,梯子的底部B離墻腳O的距離是0.7m,當(dāng)梯子的頂部A向下滑0.4m到A時(shí),梯子的底部向外移動(dòng)多少米?2-4 3如圖2-5,長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3,BC=4,若將該矩形折疊,使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合,則折疊后痕跡EF的長(zhǎng)為( )A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-5 例3 試判斷,三邊長(zhǎng)分別為2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n為正整數(shù))的三角形是否是直角三角形? 分析 先確定最大邊,再利用勾股定理的判定定理判斷是否為直角三角形 解:n為正整數(shù), (2n2+2n+1)-(2n2+2n) =2n
5、2+2n+1-2n2-2n=1>0, (2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0 2n2+2n+1為三角形中的最大邊 又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1 (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2這個(gè)三角形是直角三角形 練習(xí)3 1若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,則ABC是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形2如圖2-6,在正方形ABCD中,F(xiàn)為DC的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn),且E
6、C=BC,猜想AF與EF的位置關(guān)系,并說明理由 2-6 3ABC中的三邊分別是m2-1,2m,m2+1(m>1),那么( ) AABC是直角三角形,且斜邊長(zhǎng)為m2+1 BABC是直角三角形,且斜邊長(zhǎng)為2m CABC是直角三角形,但斜邊長(zhǎng)由m的大小而定 DABC不是直角三角形 例4 已知:如圖2-7所示,ABC中,D是AB的中點(diǎn),若AC=12,BC=5,CD=65 求證:ABC是直角三角形 分析 欲證ABC是直角三角形,在已知兩邊AC、BC的情況下求邊AB的長(zhǎng),比較困難;但注意到CD是邊AB的中線,我們延長(zhǎng)CD到E,使DE=CD,從而有BDEADC,這樣AC、BC、2CD就作為BCE的三邊
7、,再用勾股定理的逆定理去判定 證明:延長(zhǎng)CD到E,使DE=CD,連結(jié)BE 2-7 AD=BD,CD=ED,ADC=BDE ADCBDE(SAS) BE=AC=12 A=DBE ACBE 在BCE中,BC2+BE2=52+122=169 CE2=(2CD)2=(2×6.5)2=169 BC2+BE2=CE2 EBC=90° 又ACBE, ACB=180°-EBC=90° ABC是直角三角形 練習(xí)4 1已知a、b、c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a2-b2,試判斷ABC的形狀 先閱讀下列解題過程: 解:a2c2-b2c2=a4-b4, c2(a2
8、-b2)=(a2+b2)(a2-b2) c2=a2+b2 ABC為直角三角形 問:(1)上述推理過程,出現(xiàn)錯(cuò)誤的一步是_; (2)本題的正確結(jié)論是_2如圖2-8,ABC的三邊分別為AC=5,BC=12,AB=13,將ABC沿AD折疊,使AC落在AB上,求折痕AD的長(zhǎng)3如圖2-9,ABC中,ACB=90°,AC=BC,P是ABC內(nèi)一點(diǎn),滿足PA=3,PB=1,PC=2,求BPC的度數(shù) 例5 如圖2-10,ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一點(diǎn),且ADAC,求BD的長(zhǎng) 分析 若作AEBC于E,如圖2-11,利用勾股定理可求出AE=12,AD是RtADC的直角邊 AD=CD
9、-AC,若設(shè)DE=x,借助于AD這個(gè)“橋”可以列出方程 解:作AEBC于E 2-10 AB=AC,AEBC, BE=EC=BC=×32=16 在RtAEC中, AE2=AC2-CE2=202-162=144, AE=12 2-11 設(shè)DE=x, 則在RtADE中,AD2=AE2+DE2=144+x2, 在RtACD中,AD2=CD2-AC2=(16+x)2-202 144+x2=(16+x)2-202 解得x=9BD=BE-DE=16-9=7 練習(xí)5 1如圖2-12,ABC中,C=90°,M是BC的中點(diǎn),MDAB于D求證:AD2=AC2+BD22-122如圖2-13,ABA
10、D,AB=3,BC=12,CD=13,AD=4,求四邊形ABCD的面積2-13 3如圖2-14長(zhǎng)方體的高為3cm,底面是正方形,邊長(zhǎng)為2cm,現(xiàn)有繩子從A出發(fā),沿長(zhǎng)方形表面到達(dá)C處,問繩子最短是多少厘米?2-14勾股定理及應(yīng)用答案:練習(xí)1124(提示:利用勾股定理即可求出)2長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸有2條,要分別討論: (1)以A、B為對(duì)稱點(diǎn)(如圖) S=AB×BC,AB=2, BC=AD= 根據(jù)對(duì)稱性得DF=AB=1 由于D=90°,據(jù)勾股定理得: AF= (2)以A、D為對(duì)稱點(diǎn)(如圖) BF=BC=由B=90°,據(jù)勾股定理得: AF= 3D練習(xí)21(提示:利用RtABE
11、的勾股定理即可求出) 20.8m 3B練習(xí)31B 2AFEF(提示:連結(jié)AE,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,則DF=FC=,EC=,在RtADF中,由勾股定理得: AF2=AD2+DF2=a2+()2=a2同理:在RtECF中,EF2=()2+()2=a2,在RtABE中,BE=a,則AE2=a2+a2=a2 a2+a2=a2, AF2+EF2=AE2 AFE=90° AFEF3A(點(diǎn)撥:利用勾股定理的逆定理來判定)練習(xí)41(1)、 (2)ABC為直角三角形或等腰三角形2AC2+BC2=52+122=132=AB2, C=90° 將ABC沿AD折疊,使AC落在AB上,C的對(duì)稱點(diǎn)為E(
12、如圖) CD=DE, AC=AE=5 則ACDAED 又BE=AB-AE=8 設(shè)CD為x,則x2+82=(12-x)2 解之得x= AD2=52+()2 AD=3過點(diǎn)C作CECP,并截CE=CP=2,連結(jié)PE,BE(如圖) ACB=PCE=90°, ACB-PCB=PCE-PCB 即ACP=BCE PCAECB(SAS) BE=AP=3 在RtPCE中, PE2=PC2+CE2=8 又BP2=1,BE2=9, BE2=BP2+PE2 PBE是直角三角形,其中BPE=90° 在RtPCE中,PC=CE, CPE=CEP=45° BPC=CPE+BPE=45°+90°=135°
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