數(shù)學(xué)建模大學(xué)5ppt課件

1、例例1 某人平常下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然某人平常下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平常提早然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平常提早了三非常鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他了三非常鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平常提早了非常鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)比平常提早了非常鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？間？ 似乎條件不夠哦似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假設(shè)他的妻子遇到他后仍載著他開往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提早回家了。提早的非常鐘時(shí)間從

2、何而來(lái)？ 顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)前往相遇點(diǎn)這一會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)前往相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開開5分鐘。而此人提早了三非常鐘到分鐘。而此人提早了三非常鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。五分鐘。 例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路前往地沿原路前往 A A 地。問(wèn)：在什么條件下，地。問(wèn)：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時(shí)間到達(dá)該地。中的

3、同一時(shí)間到達(dá)該地。假設(shè)我們換一種想法，把第二天的前往改動(dòng)成另一人在同假設(shè)我們換一種想法，把第二天的前往改動(dòng)成另一人在同一天由一天由B B去去A A，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中，問(wèn)題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只需任何一人的到相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只需任何一人的到達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。達(dá)時(shí)間晚于另一人的出發(fā)時(shí)間，兩人必會(huì)在途中相遇。 請(qǐng)本人據(jù)此給出嚴(yán)厲證明請(qǐng)本人據(jù)此給出嚴(yán)厲證明 例例3 3 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡形狀一個(gè)過(guò)渡形狀亮一段時(shí)間的黃燈。亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)

4、分析黃燈該當(dāng)亮多久。請(qǐng)分析黃燈該當(dāng)亮多久。想象一下黃燈的作用是什么，不難看想象一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假設(shè)他能停住，請(qǐng)馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假設(shè)他能停住，請(qǐng)立刻停車。停車是需求時(shí)間的，在這立刻停車。停車是需求時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段間段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段間隔隔 L。這就是說(shuō)，在離街口間隔為。這就是說(shuō)，在離街口間隔為 L處處存在著一條停車線雖然它沒(méi)被畫在存在著一條停車線雖然它沒(méi)被畫在地上，見(jiàn)圖地上，見(jiàn)圖1-4。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車輛，那么該當(dāng)保證它們?nèi)砸堰^(guò)線的車輛，那

5、么該當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。能穿過(guò)馬路。 馬路的寬度馬路的寬度 D是容易測(cè)得是容易測(cè)得 的，問(wèn)題的關(guān)鍵在的，問(wèn)題的關(guān)鍵在 于于L確實(shí)定。為確定確實(shí)定。為確定 L，還該當(dāng)將，還該當(dāng)將 L劃分為兩段：劃分為兩段：L1和和L2，其中，其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判別該當(dāng)是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判別該當(dāng)剎車的反響時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程剎車的反響時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程 ，L2為剎車制動(dòng)為剎車制動(dòng)后車輛駛過(guò)的路程。后車輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門對(duì)較容易計(jì)算，交通部門對(duì)司機(jī)的平均反響時(shí)間司機(jī)的平均反響時(shí)間 t1早有測(cè)算，反響時(shí)間過(guò)早有測(cè)算，反響時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照，而此街道的行駛速度長(zhǎng)將考不出駕照，而此街道的

6、行駛速度 v 也也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研討，從而可另建模型研討，從而 L1=v*t1。剎車間隔。剎車間隔 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)律計(jì)算出來(lái) 留作習(xí)題。留作習(xí)題。黃燈終究該當(dāng)亮多久如今曾經(jīng)變得清楚多了。第黃燈終究該當(dāng)亮多久如今曾經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出一步，先計(jì)算出 L應(yīng)多大才干使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)應(yīng)多大才干使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時(shí)間該當(dāng)讓已過(guò)線停得住車。第二步，黃燈亮的時(shí)間該當(dāng)讓已過(guò)線的車順利穿過(guò)馬路，即的車順利穿過(guò)馬

7、路，即T 至少該當(dāng)?shù)竭_(dá)至少該當(dāng)?shù)竭_(dá) L+D/v。 DL例例4 4 餐館每天都要洗大量的盤子，為了方餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太粗洗一下，再放進(jìn)熱水池洗滌，水溫不能太高，否那么會(huì)燙手，但也不能太低，否那么高，否那么會(huì)燙手，但也不能太低，否那么不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池?zé)崴烤箍梢韵炊嗌俦P子，請(qǐng)他幫他建一池?zé)崴烤箍梢韵炊嗌俦P子，請(qǐng)他幫他建模分析一下這一問(wèn)題。模分析一下這一問(wèn)題。盤子有大小嗎盤子有大小嗎 ? ?是什么樣的盤子？是

8、什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的盤子是怎樣洗的 ? ? 無(wú)妨無(wú)妨假設(shè)我們了解到：盤子大小一樣，假設(shè)我們了解到：盤子大小一樣，均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時(shí)先將一疊均為瓷質(zhì)菜盤，洗滌時(shí)先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后盤子浸泡在熱水中，然后 一一清洗。清洗。 不難看出，是水不難看出，是水 的溫度在決的溫度在決 定定洗盤子的數(shù)量洗盤子的數(shù)量 。盤子是先用冷水。盤子是先用冷水洗過(guò)的，其后能夠還會(huì)再用清水洗過(guò)的，其后能夠還會(huì)再用清水沖洗，改換熱水并非由于水太臟沖洗，改換熱水并非由于水太臟了，而是由于了，而是由于 水不夠熱了。水不夠熱了。 那么熱水為什么會(huì)變冷呢？假設(shè)那么熱水為什么會(huì)變冷呢？假設(shè)他想建一個(gè)較精細(xì)的模型，他

9、當(dāng)他想建一個(gè)較精細(xì)的模型，他當(dāng)然該當(dāng)把水池、空氣等吸熱的要然該當(dāng)把水池、空氣等吸熱的要素都思索進(jìn)去，但餐館老板的原素都思索進(jìn)去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池?zé)岢潭染庵皇窍肓私庖幌乱怀責(zé)岢潭染蠹s可以洗多少盤子，大約可以洗多少盤子， 殺雞殺雞 焉用牛刀？焉用牛刀？ 無(wú)妨可以提出以下無(wú)妨可以提出以下 簡(jiǎn)化假設(shè)：簡(jiǎn)化假設(shè)：1水池、空氣吸熱不計(jì)，只思索水池、空氣吸熱不計(jì)，只思索 盤子吸熱，盤子的大小、資料一樣盤子吸熱，盤子的大小、資料一樣2盤子初始溫度與氣溫一樣，洗盤子初始溫度與氣溫一樣，洗完后的溫度與水溫一樣完后的溫度與水溫一樣3水池中的水量為常數(shù)，開場(chǎng)溫水池中的水量為常數(shù)，開場(chǎng)溫度為度為T

10、1，最終換水時(shí)的溫度為，最終換水時(shí)的溫度為 T24每個(gè)盤子的洗滌時(shí)間每個(gè)盤子的洗滌時(shí)間 T是一是一個(gè)常數(shù)。這一假設(shè)甚至可以去掉個(gè)常數(shù)。這一假設(shè)甚至可以去掉 不要不要根據(jù)上述簡(jiǎn)化假設(shè)，利用熱量守根據(jù)上述簡(jiǎn)化假設(shè)，利用熱量守衡定律，餐館老板的問(wèn)題就很容衡定律，餐館老板的問(wèn)題就很容易回答了，當(dāng)然，他還該當(dāng)調(diào)查易回答了，當(dāng)然，他還該當(dāng)調(diào)查一下一池水的質(zhì)量是多少，查一一下一池水的質(zhì)量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。下瓷盤的吸熱系數(shù)和質(zhì)量等。 可見(jiàn)可見(jiàn) ，假設(shè)條件，假設(shè)條件 的提出不的提出不 僅和他僅和他 研的研的 問(wèn)題問(wèn)題 有關(guān)，還和有關(guān)，還和 他預(yù)備利用哪些知他預(yù)備利用哪些知 識(shí)識(shí) 、預(yù)備建立什

11、么樣的模型以及他準(zhǔn)預(yù)備建立什么樣的模型以及他準(zhǔn) 備研備研討的深化程度有關(guān)，即在他提出假設(shè)時(shí)，討的深化程度有關(guān)，即在他提出假設(shè)時(shí)，他建模的框架曾經(jīng)根本搭好了。他建模的框架曾經(jīng)根本搭好了。 例例5 5 將外形質(zhì)量一樣的磚塊一一向右往外將外形質(zhì)量一樣的磚塊一一向右往外疊放，欲盡能夠地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可疊放，欲盡能夠地延伸到遠(yuǎn)方，問(wèn)最遠(yuǎn)可以延伸多大間隔。以延伸多大間隔。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與分量均設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與分量均 為為1 1，其，其 重重心在中點(diǎn)心在中點(diǎn)1/21/2磚優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。磚優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n塊磚遭到的兩個(gè)力的力矩相等，有：塊磚遭到

12、的兩個(gè)力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，從而上面，從而上面 n塊磚向右推出的塊磚向右推出的總間隔為總間隔為 ，nkk121112121,時(shí)nnknkn例例6 6 某人住在某公交線附近，該公交線路某人住在某公交線附近，該公交線路為在為在A A、B B兩地間運(yùn)轉(zhuǎn)，每隔兩地間運(yùn)轉(zhuǎn)，每隔 1010分鐘分鐘A A、B B兩兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的 C C點(diǎn)等車，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇異的景點(diǎn)等車，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇異的景象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由 B B去去A A的車

13、，難道由的車，難道由 B B去去A A的車次多些嗎？請(qǐng)的車次多些嗎？請(qǐng)他協(xié)助他找一下緣由他協(xié)助他找一下緣由由于間隔不同，設(shè)由于間隔不同，設(shè) A A到到C C行駛行駛3131分分鐘，鐘，B B到到C C要行駛要行駛 3030分鐘，調(diào)查一分鐘，調(diào)查一個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度 為為1010分鐘的區(qū)間，例分鐘的區(qū)間，例如，可以從如，可以從 A A方向來(lái)的車駛方向來(lái)的車駛 離離C C站站時(shí)開場(chǎng)，在其后的時(shí)開場(chǎng)，在其后的 9 9分鐘內(nèi)到達(dá)的分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見(jiàn)到先來(lái)的車均為乘客見(jiàn)到先來(lái)的車均為 B B開往開往A A的，的，僅有最僅有最 后后1 1分鐘到達(dá)的乘客才見(jiàn)到分鐘到達(dá)的乘客才見(jiàn)到 由由A A來(lái)的車先到。由

14、此可見(jiàn)，假設(shè)來(lái)的車先到。由此可見(jiàn)，假設(shè)此人此人 到到C C站等車的時(shí)間是隨機(jī)的，站等車的時(shí)間是隨機(jī)的，那么他先遇那么他先遇 上上B B方向來(lái)的車的概率方向來(lái)的車的概率為為 90% 90% 。例例4 4 飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)翻開，發(fā)射飛機(jī)失事時(shí)，黑匣子會(huì)自動(dòng)翻開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事緣由，人們必需出某種射線。為了搞清失事緣由，人們必需盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必需確盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必需確定其所在的方向和間隔，試設(shè)計(jì)一些尋覓黑定其所在的方向和間隔，試設(shè)計(jì)一些尋覓黑匣子的方法。由于要確定兩個(gè)參數(shù)，至少要匣子的方法。由于要確定兩個(gè)參數(shù)，至少要用儀器檢測(cè)兩次，除非他事先

15、知道黑匣子發(fā)用儀器檢測(cè)兩次，除非他事先知道黑匣子發(fā)射射線的強(qiáng)度。射射線的強(qiáng)度。方法一方法一點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的 間隔間隔的平方成反比，即的平方成反比，即 2k/dI 黑匣子所在黑匣子所在 方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定 間隔間隔 。設(shè)在。設(shè)在同一方向不同位置檢測(cè)了兩次，測(cè)得的照度分別為同一方向不同位置檢測(cè)了兩次，測(cè)得的照度分別為I1和和I2，兩丈量點(diǎn)間的間隔為兩丈量點(diǎn)間的間隔為 a，那么有，那么有22212)(/dadadkdkII112/IIad方法二方法二在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子在方法一中，兩檢測(cè)點(diǎn)與黑匣子 位于不斷線上，這一點(diǎn)比較容易位于不斷線上，這一點(diǎn)比較容易 做到，主要缺陷是結(jié)果對(duì)照度測(cè)做到，主要缺陷是結(jié)果對(duì)照度測(cè) 量的精度要求較高，很少的誤差會(huì)呵斥結(jié)果的很量的精度要求較高，很少的誤差會(huì)呵斥結(jié)果的很大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在 A A點(diǎn)測(cè)得黑匣子方向后點(diǎn)測(cè)得黑匣子方向后 ，到，到B B點(diǎn)再測(cè)方向點(diǎn)再測(cè)方向 ，AB AB 間間隔為隔為a a