不等式：基本不等式、對勾函數(shù)、判別式解法

1、不等式是高考必考的熱點內(nèi)容，考查的廣度和深度是其他章節(jié)無法比擬的，任何一份高考試卷中，涉及到不等 式內(nèi)容的考點所占比例超過70%。一方面，考查不等式的性質(zhì)、解法、證明以及實際應用；另一方面，與高中階段的數(shù)學各個部分都存在著密切的聯(lián)系。因此，對于不等式的學習，應達到多層面，多角度熟練掌握的程度。第一節(jié)基本不等式1 .，.：.:證明：當展開后即可得到所求不等式及等號成立的條件。2 .基本不等式的變形（包括 2個方面）若 . 產(chǎn)小 ：可件一；b a若1, .若XER,XAO則x + ；之2,等號成立的條件:X= l：（上述3個不等式，考慮如何證明？）注：上述的4b不能僅僅理解為兩個參數(shù)，它可以是表達

2、式或函數(shù)的解析式。若廁f十薩普N2ah；等號成立的條件工a = b （注意：不等式的右邊是 （a + b）?）例題1.已知k.v E （0, + 8）,且: + :=1，求K + y的最小值及XV的最小值口解：x + y = （x + ）（：M） = 7 + （） + 劣之 7 + 24；= 7+ 城，.r + y 的最小值為：7 + 代與 ；求（X）Mn有兩種方法，其一是配式，I 14 3 I J + L2 , .（xy）mx= 48 ；另一種方法是，由 = T2XKXy-U（J 二而; + =lxy = 4y + 3x g.4y = 4限時,.V E十中 43.直端加二48例題2.已知八5

3、-3+bjf-幣=1,求證：/ + / = 1。證明：由基本不等式得：.：、/.：同理，b4l=a* M匕；M 這里等號成立的條件是,卜二%1 二#），.苜JT-廿十八/1-（*）而條件是a JT- h* + bT-P = 1，即對于不等式（* ）等號成立，即b=JT-手且a = JT-/即合 + b2 = 1 o 注：本題把等號成立的條件，作為求證的目標，比較新穎。例題3.已知x,y E R,滿足x + y = L求x + 3 +（V + ：）的最小值口解：（乂 + 3 + + 亨）= / + /+ 虧+4=（必 + /）（1+鬲9 + 4，這里口 m X + yl2 1 （x+yy 111

4、 21 2125二 一, . - . I， .注：解答本題的關(guān)鍵是，如何運用好x + F=l,兩次使用了基本不等式，但不矛盾。例題4.求二出十的最大值。解：函數(shù)的定義域為，可以用其它的方法來解，比如用兩邊平方轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求極值等。但由于6馬鄧一克的兩式平方和為常數(shù) 3,故應用基本不等式的變形公式簡單些。:反一/?.2， E0,3時成立，故。max =：,溫+弋3黑工冊,當且僅當m= J3 - k-x例題5.已知日 匕 0,則才+ u器的最小值為()。Z 1616264. 解：+(筌12- +/三1區(qū)當且僅當曰=2應注熄等號成立，/ +的最小值為16.注：這里要求2元表達式的日工+ 小歷的最值

5、，不能直接整體應用基本不等式(即不能直接整體消去a、b)而且也沒有給出條件等式(即不可能代入消元)，因此，對局部b(a-b)用基本不等式的變形公式進行處理。7c a例題6.若二次函數(shù)X)= ax2-+ c的值域為0,+ oo),則彳口 +百口的最小值為()。一，c a ca ，+ F (割 4 c 產(chǎn)a + c 11解：由題意得15-4 二 0，即日c = 4,c0,則彳+爾=再工+中=而司之痂g=初之訴=小c ai當且僅當a=c=2時，等號成立，所以 彳1 + 口7的最小值為立。注：本題也可用消元法，由 1二16-4口。=0消去a或c,比較麻煩。例題 7.已知 a,b,c0,且a + 2ab

6、 + 2ac + 4bc = 9,則 a + b + c 的最小值為(3 ) D例題 8.已知 a,b,c0,且a + b + c=l,則+ 1 + 1 + J3c + 1 的最大值為()。解：.：. -】. .：. 1. :.- 116+2(3a + l + 3b + 1 +3c + 1)= 18,當且僅當a = b = =：等號成立，所求的最大值為18。y 2 h 2例題9.已知函數(shù)f(x) = (-I) + (丁 1)的定義域是a,b,其中b E R卜且a b , 求f(x)的最小值;(2)若X】W 口川盟c歸其中1 2T-= 2(k-I)11等式，但x的取值不矛盾),fmin以)=2(

7、卡-1)。(2)設(shè)*=1力= 5,X E 1,5時，由的結(jié)論可得：Km)之2(*，同理8)之2(6 1) = 2煽-由+得：3)+ 3之上面兩次用到基本不等式,例題10.已知兩條直線L等號成立的條件都是823 士粉-”2I - ,I -:.s=2時取得，.（2）得證。(m 0),h與函數(shù)y = |1理亦|的圖象從左至右相交于 a,b,2與函數(shù)I。鴕x|的圖象從左至右相交于 C,D記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a,b,當m變化時，g的最小值為()。解：在同一坐標系中作出二五% 0）,-llogzxl圖象,令hg譚Ig_ 號號fl一 一一,” . ， ,:一了.：；1.，一 ,； 一 ：

8、、用一2 山 上 ：8b 18H11716b= xd-Kh = 2ttt_ 2nt，故匚= 2一+ + 由而+ + m _ R（2m + 1） + 如 + 一 /，當且僅當（2m + 1）=屈f i ,即3b 7m = 3取等號，故G）min = 2。注：本題經(jīng)過巧妙的“偽裝”，將基本不等式融入到函數(shù)中，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，實現(xiàn)基本不等式模型的構(gòu)建,對學生的運算能力和思維水平提出了很高要求，具有較好的區(qū)分度。例題11.若平面向量百萬滿足12自-6| M 3 ,則戴6的最小值是（）。解：由I西-61 M3,兩邊平方，得4不9十4死H,由基本不等式得：4* + F W4同（當且僅當 2間;舊

9、等號成立）。設(shè)0為打夾角為“UE 0）,則當口 時，同同土辭（當且僅當0 = 0, n等號成立），因此 9 + 4a?b4a2 + b24|a|b| 4常氏這里只能取-”號），即蘭-（。注：本題將基本不等式與 向量相結(jié)合，通過將向量的模平方， 借助基本不等式和斜率數(shù)量積的性質(zhì)，建立關(guān)于就6的不等式。此題視角獨特，構(gòu)思精心。O例題12.函數(shù)=ass （ax + 0）（a 0）圖像上兩相鄰的最低點與最高點之間的最小值是（）解：如圖，設(shè)函數(shù)y二f（x）圖像上兩相鄰點中最高點為A,最低點為B且過A點平行的直線與過B點垂直于x軸的直線相交于 C則AC=;二 BC = 2a,故4產(chǎn)當且僅當12氫即日二手等

10、號成立），即AB之2訴，故的最小值是；2標。注：本題將基本不等式滲透到三角函數(shù)中，關(guān)鍵是運用三角函數(shù)的周期、振幅，合理表示出相鄰的最低點與最高點的距離。此題情景新穎，自然貼切，這種不拘題型約束的命題方式是高考的一大亮點。例題13.設(shè)所是等比數(shù)列，公比q =姆，際為加的前n項和，記fn= ；一記功”為數(shù)列的最大項,則, （）.解：由題意,17 1-4q2n-17q,+ 16 .,t!-17t+ 16 I f (=二 ，令 I = q 仇則n = 714 - V工島（當且僅當t = 2即t = 4等號成立）故2 e=3 1）,此時n0 = 4o注：本題將基本不等式嵌入數(shù)列解題中，運用數(shù)列的基本量及

11、性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的代數(shù)式，通過換元后轉(zhuǎn)化為基本不等式模型。 例題14.一個四面體的一條長為 x,其余所有棱長均為1,則此四面體體積 V的最大值是（）。解：由題意得：V00二 急由一 /黑W（0,$）.則V（x）=2- X*） = =?當且僅當3 - X2=/ ,即k = J等號成立），故丫的最大值是 工V(x)注：本題把基本不等式與立體幾何的相關(guān)知識進行交匯，如果學生對空間圖形有較深刻的認識，可以準確建立 的函數(shù)關(guān)系式以后求解，使問題的綜合性進一步加強，充分體現(xiàn)出數(shù)學試題的多變性。例題15.平面直角坐標系 xoy中，已知點 A（0, 1）,B點在直線3上，M點滿足MA?AB=點M 的軌跡

12、為切線C,（1）求C的方程；（2）P為C上的動點，l為C在彳導P處的切線，求 。點到l的距離的最小值。解：（1）y二y - 2 （過程略）（2）設(shè)點p（xo,yo）為曲線C上一點,；y = :x,所以1的斜率為.故1的方程為1 r 、._ . 12yL 端 一 1 , _y -yo = /o（x - X。即xqx - x右二。則。點至U l 的距離 d = 不漏”，又口 二 *蛭-乙，口無一嘲 1 c4d =謫7了 =式、*0 +4+總吞）之2（當且僅當如=0等號成立），。點到l的距離的最小值為 2.V第二節(jié)“對勾”函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應用1“對勾”函數(shù)y=k + g與基本不等式有著密切的聯(lián)系，

13、其圖像如右圖,是函數(shù)圖像的兩條漸近線;當x0時1y二X +理2,當且僅當X =1等號成立（此結(jié)論可由基本不等式推導）,即點A是函數(shù)y = x + *EK0時的極小值點（同時.也是函數(shù)增減區(qū)間的分點）其坐標為（1,2）；當x0時,1函數(shù)y = x + ；還有一個很重要的代數(shù)性y二工十：式-2,當且僅當乂=-1等號成立，即點B是函數(shù)y = x + ；在x0）圖像上的動點，若點 P,A之間的最短距離為則滿足條件的實數(shù) a的所有值為（）。解：點A（a,a）是直線V =工上的動點，點P,A之間的最短距離為士位,即以A為圓心，半徑入傷的動圓與函數(shù)y=Rx0）圖像相切時求a的值。依題意可畫出草圖,點A在直線

14、上運動時，憑直覺認為，動圓都會與函數(shù)（x 0）的圖像相切于點 C（1,1）,因此不難求出a的兩個值為-1或3;而這個答案是錯的。事實上，當 a0時，兩圖像的切點位置是與動圓半徑大小有關(guān)的（如圖），只有半徑y(tǒng) 2 l .較小時，才可能相切于 CoXx-a)2+ (y-a)2 = (2)2 0)x + 3 + 2/-8=Mx0),令=+ ：“，則d十式可化為:F - 2at + 2a2 - 10 = 0(t 2)t . A = ( - 2a)2 - 4(2a2 - 10)=。，解得 a = 10 .注：解答本題有兩個問題需要注意，一是用數(shù)形結(jié)合的方法解題時，直覺有可能是錯誤的； 二是解析式x +

15、（與-+ 5的可代換關(guān)系，這樣的關(guān)系還存在于sinx cosx與sinx?cosx；l + x +飛：1 - k與一 等。如果將“對勾”函數(shù) y = x + ；變形為：y = ax + ：（a,bC R）,研究其圖像、性質(zhì)對解題是很有必要的。,b，Hr b 、，一一，一 一一一，一一，y二ax +式a0,b0）此函數(shù)是由y二ax和y 二工疊加而成，通過分析兩個簡單函數(shù)的圖像特征，回出其疊加函數(shù)的圖像，是數(shù)學能力的一種體現(xiàn)。由圖像可知：關(guān)于原點對稱;XA0時，函數(shù)存在極小值點 人（上2南）;?0時，函數(shù)存在極大值點 B（-Jl-2/）;遞減區(qū)間為：（-副,J；）,遞增區(qū)間為：（-8，-*）,（.

16、 + 8）；（兩條性質(zhì)可通過導數(shù)證明）存在兩條漸近線： 除x=0（漸近線在通過作圖解題時，起作用 ）。（2）其余的三種情況的圖像如下：其性質(zhì)由同學們自己小結(jié)，在此不在贅述。例題2.若函數(shù) = Rk）的值域是 自司,則函數(shù)F（x）=f（x）十高的值域是（）。解：設(shè)t=f（x） 3,則F（t）=t + ；,只要畫出函數(shù)的圖像可知：FE 2與.注：本題看似簡單，但 Kx）取不同的表達式時，情況可能變得很復雜。例題3.設(shè)定義在（0,+8）上的函數(shù)f（x） = ax+ b（a0）求f（x）的最小值。解1.（基本不等式法）a。3 0,.J（x）=ax + 十h之2最?!+b=h + 2,當且僅當ax二2即

17、k二;時等號成立，3出= b + 2.解2.（判別式法）設(shè)Y=（x）,則有a%。+ a（bv）*+ 1=。，顯然？二小（by產(chǎn)-4a*之。，解得y之b + 2或（舍去），故應將二卜+2代入得：a2x2 - 2nx + 1 =。即X = ：0,因此fmhG） = b + 2。（注：當主元x有范圍使用判別式法時，都應將所求最值回代，檢驗 x的解是否在給定的范圍內(nèi)）11（ax + l）（as -1）i 11解3.（求導數(shù)法）由題意（X）= a- =京，小Ox 0二f（x）.有x -Kx） 口,有0 x 時,函數(shù)0）單調(diào)遞增；當0乂0）求f（x）的最小值。變式2:設(shè)定義在(0,兀)上的函數(shù)f(x)=a

18、sinx +(a0 + b (a0)求的最小值。變式3:設(shè)定義在0,+8)上的函數(shù)f(x)= 儲+白+抽。)求f(x)的最小值?！?1變式4：設(shè)函數(shù)二配+ + b(a0)求(X)的最小值。變式5:設(shè)定義在(1,+8)上的函數(shù)f(x) = 1/；潑+康十b(a0,awl)求f(x)的最值。注：以上5個變式，若以填空題的形式解答，可使用變量代換，用“對勾”函數(shù)的圖象直接得到答案；若以解答題的形式解答，應使用求導數(shù)的方法證明。變式6:討論函數(shù)f(x)=江亡十營+ b(a0,c0,n取正整數(shù))。解：f(x)二豈冠J 券匚”：；二當n為奇數(shù)時,函數(shù)是奇函數(shù)，只要討論x0即可k2$f(x) cDvkc步;

19、當n為偶數(shù)時，函數(shù)是偶函數(shù)，只要討論x 即可-*x) t乂之點 I】 x 喳。例題4.求函數(shù)f(X)= 4n K丘|。工|的最值。A- T A 1 T：2(x2 + k + 4) + 3k+33K+ 3解：由于函數(shù)KM的分子分母的次數(shù)都是 2,因此采用“配式法”降低分子的次數(shù)；f(x)=7F= 2 + V X 3t3令I(lǐng) = X + 1 tE|L3J(t) = 2 + i 4 = 2 + 二P7；再令 U=t + pt 1,3,.1 - I I.ax2 + bx + cdx + eft)=t + t + ?+n 和 f(t)=。一小七匕十%注：求型如f= 刈卜和=嬴函數(shù)的最值(值域)，可通過換

20、元法(1= dx + e)轉(zhuǎn)化為函數(shù)11只要討論U = t + 3的極值即可；當所求函數(shù)的分子分母的次數(shù)相同時(如本dx + e題)應采用“配式法”降低分子的次數(shù)，轉(zhuǎn)化成f(x)= k + m的形式。不等式f(x) 0,.函數(shù)在(凡兩上單調(diào)遞減，在(也+ 8)上單調(diào)遞增，則在刊上的最大值為maxHJ.tU).由 J39397.柳因不等式f(x)三io在切上恒成立，.有梟:即:二二E對?版成立t解得,一 ：.注：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，是常見的轉(zhuǎn)化形式。變換主元，把(X)看成關(guān)于a的一次函數(shù)f(a)= + x +比對為 W做卜W ,不等式f(a) io恒成立(分兩步 進行)，.咽心=N

21、2) = :+乂 +h看10乂訶恒成立， = ：+* +匕在口1上單調(diào)遞減,小.=1 + 8 + 6工10, 解得：.練習1.若關(guān)于x的方程必+住+ 3* + 5 = 0至少有一個實根在區(qū)間1,2內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是（）.- ；：,_：，練習2.若3 b c 口，求 2M + 1 + aa - bj I。+ 2 5/最小值（4）第三節(jié)判別式法解題利用一元二次方程的判別式求某些函數(shù)的值域或極值的方法，稱為判別式法。判別式法的使用通常是對含有參數(shù)的二次方程。例題1.求函數(shù) =六宗的值域.。 X.十K十，解：由判別式可知分母 x2 + x + 1 。（ ， Y + * + 1 W 0,x E R

22、）,兩邊同乘以x? + x + 1得：（y -1）/ + + i）x + （v -1）= o,將此式看成是x的方程，必有實數(shù)解，&（+1產(chǎn)4一 l）（y-1）3 0解得：1y會-或yw，丁二次項系數(shù) yw。，函數(shù)y二二一工-之的值域為之或yw-&-注：在使用判別式法求分式函數(shù)的值域時，應注意兩點：一是分式的表達式不能約分，二是變形后，二次項系數(shù)為0的y在求彳#的y的范圍內(nèi)，要代入方程驗證。屋十4 k十3例題3.求函數(shù)y二,rK仃的值域x2 + 4x + 3（x+ 3）（s + 1）k+133解：=X 6 =也+32-2），;由函數(shù)的定義域知 X* -3, y = 2 = +2 :工工工0 ,式

23、的值域為VM1；再將- 3代入式，得到的y須刪除，函數(shù)y = 點口?的值域（-8，l）u修1）乂1,+孫注：函數(shù)的表達式中的分式，可約分時應先約分，再求值域，最后刪除定義域中不存在點所對應的函數(shù)值。例題4.設(shè)引上為實數(shù)，且首項為 加，公差為d的等差數(shù)列沏的前n項和為次,滿足區(qū)Sg +15 = 0,求公差d的取值范圍。解：.期二 5a-1。峪16山+1,將其代入我S&+ 15 = 0并化簡得：2肝+ 9帆+ 101+ 1 =0 （*）此式可看成是關(guān)于的的二次方程，1）三口，解得：d2點或d之2洲。注：由于方程（*）中的的ER,二. A之0是方程有解的充要條件，因此不必要再對結(jié)果進行檢驗了。本題也

24、可以求 知的取值范圍，方法相同。例題5. a,bO,a + b + ab = 30,試問實數(shù)a,b為何值時，如取得最大值？解1:利用基本不等式（略）。解2：設(shè)了 二4瓦貝：9=弋入題設(shè)等式并整理得：日2 +卬-30總+藥=0 (*). (y-30)2-8y 0 ,解得：y之50 或yE18。由a,b0知0 0 ,所以 (ab)ii1-1x 二 18 .注：把(*)式看成關(guān)于a的二次方程，A之。是方程在(0, + g)上有解的必要條件(不是充要條件)，因此需要通過檢 驗說明最值的取得是合理的。變式：已知實數(shù)苜be滿足曰+ b + c = %m+ be + ca = 24，則b的取值范圍是(1式b

25、E5)。例題6.如圖建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程 y = kx-(l + k2)x2(k 0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由。1, 寸、20k20解：令.11:111(2)設(shè)飛行物的坐標為(a,3.2)(a0),要擊中飛行物，其坐標必須在炮彈飛行的軌跡方程上，即 32=+ k2)a2, 整理成關(guān)于 k 的二次方程得：a2

26、k2- 20ak + a2 + 64 = 0 ( * ), A = 20a)2 -4a1a* + 64)之 0,解得：一 6 9 a 6,由 .k 0,.要檢驗，將日=6代入(*)式，解得k = a的最小值為6.注：把(*)式看成關(guān)于k的二次方程，小之0只是方程在(。，+g)上有解的必要條件并不充分，應當通過檢驗“當日二6,5k =豆0”說明a能取得最大值6.例題7.如圖某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A,B及CD的中點P處，已知AB=20km,BC=10km,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界)且與A,B等距離的一點 。處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO.OP,設(shè)排污管道的總長為 ykm.(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)= 將y表成8的函數(shù)關(guān)系式;設(shè)OP=x(km),將y表成x的函數(shù)