浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷word含答案

1、2015年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷參考答案一、選擇題（本大題共有8小題，每題只有一個(gè)正確答案，將正確答案的序號(hào)填入題干后的括號(hào)里，多選、不選、錯(cuò)選均不得分，每題6分，共48分）1“a =2， ”是“曲線C：經(jīng)過點(diǎn)”的( A )A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 答案：A.解答：當(dāng)a =2， 曲線C：經(jīng)過；當(dāng)曲線C：經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，即有，顯然也滿足上式。所以“a =2， ”是“曲線C：經(jīng)過點(diǎn)”的充分不必要條件。2已知一個(gè)角大于120º的三角形的三邊長分別為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( B ) A B C D第3題圖答案：B.解答：由題意可知：解得。3 如圖，在

2、正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為BB1的中點(diǎn)，則二面角M-CD1-A的余弦值為( C )A B C D答案：C.解答：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，且平面的法向量為，平面法向量為。因此，即二面角M-CD1-A的余弦值為。4若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 ( C )A B C D 2 答案：C.解答：由滿足的條件知，所以，當(dāng)取等號(hào)。5 已知等腰直角PQR的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角ABC的三條邊上，記PQR，ABC的面積分別為SPQR，SABC，則的最小值為( D )A B C D 參考答案：D.解答：如圖5-1所示，ABCPQRHABCPRQ 圖5-1 圖5-2（1）當(dāng)

3、的直角頂點(diǎn)在的斜邊上，則四點(diǎn)共圓，所以在中分別應(yīng)用正弦定理得.又故,故即為的中點(diǎn).過作于，則,所以,此時(shí)的最大值為.（2）當(dāng)?shù)闹苯琼旤c(diǎn)在的直角邊上，如圖5-2所示，設(shè),則 在中，在中，,由正弦定理, ，因此.這樣，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)的最小值為.6. 已知數(shù)列的通項(xiàng) ，若，則實(shí)數(shù)等于（ D )A B C D答案：D.則，所以，經(jīng)檢驗(yàn)只有符合題意。7 若過點(diǎn)P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四條直線構(gòu)成一個(gè)正方形，則該正方形的面積不可能等于 ( C )A B C D 答案：C.解答：不妨設(shè)四條直線交成的正方形在第一象限，且邊長為，面積為過的直線的傾斜角為。當(dāng)過點(diǎn)的直線為正方

4、形的對(duì)邊所在的直線時(shí)，此時(shí)正方形的面積。同理，當(dāng)過點(diǎn)的直線為正方形的對(duì)邊所在的直線時(shí)，；當(dāng)過點(diǎn)的直線為正方形的對(duì)邊所在的直線時(shí)，.8若集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為( B )A4030 B4032 C 20152 D 20162答案：B.解答：由已知得，因?yàn)橐黄嬉慌?，所以兩者之一為偶?shù)，即為共有2016種情況，交換順序又得到2016種情形，所以集合共有4032個(gè)元素.二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，9-14每題7分，15題8分，共50分）9已知函數(shù)滿足，且，則 答案：.解答：，所以10若數(shù)列的前項(xiàng)和，則= 答案：.解答：又，故,.11 已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A (3，

5、1)， M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 答案：.解答：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為.過M作的垂線，垂足為則,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)M的坐標(biāo)為。12若，則 .答案：.解答:設(shè)，則，代入方程得或，即或，所以。13. 設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 答案：.解答：當(dāng)時(shí)，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有。14 已知向量的夾角為， ，向量，的夾角為，則的最大值為 答案：24.解答：，則又此時(shí)共圓，由正弦定理得，則。在中，,由余弦定理得,即，所以，當(dāng)時(shí)取“=”，因此的最大值為24.15設(shè)，若對(duì)任意，都有，則答案：.解答：首先令知.其次考慮過定點(diǎn)（0,2）

6、的直線，與開口向上的拋物線，滿足對(duì)任意所對(duì)應(yīng)圖象上的點(diǎn)不在軸同側(cè)，因此.又，故.三、解答題（本大題共有3小題，16題16分，17、18每題18分，共52分）16 設(shè)，函數(shù)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍參考答案：因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相異的實(shí)根，即方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，所以 4分即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，12分解得.16分17已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為圓的圓心(I)求橢圓的方程；(II)若直線l與曲線C1，C2都只有一個(gè)公共點(diǎn)，記直線l與圓C2的公共點(diǎn)為A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)參考答案：（）設(shè)橢圓的半焦距長為，則，解得，所以橢圓方程為.4分（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.當(dāng)直

7、線的率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中.聯(lián)立方程，消去得（1）所以即（2）8分聯(lián)立方程消去得（3）所以即（4）12分（2）-（4）得 （5）（5）代入（3）得（6）16分（6）代入得.經(jīng)檢驗(yàn)或符合題意，這樣點(diǎn)的坐標(biāo)為.18分18已知數(shù)列滿足證明:參考答案：證明：因?yàn)椋?所以 8分又，所以.16分所以.因此18分四、附加題（本大題共有2小題，每題25分，共50分）附加1已知數(shù)列滿足，(I) 證明：是正整數(shù)數(shù)列；(II) 是否存在，使得，并說明理由參考答案：（）由得， （1）同理可得 ，（2）5分由（1）（2）可知，為方程的兩根，又，即有，即 因?yàn)樗詾檎麛?shù).10分（）不存在，使得.1

8、5分假設(shè)存在，使得，則.一方面，所以,即，所以.由費(fèi)馬小定理知，所以20分另一方面，.事實(shí)上，假設(shè)，則，即，所以，而，這樣得到.矛盾. 所以，由費(fèi)馬小定理得.這樣得到.矛盾.所以不存在，使得.25分附加2 設(shè)k為正整數(shù)，稱數(shù)字的排列為“N型”的，如果這些數(shù)滿足（1）； （2）；（3）記為所有“N型”排列的個(gè)數(shù)(I)求，的值； (II)證明：對(duì)任意正整數(shù)k，均為奇數(shù)參考答案：首先注意到的值只能取這些數(shù)字，因?yàn)楸仨氂?k個(gè)值比它小，而的值只能取這些數(shù)字，因?yàn)楸仨氂?k個(gè)值比它大。 記（）時(shí)的N型排列個(gè)數(shù)為，則，.化簡得.10分(1) 計(jì)算可得 15分(2) 易知 ， （），.當(dāng)時(shí)，對(duì)于所有，是偶數(shù)。事實(shí)上對(duì)于，（）時(shí)的任何一個(gè)N型排列，此時(shí)數(shù)字只能放在的位置，