一元二次方程復(fù)習(xí)－根與系數(shù)的關(guān)系

1、峰口鎮(zhèn)中心學(xué)校 白崇福根與系數(shù)的關(guān)系2.若ax2bxc0 (a0 0)（1）若兩根互為相反數(shù),則b 0;（2）若兩根互為倒數(shù),則a c;（3）若一根為0,則c 0 ;練習(xí)填空=（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用）（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用） 3.3.判定下列各方程后面的兩個數(shù)是不是它的兩個根。判定下列各方程后面的兩個數(shù)是不是它的兩個根。 )1 , 3(013x2x22 2x xx x0 0310( 5,2)+-=-1.方程方程 x2 3x-10 0 的二次項系數(shù)是的二次項系數(shù)是 ， 一次項系數(shù)是一次項系數(shù)是 常數(shù)項分別是常數(shù)項分別是 .已知X1、X2是方程 的兩根 則212 xx21xx-

2、3-10294921xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx應(yīng)用一應(yīng)用一：求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值01032 xx2111. 1xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx22121212125.xxx xx xxx點評點評:類似求與方程的根有關(guān)的類似求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時代數(shù)式的值時,一般先將所求的一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之兩根之積

3、的形式積的形式,再整體代入再整體代入忽視討論兩忽視討論兩根的符號！根的符號！1x2x01522 xxxxxxxx2121212121xx已知已知 ，是方程是方程的兩根，求的兩根，求解：解： 的值。的值。2212221221212112221221211212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx分析分析2121xx2521 xxx10 x20 已知已知 的的一個根，求方程的另一個根及一個根，求方程的另一個根及c的值的值. 2230 xxc+=是C=-10C=-10解：設(shè)方程的另一根為解：設(shè)方程的另一根為x1. 則有：則有：11232xxc+=-=1510 xc= -= -另一個

4、根為另一個根為-5-5解之得，解之得， 應(yīng)用二應(yīng)用二: :已知方程的一個根已知方程的一個根, ,求另一個根及待定常數(shù)的值求另一個根及待定常數(shù)的值. .求作求作以以 為兩根的一元二次方為兩根的一元二次方(二次項系數(shù)為二次項系數(shù)為1)為為02qpxx2,1xx應(yīng)用三應(yīng)用三 已知兩根已知兩根求求作新的作新的一元二次方程一元二次方程qxxpxxxxqpxx2121212,0則：的兩根為若方程0)(21212xxxxxx以方程以方程X X2 2+3X-10=0+3X-10=0的兩個根的相反數(shù)為根的方程（的兩個根的相反數(shù)為根的方程（ ）A、y y2 23y-10=0 B3y-10=0 B、 y y2 23

5、y-10 =0 3y-10 =0 C、y y2 23y3y10=0 D10=0 D、 y y2 23y3y10=010=0B分析分析:設(shè)原方程兩根為設(shè)原方程兩根為 則則:21,xx10, 32121xxxx新方程的兩根之和為新方程的兩根之和為3)()(21xx新方程的兩根之積為新方程的兩根之積為10)()(21xx 求作新的一元二次方程時求作新的一元二次方程時:需求需求新方程的兩根新方程的兩根和與兩根積和與兩根積 可利用新方程的兩根與原方程的兩根之間的可利用新方程的兩根與原方程的兩根之間的關(guān)系關(guān)系,求新方程的兩根和與兩根積求新方程的兩根和與兩根積.或由已知條件求或由已知條件求新方程的兩根和與兩

6、根積新方程的兩根和與兩根積 隨想隨想已知兩個數(shù)的和是-3，積是-10，則兩 個數(shù)是 。2和-5解:設(shè)兩數(shù)分別為一個一元二次方程的兩根則:01032 aa求得5, 221aa兩數(shù)為2,5應(yīng)用四應(yīng)用四 已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)已知：實數(shù)a.b是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，且a2+b2=25 求k的值解：a.b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩根 a+b=2k+3，ab=k2+3k+2 又 a2+b2=25 (a+b)2-2ab=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 k2+3k-10=0 k1=-

7、5或k2=2應(yīng)用五應(yīng)用五：給定根的關(guān)系式求字母系數(shù)取值：給定根的關(guān)系式求字母系數(shù)取值 已知：已知：ABCABC的兩邊的兩邊ABAB、ACAC的長是關(guān)于的長是關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-(2m+3)x+m-(2m+3)x+m2 2+3m+2=0+3m+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊的兩個實數(shù)根，第三邊BCBC的長為的長為5.5.(1)m(1)m為何值時，為何值時，ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形為斜邊的直角三角形? ?(2)m(2)m為何值時，為何值時，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周長的周長. .已知：實數(shù)已知：實數(shù)a.b是關(guān)

8、于是關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，的兩個實數(shù)根，且且a2+b2=25求求k的值的值回回想想 已知：已知：ABCABC的兩邊的兩邊ABAB、ACAC的長是關(guān)于的長是關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-(2m+3)x+m-(2m+3)x+m2 2+3m+2=0+3m+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊的兩個實數(shù)根，第三邊BCBC的長為的長為5.5.(1)m(1)m為何值時，為何值時，ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形為斜邊的直角三角形? ?(2)m(2)m為何值時，為何值時，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求

9、并求ABCABC的周長的周長. .解：a.b是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩根 a+b=2k+3，a-b=k2+3k+2 又 a2+b2=25 (a+b)2-2ab=25 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 k2+3k-10=0 k1=-5或k2=2回回想想 已知：已知：ABCABC的兩邊的兩邊ABAB、ACAC的長是關(guān)于的長是關(guān)于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-(2m+3)x+m-(2m+3)x+m2 2+3m+2=0+3m+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊的兩個實數(shù)根，第三邊BCBC的長為的長為5.5.(1)m(1)m為何值時，為何值時，ABCABC是

10、以是以BCBC為斜邊的直角三角形為斜邊的直角三角形? ?(2)m(2)m為何值時，為何值時，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?并求并求ABCABC的周長的周長. .【分析【分析】 ABAB、ACAC是方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以是方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及及ABCABC是以是以BCBC為斜邊的直角三角形聯(lián)立關(guān)于為斜邊的直角三角形聯(lián)立關(guān)于m m的方程，的方程，即可求得即可求得m m的值；的值； 解：(1)AB、AC是方程x2-(2m+3)x+m2+3m+2=0的兩根 AB+AC=2m+3，ABAC=m2+3m+2 又ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC=5 AB2+A

11、C2=BC2(AB+AC)2-2ABAC=25 即(2m+3)2-2(m2+3m+2)=25 m2+3m-10=0 m1=-5或m2=2 當(dāng)m=-5時，原方程為 x2+7x+12=0 解得x1=-3，x2=-4(舍去) 當(dāng)m=2時，原方程為x2-7x+12=0 解得x1=3，x2=4 當(dāng)m=2時，ABC是以BC為斜邊的直角三角形.(2)m(2)m為何值時，為何值時，ABCABC是等腰三角形是等腰三角形? ?而而ABCABC為等腰三角形，則要通過分類討論為等腰三角形，則要通過分類討論BCBC為底與為底與BCBC不為底不為底( (分類不重不漏分類不重不漏) )，再由其條件確定再由其條件確定k k值

12、及方程的根值及方程的根( (邊長邊長) )，從而求得等腰三角形的周長從而求得等腰三角形的周長. . ( (2)若ABC是等腰三角形，. 當(dāng)當(dāng)BC=5為等腰三角形的底邊時為等腰三角形的底邊時，則有，則有AC=AB， 方程有兩個相等的實數(shù)根，（方程有兩個相等的實數(shù)根，（AB、AC是方程的兩根是方程的兩根） 而=(2m+3)2-4(m2+3m+2)=10 ABAC，故第一種情況不成立； 當(dāng)當(dāng)BC=5為等腰三角形的腰時為等腰三角形的腰時，AC、AB中必有一個邊長為中必有一個邊長為5， 方程方程x2-(2m+3)x+m2+3m+2=0必有一根為必有一根為5 ， 25-5(2m+3)+m2+3m+2=0

13、m2-7m+12=0 m1=3或m2=4 當(dāng)m=3時，x2-9x+20=0，x1=4，x2=5 等腰三角形的三邊長分別是5、5、4，周長是14. 當(dāng)m=4時，x2-11x+30=0 x1=5，x2=6 等腰三角形的三邊長分別是5、5、6，周長為16， 故當(dāng)m=3或m=4時ABC為等腰三角形，周長分別為14或16.應(yīng)用一應(yīng)用一:求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值應(yīng)用二應(yīng)用二:已知方程的一個根已知方程的一個根,求另一個根及待定常數(shù)的值求另一個根及待定常數(shù)的值應(yīng)用三應(yīng)用三:已知兩根求作新的一元二次方程已知兩根求作新的一元二次方程應(yīng)用四應(yīng)用四:已知兩個數(shù)的和與積求兩數(shù)已知兩個數(shù)的和與積求兩數(shù)應(yīng)用五應(yīng)用五:給定根的關(guān)系式求字母系數(shù)取值給定根的關(guān)系式求字母系數(shù)取值綜合應(yīng)用問題綜合應(yīng)用問題總結(jié)總結(jié) 應(yīng)用題型應(yīng)用題型數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想 方程思想 轉(zhuǎn)化思