第八章專題五

1、專題五高考中的立體幾何問題門我檢測査缺補(bǔ)iWI考點(diǎn)自測1.（2013課標(biāo)全國n改編）已知m,n為異面直線，m丄平面a, n丄平面3直線I滿足I丄m,l丄n,l?a, I? 3則下列結(jié)論正確的是 . a/ 3且 I / a；3相交，且交線垂直于I ；3相交，且交線平行于I.答案解析假設(shè)all 3由m丄平面a,n丄平面3則m / n,這與已知 m, n為異面直線矛盾,那么a與3相交，設(shè)交線為丨1,則h丄m, 丄n,在直線m上任取一點(diǎn)作n平行于n,那么I1和I都垂直于直線 m與n1所確定的平面，所以I1 / I.2.如圖，點(diǎn)O為正方體 ABCD A' B ' C' D'

2、;的中心，點(diǎn)E為面B ' BCC '的中心，點(diǎn)F為B' C'的中點(diǎn)，則空間四邊形 D ' OEF在該正方體的各個面上的投影不可能是A°丄答案解析空間四邊形D' OEF在正方體的面DCC ' D'上的投影是；在面BCC ' B'上的投影是；在面ABCD上的投影是 ，只有不可能.3.已知平面a, 3和直線m,給出條件：m/ a； m丄 a； m? a； a/ 3當(dāng)滿足條件 時，有m丄3.（填所選條件的序號）答案解析 若m丄a, all 3貝U m丄34平行六面體ABCD AiBiCiDi中，向量AB、AD&g

3、t; AAi兩兩的夾角均為60° 且|AB|= 1 , |AD| = 2,|AAi|= 3,則 |ACi|=.答案 5解析/ aci = AAi + Ab+ Ad ,A 2A A A 2A 2A 2A 2A AA AA A ACi2= (AAi + AB + AD)2= AAi2 + AB2+ AD2+ 2 AAi AB + 2 AAi AD + 2 AB AD=9 + i + 4+ 2X 3X i X 】+ 2 X 3X 2X+ 2X i X 2X = 25,2 2 2 - |ACi|= 5.5.如圖，四棱錐 P ABCD的底面是一直角梯形， AB / CD , BA丄AD , C

4、D=2AB, PA丄底面 ABCD , E為PC的中點(diǎn)，貝U BE與平面 PAD的位置關(guān)系為答案平行解析取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF,i在厶PCD中，EF綊CD.又/ AB / CD 且 CD = 2AB, EF 綊 AB,四邊形ABEF是平行四邊形， EB / AF.又 EB?平面 PAD , AF?平面 FAD, BE / 平面 PAD.高考題型突破題型一 空間中的平行、垂直問題【例i (20i3山東)如圖，四棱錐 P ABCD中，AB丄AC, AB丄PA,AB / CD, AB = 2CD , E, F , G, M , N 分另U為 PB, AB , BC, PD, PC的中點(diǎn).(i) 求

5、證：CE /平面PAD;A B求證：平面 EFG丄平面 EMN.思維啟迪 (1)在平面PAD內(nèi)作直線CE的平行線或者利用平面 CEF /平面PAD證明;PD C(2) MN是平面EFG的垂線.證明 方法一 取PA的中點(diǎn)H，連結(jié)EH , DH. 又E為PB的中點(diǎn)，1所以EH綊-AB.1又CD綊gAB,所以EH綊CD.所以四邊形 DCEH是平行四邊形，所以 CE / DH .又DH?平面PAD, CE?平面PAD.所以CE/平面PAD.方法二連結(jié)CF.因為F為AB的中點(diǎn)，所以 AF = -AB.21又 CD= gAB，所以 AF = CD.又 AF / CD ,所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此

6、CF / AD，又CF?平面PAD,所以CF /平面PAD.因為E, F分別為PB , AB的中點(diǎn)，所以EF / PA.又EF?平面PAD，所以EF /平面PAD.因為CF A EF = F，故平面 CEF /平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE/平面PAD.因為E、F分別為PB、AB的中點(diǎn)，所以 EF / PA.又因為AB丄PA,所以EF丄AB,同理可證 AB丄FG.又因為 EF A FG = F, EF?平面 EFG , FG?平面 EFG. 所以AB丄平面EFG.又因為M , N分別為PD, PC的中點(diǎn)，所以 MN / CD，又 AB / CD，所以 MN / AB, 所以MN丄平面

7、EFG.又因為 MN?平面EMN，所以平面 EFG丄平面EMN.思維升華高考對該部分的考查重點(diǎn)是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度中等，但對空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線面位置關(guān)系中的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，直三棱柱 ABC AiBiCi中，/ ACB = 90° M , N分別為AiB,BiCi的中點(diǎn)求證:(1)BC/ 平面MNBi；平面AiCB丄平面 ACCiA.證明 因為BC/ BiCi,且 BiCi?平面 MNBi,BC?平面 MNBi,故BC/平面MNB(2)因為BC丄AC

8、,且ABC AiBiCi為直三棱柱，故BC丄平面ACCiAi.因為BC?平面AiCB ,故平面AiCB丄平面ACCiAi.題型二 平面圖形的翻折問題【例2】 如圖i所示，在RtA ABC中，AC= 6, BC= 3, / ABC = 90° CD為/ ACB的平分線， 點(diǎn)E在線段AC 上, CE= 4.如圖2所示，將厶BCD沿CD折起，使得平面BCD丄平面ACD, 連結(jié)AB, BE，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).(i) 求證：DE丄平面BCD ;若EF /平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐 B DEG的體積.思維啟迪 (1)翻折前后， ACD內(nèi)各元素的位置關(guān)系沒有變化，易

9、知DE丄DC,再根據(jù)平面BCD丄平面ACD可證明DE丄平面BCD ;(2) 注意從條件EF /平面BDG得線線平行，為求高作基礎(chǔ) .(1) 證明 / AC = 6, BC = 3, / ABC = 90 ° :丄 ACB = 60 °/ CD 為/ ACB 的平分線，/ BCD = Z ACD = 30° CD = 2 .3./ CE = 4, Z DCE = 30° DE2= CE2+ CD2 2CE CD cos 30 = 4, DE = 2，貝U CD2+ DE2= EC2. Z CDE = 90° DE 丄DC.又平面 BCD丄平面 A

10、CD，平面 BCD門平面 ACD = CD , DE?平面 ACD , DE丄平面BCD.解 / EF /平面BDG , EF?平面 ABC，平面 ABC門平面BDG = BG , EF / BG.點(diǎn)E在線段AC上，CE= 4,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn), AE = EG = CG= 2. 如圖，作BH丄CD于H.平面BCD丄平面 ACD , BH丄平面ACD.由條件得BH = 3,1 11Sdeg = 3&acd = 3 x 2AC CD sin 30 =羽1三棱錐B-DEG的體積V= 3SAdeg BH31=3 x ,3x思維升華 平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度

11、量關(guān)系的變化情況一般地翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.跟蹤訓(xùn)練2(2012北京)如圖，在Rt ABC中，/ C= 90° D, E分別為AC, AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將 ADE沿DE折起到 AQE的位置，使 A1F丄CD，如 圖(2).(1)求證：DE /平面 A1CB.求證：A1F丄BE.線段A1B上是否存在點(diǎn) Q,使A1C丄平面DEQ ?說明理由(1)證明 因為D, E分別為AC, AB的中點(diǎn)，所以 DE / BC.又因為DE?平面A1CB,所以DE /平面AQB.證明 由已知得AC丄BC且DE / BC, 所以DE丄AC.所

12、以DE丄A1D, DE丄CD.又 AiD n CD= D, 所以DE丄平面AiDC.而AiF?平面AiDC , 所以DE丄AiF.又因為AiF丄CD,所以AiF丄平面BCDE ,又因為BE?平面BCDE ,所以AiF丄BE.解 線段AiB上存在點(diǎn)Q,使AiC丄平面DEQ 理由如下:如圖，分別取 AiC, AiB的中點(diǎn)P, Q,貝U PQ / BC. 又因為DE / BC,所以 DE / PQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由知，DE丄平面AiDC ,所以DE丄AiC.又因為P是等腰三角形DAiC底邊AiC的中點(diǎn),所以AiC丄DP.所以AiC丄平面DEP.從而AiC丄平面DEQ.故線段AiB上存

13、在點(diǎn)Q,使得AiC丄平面DEQ.題型三 立體幾何中的探究性問題【例3】 在直角梯形 ABCD中，AD / BC, BC= 2AD = 2AB= 2羽，/ ABC = 90° 如圖i，把(i)求證：CD丄AB;若點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，求DM與平面ACD所成角的正弦值;BN(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成的角為60°若存在，求出BC的值；若不存在，說明理由思維啟迪 (i)通過證明CD丄平面ABD轉(zhuǎn)化求證;可建立空間直角坐標(biāo)系;(3) 先假設(shè)存在，通過空間向量轉(zhuǎn)化證明(i)證明由已知條件可得,BD = 2, CD = 2,2 2 2又 BD2+ cd2 =

14、 BC2, CD 丄 BD.平面 ABD丄平面BCD，平面 ABD門平面BCD = BD , CD丄平面ABD./ AB?平面 ABD , CD 丄 AB.(2) 解 以點(diǎn)D為原點(diǎn)，BD所在的直線為x軸，DC所在的直線為y 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(1,0,1), B(2,0,0), C(0,2,0), D(0,0,0), M(1,1,0). CD = (0, - 2,0), AD = (- 1,0,- 1),MC = (- 1,1,0), DM = (1,1,0).設(shè)平面ACD的法向量為n= (x, y, z), 則CD丄n, Ad丄n,y= o,x+ z=

15、0 ,令x= 1,得平面 ACD的一個法向量為 n= (1,0 , 1). DM與平面ACD所成角的正弦值為|cos < n , DM|=n DM =|n |DM|(3) 解 假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)N , 使得AN與平面ACD所成的角為60°設(shè) Bn = bc , 0< <,則 N(2 2 人 2 B 0), An = (1 2 b 2 入1).平面ACD的一個法向量為 n= (1,0 , 1), 且直線AN與平面ACD所成角為60° , sin 60 ° 山1=託,t 2|AN|n |整理得 8B+ 2B 1 = 0 ,1 1 b 4或b=2舍

16、去).綜上所述，在線段 BC上存在點(diǎn)N ,使AN與平面ACD所成角為60°此時BNBC思維升華 對于線面關(guān)系中的探索性問題，首先假設(shè)存在，然后在這個假設(shè)下利用線面關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行推理論證， 尋求假設(shè)滿足的條件若條件滿足則肯定假設(shè)， 若得到矛盾則否定 假設(shè).耳涂叮 3 如圖，正 ABC的邊長為4, CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊 的中點(diǎn)，現(xiàn)將 ABC沿CD翻折成直二面角 A DC B.(1) 試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2) 求二面角E DF C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使API DE ?如果存在，求出BPBC的值；如果不存在，請說

17、明理由解 (1)在厶ABC中，由E, F分別是AC, BC中點(diǎn),得 EF / AB ,又 AB?平面 DEF , EF?平面 DEF , AB / 平面 DEF .以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB, DC , DA分別為x軸，立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,2), B(2,0,0), C(0,2 .3, 0), E(0,3, 1), F(1 ,y軸，z軸，建3 , 0).易知平面 CDF的一個法向量為 DA = (0,0,2),設(shè)平面EDF的法向量為n = (x, y, z),DEn= 0,n= 0,x + /3y= 0,即J廠W3y+ z= 0,可取 x= 3，貝U n= (3, 3 , 3),

18、cosDA , n>DA n|DA|n|.21所以二面角E DF C的余弦值為 于.(3) 假設(shè)存在點(diǎn)P ,設(shè) P(x , y,0) , AP = (x , y, 2),則AP DE = ,3y 2= 0,2 .3又 BP = (x 2, y,0),PC = ( x,2 . 3 y,0),/ EBP / PC,(x 2)(2 ：；3 y) = xy, 3x+ y = 2 3.把y=竽代入上式，得x=3,33 BP = 1bC ,在線段BC上存在點(diǎn) P使API DE,此時BP =Be=13.練出高分（時間：80分鐘）1如圖所示，在？ABCD中，AB= 2BC,Z ABC = 120

19、76; E為線段 AB的中_點(diǎn)，將厶ADE沿直線 DE翻折成 A' DE ,使平面A' DE丄平面BCD ,”F為線段A' C的中點(diǎn)求證：BF /平面A' DE.1:.證明 如圖所示，取 A' D的中點(diǎn)G,連結(jié)GF , GE，由條件易知，1 1FG / CD, FG = CD, BE/ CD, BE= CD ,所以 FG / BE, FG = BE,故四邊形BFGE為平行四邊形，所以 BF / EG.因為EG?平面 A' DE , BF?平面A' DE ,所以BF /平面A' DE.2.如圖，在四棱臺 ABCD AiBiCiDi中

20、，DiD±平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD , AD = AiBi , / BAD = 60°.(i)證明：AAi 丄 BD ；(2)證明：CCi/ 平面 AiBD.月B證明 方法一 因為DiD丄平面ABCD，且BD?平面 ABCD , 所以DiD丄BD.又因為 AB= 2AD , / BAD = 60°在厶ABD中，由余弦定理得BD2= AD2+ AB2 2AD ABcos 60 = 3AD2,所以 AD2 + BD2 = AB2,因止匕AD丄BD.又 AD n DiD= D,所以BD丄平面ADDiAi.又 AAi?平面 ADD iAi,故A

21、Ai丄BD.A方法二 因為DiD丄平面ABCD，且BD?平面ABCD , 所以BD丄DiD.如圖，取AB的中點(diǎn)G,連結(jié)DG,在厶ABD 中，由 AB= 2AD 得 AG = AD.又/ BAD = 60°所以 ADG為等邊三角形，因此GD = GB,故/ DBG = / GDB.又/ AGD = 60°所以 / GDB = 30°故 / ADB = / ADG + / GDB = 60° + 30° = 90° , 所以BD丄AD.又 AD n DiD= D ,所以BD丄平面ADDiA.又 AAi?平面 ADD iA ,故 AAi&#

22、177; BD.如圖，連結(jié)AC, A1C1,設(shè) ACn BD = E，連結(jié) EAl,因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以 EC= *AC.由棱臺定義及 AB = 2AD = 2AiBi 知 A1C1 EC 且 AQi= EC ,所以四邊形AiECCi為平行四邊形，因此 CC1 / EA.又 EAi?平面 AiBD , CCi?平面 AiBD ,所以CCi /平面AiBD.3.如圖，四棱錐 P ABCD中，F(xiàn)A丄底面ABCD , AB丄AD，點(diǎn)E在線段AD 上，且 CE/ AB.(1)求證：CE丄平面FAD;(2)若 FA = AB = 1 , AD= 3, CD =2,/ CDA = 45&#

23、176; 求四棱錐 PABCD 的體積.(1)證明 因為FA丄平面ABCD , CE?平面ABCD , 所以PA丄CE.因為AB丄AD , CE / AB,所以 CE丄AD.又FA n ad = A,所以CE丄平面pad.解 由(1)可知CE丄AD.在 Rt ECD 中，DE = CD cos 45= 1,CE = CD sin 45 = 1.又因為AB= CE = 1 , AB / CE,所以四邊形 ABCE為矩形.1所以 S 四邊形 abcd = S 矩形 ABCE + Sa ecd =1X 2+養(yǎng)1X 1=f.又FA丄平面ABCD , FA = 1 ,11 5所以 V四棱錐pabcd =

24、 3S四邊形abcd FA = 3 X 2X33 21 = 56'4.(2012山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形,AB / CD，/ DAB = 60 ° FC 丄平面 ABCD ,AE 丄 BD, CB = CD =CF.(1)求證：BD丄平面aed ；/D J*求二面角F BD C余弦值.(1)證明 因為四邊形 ABCD是等腰梯形，AB / CD , / DAB = 60 °所以 / ADC = / BCD = 120°又 CB= CD，所以 / CDB = 30° °因此 / ADB = 90°,即

25、AD 丄 BD.又 AE丄BD，且 AE A AD = A, AE, AD?平面 AED , 所以BD丄平面AED.解 方法一 由(1)知AD丄BD，所以AC丄BC.又FC丄平面ABCD，因此 CA, CB, CF兩兩垂直.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 CA，CB，CF所在的直線為x軸，y 軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)CB= 1，則 C(0,0,0)，B(0,1,0)，D 于，-1，0，F(xiàn)(0,0,1).因此 BD = J， 2，0，BF = (0，- 1,1).設(shè)平面BDF的一個法向量為 m= (x，y，z)，則 m BD = 0，m BF = 0，所以 x= /3y= 3z，取

26、z= 1，則 m= ( 3， 1,1).由于CF = (0,0,1)是平面BDC的一個法向量，則 cos m，Cf > = m CF =- =羋，|m|CF 五 5所以二面角F BD C的余弦值為嚴(yán).5方法二 如圖，取BD的中點(diǎn)G，連結(jié)CG，F(xiàn)G，由于CB= CD，因此CG丄BD.又FC丄平面 ABCD，BD?平面ABCD， 所以FC丄BD.由于 FC A CG = C，F(xiàn)C，CG?平面 FCG，所以BD丄平面FCG，故BD丄FG，所以/ FGC為二面角F BD C的平面角.在等腰三角形 BCD中，由于/ BCD = 120°1因此 CG= ?CB.又 CB = CF，所以 G

27、F = CG2+ CF2= ,5CG，故 cos/ FGC =-5,5因此二面角F BD C的余弦值為 窖.55. (2012 北京)如圖 1,在 RtA ABC 中，/ C = 90 ° BC= 3, AC = 6.D, E 分別是 AC, AB 上的 點(diǎn)，且DE / BC, DE = 2,將厶ADE沿DE折起到 AQE的位置，使 AiC丄CD，如圖2.A,圖2(1) 求證：AiC丄平面BCDE ;若M是AiD的中點(diǎn)，求CM與平面AiBE所成角的大??；(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P,使平面AiDP與平面AiBE垂直？說明理由(1)證明 / AC丄 BC, DE / BC, DE 丄

28、AC. DE 丄 AiD , DE 丄 CD, DE丄平面AiDC. DE 丄AiC. 又 T AiC丄CD , AiC丄平面BCDE.(2) 解 如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C xyz,則 Ai(0,0,2 .3), D(0,2,0), M(0,1 ,3), B(3,0,0), E(2,2,0).X設(shè)平面AiBE的法向量為n= (x, y, z),貝U n AiB= 0,n BE = 0.又A；B= (3,0, 2 .3), BE = ( 1,2,0),3x 2/3z= 0,-x+ 2y= 0.令 y= 1，則 x = 2, z= 3,二 n= (2,1 ,3).設(shè)CM與平面AiBE所成的角為0. CM = (0,1 , 一3),/ sin 0= |cos n, CM|=n CM|n| |CM|4=邁8x 4= 2.n CM與平面A1BE所成角的大小為4.(3) 解 線段BC上不存在點(diǎn)P,使平面A1DP與平面A1BE垂直.理由如下: 假設(shè)這樣的點(diǎn)P存在，設(shè)其坐標(biāo)為(p,0,0)，其中p