基于能量的彈塑性損傷實用本構(gòu)模型

1、第 30 卷第 5 期2013 年 5 月Vol.30 No.5May 2013工程力學ENGINEERING MECHANICS172文章編號：1000-4750(2013)05-0172-09基于能量的彈塑性損傷實用本構(gòu)模型齊 虎 1，李云貴 1，呂2(1.科學，100013；2. 同濟大學結(jié)構(gòu)工程與防災研究所，上海 200092)摘 要：建立一個實用的彈塑性損傷本構(gòu)模型。在有效應力空間采用經(jīng)驗公式計算塑性變形，能將模型塑性部分與損傷部分解耦，降低模型的數(shù)值處理復雜性，同時大大簡化模型塑性應變的計算。結(jié)合不可逆熱力學理論，基率由后的彈性Helmholtz能導出，模型中將彈性Helmholt

2、z于損傷能量率建立損傷準則，損傷能量能分解為應力球量部分和應力偏量部分，將其應力球量部分產(chǎn)生的損傷取為零，同時根據(jù)應力狀態(tài)引入折減系數(shù)對其應力偏量部分進行，使得模型能較為準確的模擬混凝土材料在雙軸加載下的本構(gòu)行為。將應力譜分解為正、負兩部分以分別定義材料受拉、受壓損傷演化，并采用受拉損傷變量、受壓損傷變量分別模擬混凝土材料在拉、壓加載下的本構(gòu)特性。引入一個加權(quán)損傷變量使得模型能較準確的反映混凝土材料的“拉-壓軟化效應”。最后該文給出初步試驗驗證，證明了該文模型的有效性。：彈性Helmholtz號：TU313能；混凝土；本構(gòu)模型；損傷力學；損傷能量率文獻標志碼：Adoi: 10.6052/j.i

3、ssn.1000-4750.2012.01.0034A PRACTICAL ELASTIC PLASTIC DAMAGE CONSTITUTIVE MBASED ON ENERGYQI Hu1 , LI Yun-gui1 , L Xi-lin2(1.Academy of Building Research,100013,;2. Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction, Tongji University, Shanghai 200092,)Abstract:In this article, an energy bas

4、ed practical elastic plastic damage constitutive mis established. Theeffective stress space concept is adopted which can decouple the damage and plastic processes. Empirical formulais used to determine the plastic deformations in effective stress space which can improve the calculation efficiency. W

5、ithin a framework of irreversible thermodynamics, the damage criteria are based on elastic damage energyrelease rate which is derived from the modified elastic Helmholtzenergy. In order to improve the accuracy ofthe munder biaxial loading, the Helmholtzenergy is decomposed into hydrostatic and devia

6、toric stresscomponents in which the damage evolution produced by hydrostatic stress component is neglected. Thus, thecalculations efficiency is improved to beof iteration and the deviatoric stress component is amendedaccording to stress state. The stress tensor is spectral decomposed into tensile an

7、d compressive components inorder to reflect different damage evolutions, and a tensile and a compressive damage variables are used tosimulate different responses of the concrete under tension and compression. Finally,the proposed mvalidated by several numerical simulations.isKey words:Helmholtzratee

8、nergy; concrete; constitutive m; damage mechanics; damage energy release收稿日期：2012-01-11；修改日期：2012-03-28基金項目：“十一五”科技支撐計劃課題項目“既有安全性改造研究”(2006BAJ03A03)通訊作者：李云貴(1962)，男，遼寧錦州人，研究員，博士后，副總工程師，長期從事結(jié)構(gòu)系列CADPKPM的開發(fā)及相關(guān)研究工作(作者簡介：齊呂: liyungui虎(1982)，男，.com).公安人，工學博士，主要從事鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析的研究工作(: qihu_810)；: lxlst).(195

9、5)，男，陜西人，教授，工學博士，博導，長期從事抗震和減震研究(173工程力學Helmholtz混凝土力學性能在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的設計、分能進行了以建立損傷演化方程，析中。損傷本構(gòu)模型和塑性本構(gòu)模型是描他們認為純靜水對損傷的影響沒有應力偏量大，將彈性 Helmholtz述混凝土非線性本構(gòu)行為的兩種基本模型，前者通過一系列內(nèi)變量描述微裂紋的開裂、發(fā)展以及應變軟化對混凝土力學性能的影響14，后者通過定義能分解為應力偏量部分和應力球量部分，引入損傷折減系數(shù)弱化應力球量對材料產(chǎn)生的損傷，了模型的計算準確度，但屈服面、塑性法則等，來描述混凝土的硬化、損傷折減系數(shù)的引入使得損傷能量率的求解軟化行為56。在混

10、凝土材料的分析中，獲得加載需要迭代增加了模型的復雜性且模型對混凝土雙過程中的剛度，而這一點塑性力學無軸受壓加載計算結(jié)果仍與試驗結(jié)果一定差異。法做到，損傷力學能夠計算材料的剛度卻不能本文建立一個基于能量的彈塑性損傷本構(gòu)模型。為了降低模型數(shù)值處理復雜性，在有效應力空間計算塑性變形?？紤]到如采用傳統(tǒng)塑性力學計算塑性應變1213模型數(shù)值算法復雜、計算效率較低、獲得材料卸載過程中的不可逆變形，因此將塑性力學和損傷力學結(jié)合起來建立彈塑性損傷本構(gòu)模型以準確的反映混凝土材料的復雜非線性本構(gòu)行為得到廣泛認同1,710。由于混凝土材料的復雜性，為了準確描述其非線性本構(gòu)行為，學者們提出了多個彈塑性損傷本構(gòu)模型，此類

11、模型大多數(shù)值處理復雜、計算效率數(shù)值性較差，本文將塑性變形作為一種整體效應考慮，采用經(jīng)驗表計算塑性變形9，這樣處理大大提高了模型計算效率和數(shù)值性。本文模型基于各向同性損傷準則，采用受拉損傷變量、受壓損傷變量分別描述混凝土材料在拉、壓應力作用下的損傷演化。建立損傷準則時，對彈低、性不好阻礙了它們在實際工程中的應用。本文的目的是提出計算效率高、數(shù)值性好、同性 Helmholtz時具有一定準確度的實用彈塑性損傷本構(gòu)模型。彈塑性損傷本構(gòu)模型分為兩類，一類是在塑性做了，將其分解為應力偏量部分和應力球量部分，通過計算結(jié)果與試驗結(jié)果的比較表明不考慮其應力球量部分產(chǎn)生的損傷更符合實際情況且能提高模型的計算準確度

12、，同時為了進一步提高模型對混凝土材料在雙軸加載下的模擬準確度引入折減系數(shù)對其應力偏量部分做了修正。通過幾個算例初步證明了本文模型的有效性。1 理論基礎1.1 彈塑性損傷本構(gòu)本文模型在有效應力空間計算塑性變形，采用損傷力學模擬材料的剛度 ，并假設材料處于小變形、等溫、靜載狀態(tài)下。由等效應變假設能將材料從有效(非損傷)構(gòu)型轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶋H(損傷)構(gòu)型1,12，即：非損傷構(gòu)型的應變與損傷構(gòu)型相等。本構(gòu)模型中引入損傷變量以描述材料剛度，此類模型損傷變量與塑性變形的耦合較為復雜，在數(shù)值分析中效率低、性差。另一類是在有效應力空間計算塑性應變以模擬不可逆塑性變形，而損傷力學用來反映材料的剛度的計算與塑性應變的計算

13、，這樣能將剛度，可以分別計算剛度和塑性應變從而降低數(shù)值處理的復雜性。損傷力學的關(guān)鍵是選取合適的損傷變量以及確定相應的損傷準則：目前，學者們?yōu)榱私档湍Ｐ蛷碗s性大多采用各向同性損傷模型，采用受拉損傷變量、受壓損傷變量1,910以分別反映混凝土材料截然不同的受拉、受壓損傷特性；由于具有熱力學基礎，損傷能量率被廣泛的用來建立損傷準則1011。Helmholtz，此類模型中損傷能量率由彈性e = e e + e p導出時，模型在應力狀態(tài)下的ijijij(1)e = e e + e p分析結(jié)果均與試驗數(shù)據(jù)相當?shù)牟罹?，為吻合試ijijijeij = eij，可分解為彈性應變驗結(jié)果部分模型不得不采用依據(jù)經(jīng)驗給

14、定損傷準10。、營10認為塑性變形對裂縫式中：e 為應變e e 和則的ij塑性應變有效應變。ij的萌生和演化會產(chǎn)生較大影響， 應考慮塑性e p 兩部分； e 、e e 、e p 分別表示ijijijijHelmholtz能，據(jù)此他們采用受拉損傷變量和、有效彈性應變、有效塑性應變受剪損傷變量反映微觀損傷對混凝土材料宏觀力學性能劣化的影響取得了和試驗符合較結(jié)果。對式(1)求導，可得：Voyiadjis 和 Taqieddin1、Tao 和 Phillips11對彈性174工程力學h& = sije&ij -y& 0將式(10)對時間求導并代入式(11)得：(11) &e = e& + e&epij

15、ijij& e& = e(2)e&= e& e + e& pijijijijijy e yy pk&有效應力s ij (無損構(gòu)型下的應力)為：&s -e&e -d + s: e -k 0 :& pijijijijeeds = E e e = E(e - e p )(3)ijijijkl ijijklijij對式(3)求導可得：(12)由于e&e 的任意性，則：s&= E e&e = E(e& - e& p )(4)ijijijkl ijijklijijy e式中， E為材料的有效彈性剛度。s ij =(13)ijkl在損傷構(gòu)型下式(3)可寫為：e eij- ys = E(d )e e = E(

16、d )(e- e p )d& 0(5)。(14)ijijklijijklijijd式中， Eijkl 表示損傷構(gòu)型下材料的彈性剛度y pks : e& p -k& 0(15)ijij對各向同性損傷模型，如用一個加權(quán)損傷變量與 Cauchyd 反映材料的損傷程度，則有效應力式(13)導出應力-應變的全量，式(14)是釋放不等式， - y d& 表示損傷過程的能量應力如下：s ij = (1 - d )sij。(6)d與 d 共軛的損傷能量率Y ，可表示為：由式(3)、式(5)、式(6)可得：yE(d ) = (1 - d )E(7)(8)Y =- d(16)ijklijkls = (1 - d

17、) E(e - e p )ijijklijij假設損傷只影響彈性 Helmholtz能可得：式(8)對時間求導可得：y eY = Y = -e(17)&s& = (1 - d ) E(e& - e& )- dE(e- e p ) (9)pdijijklijijijklijij將式(17)代入式(14)可得：Yd& 0式(18)為損傷變量增量與損傷能量式(9)反映了彈塑性損傷本構(gòu)，由式(9)可知模型的關(guān)鍵是求解塑性應變e p 和損傷變量(18)率的標ijd 。圖 1 給出了加載下模型的求解示意圖。量積，和 Drucker性假設s e& p 0 類似。因此，ij ij有效應力s與塑性力學類似如果定

18、義損傷面：g = g(eij ,Y , d ) = 0(19)則損傷變量增量可用法則表示如下：gCauchy應力s = (1 - d )s& d = l(20)Ed Ye(1 - d )E p&式中， ld 為損傷一致參數(shù)，為非負標量。2 本文模型2.1 塑性應變的求解本文在有效應力空間求解塑性應變，由于傳統(tǒng)塑性力學涉及到的數(shù)值算法比較復雜，本文采用經(jīng)o圖 1應變e加載下模型求解示意圖Fig.1The munder 1-D loading1.2熱力學基礎考慮一個理想脆性固體在等溫條件下受到靜載作用，Helmholtz能y 可定義如下：計算塑性應變9,14：y (e e ,k , d ) =y

19、e (e e , d ) +y p (k , d )驗表(10)ijije& p = b EH (d& - ) I: e&D: I(21)式中：k 為描述材料塑性特性的內(nèi)變量；y (ee , d )es ijs ijijp式中：b p 為ijijklij塑性應變大小的參數(shù)；Dijkl 為有效能；y p (k , d ) 為材料塑為材料彈性 Helmholtz= s ij / | sij | ，| s ij | =sij :sij；Isij；E性 Helmholtz能。柔度根據(jù)熱力學第二定律的 Clausius-Duham 不等式，對等溫絕熱過程，熵的產(chǎn)生率h& 可表示為：為彈性模量； H ()

20、 表示 Heaviside 函數(shù)。應力s175工程力學式(21)大大簡化了塑性應變的計算，其特點如下：1) 本文模型的建立是為了分析大型復雜結(jié)構(gòu)，將式(26)代入式(25)可得：1s + 1 sys D d +e=(1 - d ) s Dij ijkl klmm ij ijkl kl23d D s + 1 (1 - d ) 1 (s1 s這種計算精度雖然不如經(jīng)典塑性力學，但能大)2d D dmm ij ijkl kl 9mmij ijkl kl 32大提高模型計算效率并增強模型數(shù)值性。2) 當受壓損發(fā)展即 d&- 0 時，H (d&- ) 0 此時(27)采用 Voigt 標記，則混凝土材料的

21、有效柔度張量可表示為：e& p 0 ，塑性應變發(fā)展，否則e& p = 0 。故模型只能ijij考慮材料受壓加載時的塑性變形，與實際情況一定的差異。因為混凝土材料受拉加載產(chǎn)生的塑性應變較小，所以模型能滿足實用要求。-n1-n-n-n1 1-n1 -n3) 式(21)假設彈性應變方向 D:sD=為塑性流ijklijijkl2(1 +n )E動方向， b EH (d& - ) I: e&/ | s | 可視為塑性流2(1 +n )ps ijijij2(1 +n )動因子。這種通過相關(guān)物理機制分析給出的塑性流動因子經(jīng)驗表能提高計算效率。(28)式中，n 為泊松比。有效應力增量可表示為：s&= E(e&

22、 - e& p )1 ss D d = 1 s(22)d D s =ijijklijijmm ij ijkl klmm ij ijkl kl33將式(21)代入式(22)得：s mm (1 - 2n )(s11 + s22 + s33 )s&= E(e& - b EH (d&- )(29): e&ID: I) (23)s ijsij3Eijijklijpijkl由 s11 + s22 + s33 = s11 + s 22 + s 33 - s mm = 0 得：2.2 損傷變量的求解2.2.1 文11采用的彈性 Helmholtz1 ss D d = 1 sd D s = 0能(30)mm i

23、j ijkl klmm ij ijkl kl33由1.2 節(jié)可知，應基于彈性Helmholtz能y e式(27)可寫為：求解損傷變量，但此時計算結(jié)果與試驗結(jié)果較y e = 1 (1 - d )(s D大差異1,1112，文11對其做了s ) +，本文采用的ij ijkl kl212彈性 Helmholtz能是在文11模型基礎上經(jīng)過 1smm dij Dijkldkl (1 - d )(2)(31)得到，將在 2.2.4 節(jié)采用的彈性 Helmholtz。本文首先文11能。9式(31)第一項是彈性 Helmholtz能的應力在有效應力空間采用 2.1 節(jié)提出求解材料偏量部分，而第二是其應力球量部

24、分。有效應力s 、應變e p 后，材料有效彈性ijij基于彈性 Helmholtz型計算結(jié)果與試驗結(jié)果能建立損傷準則時模較大差異1,1011，為了Helmholtz能y e 可表示為：y e = 1 sD s= 1 s提高模型準確度 Tao 和 Phillips11引入損傷折減系e e(24)ij ijkl klij ij數(shù) b ( 0 b 0 的項求和即可得到s 譜分g = Y - Y - Z ij(45)損傷面的0式中， Z 為損傷變量 d 的函數(shù)， 發(fā)展。解正分量s ：+ijs + = H (s1 )s1P1P1 + H (s 2 )s 2 P2 P2 +iji jijH (s3 )s3

25、 P3P3由正交法則，可得損傷變量的演化法則：(37)ij主應力s k 可表示為：g &d = l (46)dY s k代入式(37)得：= PiksPk(38)式中， l& 為損傷一致參數(shù)。ij jd損傷加載條件，即 Kuhn-Tucker為：s + = H (s1 )P1s P1P1P1 +l& 0 ， g 0 ， l g = 0(47)ijiij j i jddH (s 2 )P2s P2 P2 P2 +&當 g 0 時可以得到l = 0 ， d = 0 ，此時處iij j ijdH (s3 )P3sP3 P3 P3(39)于彈性加載、損傷卸載或者中性變載階段，損傷不iij j ij進一

26、步發(fā)展；當l& 0 ，此時處于損傷加載狀態(tài)，定義：d由式(47) g = 0 即：g = Y - Y - Z = 03P = H (s )(Pi Pj Pi Pj ) k+kkkk(40)(48)k =1P- = I - P+0取 Z 為1,11：1則：d b1s = P+s ijZ = Y - Y0 =(49)ija 1 - d (41)s - = s - s + = P-sijijijij則：式中， P+ 、 P- 表示s 的正、負投影。1ijd = G (Y ) = 1 -=1 + (a Z )b1為了準確的描述單邊效應和混凝土本構(gòu)，使標量損傷變量 d + 、d - 以分別考慮拉、壓損傷

27、演化的不同1,9,1112，同時為了解決模型拉、1 -(50)b1 + (a Y - Y0 )壓損傷面相進而導致計算不收斂的問題，參照式(50)中 a 、b 、Y 為材料參數(shù)，均為正數(shù)，0試驗確定。從式(50)可知Y Tao 和 Phillips11、Voyiadjis 和 Taqieddin1模型采用一個加權(quán)損傷變量 d 反映材料的損傷程度。假設 d可通過混凝土損傷變量的大小，式(44)正是通過Y 以傷變量 d 從而提高模型計算準確度。損與 d + 、 d - 的如下1：177工程力學b = 0.1 、 b = 0.2 時材料承載力很快達到極限。為了更準確反映混凝土材料的“拉-壓軟化效應”本

28、文建議用下式計算加權(quán)損傷變量9：30d = 1 - (1 - s d + ) (1 - d - )(51)b=0b=0.1本文取 s = | s + | / | s | 。20ijij本文假設加權(quán)損傷變量與拉、壓損傷變量b=0.210式(42)，并據(jù)此計算損傷變量，最終卻用式(51)計算加權(quán)損傷變量，目的是為了進一步提高模型在模擬“拉-壓”應力狀態(tài)時的準確度。從后文(3.1 節(jié)) 可以看出這樣處理后，模型能準確模擬混凝土材料在拉-壓加載下的非線性反應。00.0000.0020.0040.0060.008應變e受壓圖 2Fig.21-D compression2.2.4本文采用的彈性 Helmh

29、oltz能函數(shù)采用 2.2.1 節(jié)的對彈性Helmholtz能修30s1s2=11正后模型計算結(jié)果仍與試驗結(jié)果一定差距，同b=0b=0.1時 b 的引入使得式(44)變?yōu)殛P(guān)于Y 的隱式方程，計算時需要迭代，增加了模型的復雜性。本文建議將 b 取為常數(shù)以簡化計算，式(44)中20b=0.210如取 b = 1 ，則等同率完全由彈性 Helmholtz情況此時損傷能量導出，引入 b 后對損00.0000.0020.004應變e20.006傷能量率產(chǎn)生折減。損傷能量率損傷圖 3 雙軸受壓Fig.3 2-D compression應力與抗壓強度比s1/fc變量的演化，由式(50)可知Y 越小 d 越小

30、，因此引入 b 能降低材料的損傷程度，更具體的說是降低了模型中應力球量對材料的損傷作用，如取 b = 0由式(44)可知此時模型完全不考慮應力球量產(chǎn)生的損傷。為了研究 b 取值對模型計算結(jié)果的影響，本文對彈性模量 E = 31000MPa 、泊松比n = 0.2 、抗壓強度 fc = 27.6MPa 的混凝土材料，在不同受壓加載條件、不同 b 取值下，模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果進行了比較( 其他參數(shù)取值 a- = 28MPa-1 ，-11.2-00.8-00.440.00.0-0.4-0.8b=0b=0.1b=0.2b=1Kupfer 等(1969)-1.2-1.2b- = 1.0 ， b = 0

31、.1 + 0.45 s1 / s 2 ， Y - = 0.5 p0(0.25 fc ) (0.25 fc ) / E) )，結(jié)果如圖 2圖 5 所示。圖 2 為 b 取值對受壓應力-應變曲線的影響，由圖 2 可知 b 取值對計算結(jié)果影響不大。圖 3 為 b 取值對雙軸受壓應力-應變曲線的影響，由圖 3 可知隨著 b 的增加，模型計算材料抗壓強度降低。圖 4 為 b 取不同值時，模型雙軸受壓強度包絡圖計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較，由圖 4 可知隨著 b 的減小模型計算結(jié)果越來越接近試驗結(jié)果，但即使取b = 0 模型計算結(jié)果仍與試驗結(jié)果一定差異。圖 5 為三軸加載下 b 取值對計算應力-應變曲圖 4 F

32、ig.4雙軸受壓強度包絡圖2-D strength envelopes1s2s3=111120b=080b=0.140b=0.200.0000.0020.004應變e3三軸受壓0.006線的影響。由圖 5 可知當 b = 0 時，在靜水下圖 5(s1 = s 2 = s 3 ) ，材料承載力呈直線增長，而 Fig.5 3-D compression應力s3/MPa應力s2/MPa應力s/MPa應力與抗壓強度比s2/fc178工程力學加載下( s3 s 2 s1 = 0 )材料強度的提高和加載應力比密切相關(guān)，另外不同應力狀態(tài)下，應力偏量大小相等時(不考慮方向)，應力比能在一定程度上反映應力球量的

33、大小， 本文初步給出如下 g 表：事實上，在高靜水下混凝土材料破壞面沒有閉合的趨勢。典型的混凝土破壞面和屈服面如圖 6 所示，隨著靜水的逐漸增加，微裂紋趨于閉合，混凝土材料基本不發(fā)生損傷，而是表現(xiàn)一定的強化性質(zhì)，這點與圖 5 中 b = 0 時的計算結(jié)果更為符合。g = 1 - 0.265(1 - H (s 2 ) | s 2 / s3 |式中， s2 、s3 分別表示第二、第三主應力。(54)-s1g 與s 2 / s3 之間的o如圖 7 所示。1.00.9屈服面0.8破壞面g0.7-s 20.6圖 6 混凝土屈服面與破壞面Fig.6 The yield surface and fractu

34、re surface of concrete綜合以上分析，本文認為應取 b = 0 ，即：不0.81.0第二、第三s主2 應s 3力比 s2 / s3圖 7g 與s 2 / s3 之間的考慮靜水對混凝土材料產(chǎn)生的損傷，這樣不僅g and s 2 / s3Fig.7 The relationship of提高了模型對混凝土材料在多軸加載下本構(gòu)行為的模擬準確度，而且有一定的物理根據(jù)。取 b = 0 ，由式(44)可得：后模型雙軸受壓強度包絡圖計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較如圖 8 所示。應力與強度比s1/fcs y e1 ij 0.4Y =- d =2 sKupfer

35、等(1969) 模型計算結(jié)果 (sij Dijkl skl )(52) ij 0.0.0由圖 4 可知，取 b = 0 時模型計算準確度有較-1.2- .-0.400.4-0.8-0.4大，但仍不理想。本文認為其主要是：-0.4式(52)只包含應力偏量對材料產(chǎn)生的損傷，而不能考慮應力球量對材料損傷演化的延緩作用。本文認為：同樣大小的應力偏量(不考慮方向)在不同靜水下引起的損傷程度不一樣。當材料處于較高靜-0.8-1.2水下，會變得密實，此時同樣大小應力偏量產(chǎn)圖 8 雙軸應力作用下的強度包絡圖Fig.8 The biaxial strength envelope of concrete對于三軸受

36、壓加載，本文提出的生的材料損傷比低靜水下小。例如：對于受壓加載至(s 0 , 0, 0) 和雙軸受壓加載至(s 0 ,s 0 , 0)能提兩種情況，式(52)計算得到同樣大小的損傷能量釋放率，進而計算得到相同大小的損傷變量，這就導致在單、雙軸加載下模型極限強度計算結(jié)果相近如圖 4 所示，無法真實的反映混凝土材料在雙軸加載下的強度提高現(xiàn)象。基于以上分析，為了準確模擬混凝土材料在雙軸受壓加載下的強度提高現(xiàn)象，本文將式(52)修正為：s 高模型的計算準確度，但結(jié)果仍不夠理想，需要做進一步研究，給出更合適的系數(shù)g 表。33.1算例Kupfer 等(19驗15模擬對 Kupfer 等(1969)雙軸加載

37、強度包絡圖、受壓試驗及等比例雙軸受壓試驗進行了數(shù)值模擬。圖 8、圖 9、圖 10 分別給出了模型分析結(jié)果與試驗結(jié)果比較，參數(shù)取值為：E = 31000MPa ，n = 0.2 ，Y = 1 ij g (s D s)(53)2 sij ijkl klf = 27.6MPa ， f = 3.5MPa ， a- = 28 ， a+ = ij tc7000MPa-1 ， b- = 1 ， b+ = 1.1 ， b = 0.1 + 0.45 式中， g 為本文引入的折減系數(shù)，考慮到雙軸受壓p折減系數(shù)g應力與強度比s2/fc179工程力學s / s ， Y + = 0.5 ( f f / E) ， Y -

38、 = 0.5 (0.25 GGooppaallaarraattnnaamm, (11998855)模模型型計計算算結(jié)結(jié)果果120fc ) (0.25 fc ) / E) 。tt03.0301.5200.00.00000.0002應變e受拉反復加載1-D cyclic tensile test0.000410Kupfer 等(1969) 模型計算結(jié)果圖 12 Fig.1200.0000.0020.004應變e圖 13 給出模型在反復拉壓加載作用下的全曲線示意圖。加載順序為：受拉加卸載(OABO)，受壓圖 9受壓加載Fig.91-D compressive test加卸載(O)，再次受拉加卸載(D

39、EFD)，再次受壓加卸載(DCJH)。30A-1/-1BE20FDO應變e10HKupfer 等(1969) 模型計算結(jié)果00.0000.0010.002應變e20.0030.004GJ圖 10 雙軸受壓加載Fig.10 2-D compressive test壓、拉反復加載分別對受壓反復加載試驗(Sinha, 1964)，受拉反C3.2圖 13反復荷載作用下的數(shù)值模擬Fig.13 Numerical simulation of 1-D cyclic test結(jié)論本文提出了一個基于能量的彈塑性損傷實用復加載試驗(Gopalaratnam, 1985)進行模擬，結(jié)果如圖 11、圖 12 所示，參

40、數(shù)取值分別為 E = 26000MPa ，-1-n = 0.2 ，fc = 32MPa ，a = 17.2MPa ，b = 1.4 ，4b = 0.53 ， Y - = 0.5 （( 0.25 f ）（ 0.25 f ）/ E) ；本構(gòu)模型，該模型具有如下特點：(1) 在有效應力空間采用經(jīng)驗公式計算塑性變形，這樣能將損傷變量的計算與塑性變形的計算解耦降低模型的復雜性，同時大大簡化塑性變形的計算提高計算效率。p0ccE = 31800MPa ， n = 0.2 ， ft = 3.4MPa ， a+ =7000MPa-1 ， b+ = 1.1 ， Y + = 0.5 ( f f / E) 。從0t

41、t圖 11 可知對于受壓反復加載，本文模型計算結(jié)果與試驗符合較好。從圖 12 可知對于受拉反復加載，(2) 建立損傷準則時將彈性 Helmholtz能2.1本文模型不能考慮受拉加載產(chǎn)生的塑性變形與節(jié)分析一致。Sinha 等(1964)分解為應力偏量部分和應力球量部分，認為應將其應力球量部分產(chǎn)生的損傷取為 0，這樣不僅簡化模型的計算而且提高模型的計算準確度；引入?yún)?shù)對模型計算結(jié)果30其應力偏量部分進行，使得模型能較為準確的模擬混凝土材料在雙軸受壓加載下的本構(gòu)行為。(3) 考慮混凝土材料拉、壓本構(gòu)特性的截然不15同，將應力譜分解為正、負兩部分以分別建立00.000拉、壓損傷演化，并采用受拉損傷變量

42、、受壓損傷變量分別模擬混凝土材料拉、壓本構(gòu)行為。(4) 引入一個加權(quán)損傷變量消除了潛在的收斂0.003應變e0.006圖 11受壓反復加載Fig.11 1-D cyclic compressive test應力s2 /MPa應力s /MPa應力s/MPa應力s/MPa應力s180工程力學Du Rongqiang, Lin Gao. Multiaxial anisotropic問題，且使得模型能較好模擬混凝土材料的“拉- 壓軟化效應”。最后，通過算例表明本文模型能較為準確的模elastoplastic mfor concrete and its application J.Journal of

43、Dalian University of Technology, 2007, 47(4):567572. (inFaria R, Oliver J, viscous-damagem)Cervera M. A strain-based plastic for massive concrete structures J.擬混凝土材料在、雙加載下的本構(gòu)行為。本文9提出了一個同類本構(gòu)模型計算準確度的，International Journal of Solids and Structures, 1998, 35(14): 15331558.該在理論上適合三軸加載情況，但仍需做進一系數(shù)g 表步研究提出更

44、合適的。10,營. 混凝土彈塑性損傷本構(gòu)模型研究 I: 基本公式J. 土木工程學報, 2005, 38(9): 1420.Li Jie, Wu Jianying. Elastoplastic Damage Constitutive參考文獻：1Voyiadjis G Z, Taqieddin Z N. Elastic plasticandmfor concrete based on damage energy release rates,damage m for concrete materials: Part I - theoretical formulation J. International Journal of Structural Changes in Solids-Mechanics and Applications, 2009, 1(1): 3159.part I: Basic formulations J. Journal, 2005, 38(9): 1420. (inCivil Engineering)11Tao X Y, Phillips D V. A simplified isotropic damagem