必修五解三角形?？碱}型匯編

1、學習-好資料必修五解三角形?？碱}型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型題剖析】考察點1:利用正弦定理解三角形例 1 在 | ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.例2在ABC中，已知c=T2+76, C=30 ,求a+b的取值范圍?？疾禳c2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3在 ABC中，a2 tanB= b2 tanA ,判斷三角形 ABC的形狀。例4在 ABC中，如果lg alg c = lg sin B =lg J2 ,并且B為銳角，試判斷此三角形的 形狀?？疾禳c3:利用正弦定理證明三角恒等式222222例 5 在 ABC中，求證 一支二b一 十一b

2、一c一 十一c-a一 = 0.cos A cosB cosB cosC cosC cos A例6在 ABC中，a,b,c分別是角 A,B,C的對邊，C=2B求證c2b2=ab.考察點4:求三角形的面積B 2 5例7在 ABC中，a,b,c分別是二個內(nèi)角 A,B,C的對邊，若a=2,C= ,cos一二三一，求425 ABC的面積S.3T例8已知 ABC43 a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊， ABC勺外接圓半徑為12,且C =二求 ABC的面積S的最大值?？疾禳c5:與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9已知 ABC的內(nèi)角A,B極其對邊a,b滿足a + b = acot A + bcot B,求內(nèi)

3、角CcosA b 4例 10 在 ABC 中，A, B, C 所對的邊分別為 a,b,c,且 c=10, =_ =,求 a,b MA ABCcosB a 3的內(nèi)切圓半徑。易錯疑難辨析易錯點利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解【易錯點辨析】 本節(jié)知識在理解與運用中常出現(xiàn)的錯誤有： (1)已知兩邊和其中一邊的對角, 利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；(2)在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1(1) 在4ABC中，a=2/3,b=6,A=30：求B;(2) 在 4ABC 中，a=2 而b=2,A=60：求 B；易錯點忽略三角形本身的隱含條件致錯【易錯點解析】 解題過程中，忽略三角形本

4、身的隱含條件，如內(nèi)角和為180。等造成的錯誤。例2在 ABC中，若C =3B,求c的取值范圍。b更多精品文檔例1 （2010 廣東高考）已知 a, b, c分別是 ABC的三個內(nèi)角 A, B, C所對的邊，若a =1,b =而 A+C =2B,則 sinC =例2 （2010 北京高考）如圖1-9所示，在 ABC中，若b = 1c = J3C=23 則 a =.a 2.2A.- 3例 3 （2010 湖北高考）在 ABC 中，a =15,b =10, A = 60：貝UcosB等于（）c 2 2-6c 6B. C.-D.333例4 (2010 天津高考)在 ABC中,AC cosBAB cos

5、C(1)求證 B=C； (2)若 cosA =-1 ,求 sin%B+2 i 的值。3.31.1.2余弦定理典型題剖析考察點1：利用余弦定理解三角形例 1：已知 ABC中，b =3,c =3j3, B =30 力求 A, C和 a。例 2： ABC中，已知 a=2j6,b=6+2j3, c=4j3,求 A, B, C考察點2:利用余弦定理判斷三角形的形狀例 3：在4ABC中，已知(a+b+c/a+b c)=3ab,且 2cosAsinB = sinC，試判斷 ABC 的形狀。例4：已知鈍角三角形 ABC的三邊a = k,b = k+2,c = k+4,求k的取值范圍?？疾禳c3:利用余弦定理證明

6、三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角 A, B, C的對邊，(1)求證 a cosB +bcosA =c;(2)求證 acos cos22例6在|_ABC中，角A, B, C的對邊分別是 a, b, c。2 r2(1)求證 a_jb_ csin A-B-； (2)求證sin Ca - ccos Bb -ccosAsin Bsin A考察點4：正余弦定理的綜合應用例 7：在|_ABC 中，已知 b=(J31 )a,C =30：求 A, B.例8：設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知b2 + c2 = a2+J3bc,(1)求 A的大??；(2)求 2sin Bco

7、sC-sin (B-C )的值。例9：設(shè)ABC得到內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且acosB = 3,bsin A =4.(1)求邊長a; (2)若ABC的面積S=10,求ABC的周長l。易錯疑難解析易錯點 利用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況【易錯點辨析】在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當該因式恒正或恒負時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導致漏解。例1：在|_ABC中，已知acosA = bcosB,試判斷ABC的形狀易錯點 易忽略題中的隱含條件而導致錯誤【易錯點辨析】 我們在解題時要善于應用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細致地分析問題，如下列

8、題中的 ba就是一個重要條件。例 2：在|_ABC中，已知 a=2,b=2j2,C =15求 A。高考真題評析例 1:（2011.山東模擬）在|_ABC中，D為 BC邊上一點，BC =3BD, AD = J2,/ADB =135、若 AC = J2AB,則 BD =.例2： （2010.天津高考）在 |_ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對邊分別是a, b, c,若a2 -b2 =5/3bc,sin C =2向sin B,則 A等于（）A. 30B.60C.120 D.150例3: （2010.北京高考）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖 1-14所示），它由腰長為1, 頂角為a的四個等腰三角形，

9、及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（）A. 2sin a - 2cos a 2 B. sin a - , 3cosa 3C. 3sin a - 3cosa 1D.2sin a -cosa 1例4: （2010.安徽高考）設(shè)ABC是銳角三角形，a, b, c分別是內(nèi)角A, B, C所對邊長,-B +sin2B。L 2,且 sin A =sin I B in（1）求角 A 的值；（2）若 AB AC = 12,a = 2 J7，求 b, c （其中 bv c）例5：（陜西高考）如圖1-15所示，在ABC中，已知B=45 , D是BC邊上一點,AD=10圖 1-15AC=14, DC=6

10、求 AB 的長。b a .例6: （2010.江蘇局考）在銳角ABC中，角A, B, C的對邊分別是2,35若一+ = 電, Ca b十 tanC tanC 士求+的值。tan A tan B必修五解三角形?？碱}型1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型題剖析】考察點1:利用正弦定理解三角形例 1 在 | ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.【點撥】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正 弦定理的變形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。:A： B：C =1:2:3，而 A +B + C =n.jin

11、n解： A=,B=,C=,632a :b : = sin A:sin B :sinC = sin : sin :sin = 1 :蟲：1 = 1:3:2.6322 2【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應用。例2在ABC中，已知c=、/2+J6, C=30 ,求a+b的取值范圍?！军c撥】 此題可先運用正弦定理將a+b表示為某個角的三角函數(shù)，然后再求解。解： C=30 , c=J2+J6, .由正弦定理得:a b c .2、.6sin A sin B sin C sin 30a=2( V2 + 屈)sinA,b=2( v2 + 厭)sinB=2( V2+ V6 )sin (150

12、0 -A) . a+b=2( 72 +而)sinA+sin(150 -A)= 2( 72+76) - 2sin75 cos(75 -A尸 (72 + 而)cos(75 -A) 當 75 -A=0 ,即 A=75 時，a+b 取得最大值(J2 +，6 f =8+4 J3 ; -.=180 -(C+B)=150 -B, .Ac 150 , 1. 0 vAv 150 , -75 75 -Av 75 ,. cos75 V cos(75 -A) (/2 + 8)cos75 = ( V2 + /6 ) X -= V2 + 6Q .綜合可得a+b的取值范圍為（72 + J6 ,8+4 73 考察點2：利用正

13、弦定理判斷三角形形狀22例3在 ABC中，a - tanB= b tanA ,判斷三角形 ABC的形狀?！军c撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷ABC的形狀。解：由正弦定理變式 a=2RsinA,b=2RsinB 得：_22RsinA sin BcosB_ 2=2Rsin B sin AcosA.sin Acos A = sin B cos B,即 sin2A=sin2B,2A = 2B或2A+2B = n ,A = B或 A + B =.2ABC為等腰三角形或直角三角形?！窘忸}策略】“在 ABC中，由sin2A=sin2B得/ A=Z B”是常犯的錯誤，應認真體會上述解

14、答過程中/ A=/B或/A+/ B=”的導出過程。2例4在 ABC中，如果lgalgc = lgsin B = lg J2,并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀?！军c撥】通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷ABC的形狀。:2斛：t lg sin B - - lg 2,. sin B =.2又B為銳角，B=45 .由 lg a -lg c = lg J2,得 =a 2由正弦定理，得sin Asin C A =180。45C,代入上式得：&sinC=2sin(135C ) =2 sin135 cosC-cos135 sin C=、2 cosC. 2 sin C, , co

15、sC =0, C =90 ,. A =45 .j.Uabc為等腰直角三角形?？疾禳c3:利用正弦定理證明三角恒等式222222例 5 在 ABC中，求證 一a-b一 十一b二c一 十一ca=0.cosA cosB cosB cosC cosC cosA【點撥】觀察等式的特點，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將a2, b： c2轉(zhuǎn)化為 sin2 A,sin 2 B,sin 2 C .學習-好資料證明：由正弦定理的變式 a=2Rsin A, b=2Rsin B得:a2 -b24R2sin2 A4R2sin2 Bcos A cos Bcos A cos B4Rj(1-cos2A) -(1- co

16、s2B)cos A cos B,22 ,(cos B -cos A)cos A cos B2 ,=4R (cosB -cosA)22b -c同理 cosB cosC 22c -acosC cosA2 ,4 4R (cosC -cosB),2 ,=4R (cos A - cosC).左邊=4R2(cosB -cosA +cosC -cosB +cosA cosC)=0 =右邊二等式成立?！窘忸}策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時，常運用正弦定理進行邊角互化, 利用三角知識去解決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用。然后例6在 ABC中，a,b,c分別是角 A,B,C的對邊，C=2B求證c2

17、 -b2 =ab.【點撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應用證明：7 A B C -180 , B C -180 - A.又 7c =2B, C B =B.：sin(B C)=sin(180 -A)=sinA,22_22 _2 _.c -b =4R (sin C -sin B)2= 4R2(sinC sinB)(sinC -sinB)2 B C C-B o B C .=4R 2sin, cos 2cos sinC -B2= 4R2 sin(C +B)sin(C B) = 4R2 sin Asin B = ab=右邊.二等式成立.【解題策略】有關(guān)三角形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性

18、質(zhì)。(1) A+B +C =n,A + B =冗-C,2B =2二-2C.(2)sin( A B) =sinC,cos(A B) = -cosC,tan(A B) 二一 tanC.(3)sinC= cos ,cos2A B . C , A B =sin , tan cotC.2 (4)sin(2 A 2B) =-sin 2C,cos(2 A 2B) =cos2C, tan(2A 2B) =-tan2C.考察點4:求三角形的面積 例7在 ABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊，若a=2,C=24,cos區(qū)友，求 ABC的面積S.【點撥】先利用三角公式求出sinB,sinA 及邊c,

19、再求面積。B 2.5o B 3斛：由題息 cos =,得 cosB=2cos 一1=一,25254一一3-_7.2，B為銳角，sin B = 一,sin A =sin(n - B -C) =sin( B)=5410,110由正弦定理得c = 一， 7c 1. c 1 c 10 48.S = acsin B = ,2 , 一 = 一【解題策略】在 ABC,以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時經(jīng)常用到，要記準、并能靈活應用，A B C =二，sin(A B) =sinC,cos(A B) = -cosC；sin記熟，A BC cos,cos 2例8已知 ABC43 a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C

20、的對邊， ABC勺外接圓半徑為12,且C =3求 ABC的面積S的最大值。【點撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應用。11斛：S abc absin C =-L2Rsin A攵Rsin B_sinC 22、.3r2 sin Asin B =立 R2cos( A - B) -cos(A B) 2=立 R2cos(A -B) 1. 22當 cos(A - B) = 1,即A = B時,( S ABC )max = R2 =L144 = 108.3.44【解題策略】 把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函數(shù)值的取值，求得面積的最大值?？疾禳c5:與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9已知

21、 ABC的內(nèi)角A,B極其對邊a,b滿足a+b = acot A + bcot B,求內(nèi)角C【點撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識，考察運算能力、分析能力和轉(zhuǎn)化能力。a b 一解法 1： 1t a+b =acotA+bcotB,且=2R(R為 ABC的外接圓半徑)，sin A sin B,sin A - cos A = cos B - sin B, 1 - sin 2 A =1 - cos2B.cos2A-cos2B = 0又 sin 2A -sin2B =2cos(A B)sin(A-B).cos(A B)sin(A-B) =0,.cos(A B) =0或 sin(A

22、-B) =0.又 A,B為三角形的內(nèi)角，,A + B = 2或A= B,2當A + B=時，C=; 22當 A=B時，由已知得 cotA = 1, A + B = -,a C =-. 42綜上可知，內(nèi)角C =. 2解法2：由a+b = acot A+bcotB及正弦定理得，sin A +sin B=cos A + cosB ,sin A -cosA = cosB -sin B ,從而 sin Acos- cosAsin =cosBsin- sinBcos一, 4444r一兀兀即 sin(A 一 ) -sin( 一 B).ur ji又0vA+B7t, /.A = B,冗A B =-2JT,C=2

23、.【解題策略】切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡的常用方法,熟練運用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。例10在 ABC中，A, B, C所對的邊分別為 的內(nèi)切圓半徑。a,b,c,且 c=10,cosA b 4,求 a,b 及4ABCcosB a 3更多精品文檔【點撥】欲求邊，應將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。cosA bcosA sin B解：由=_，可得=,cosB acosB sin A變形為 sin Acos A =sin B cosB,. sin 2A =sin 2B又a = b, 2 A = ： _ 2B,. A B =, 2.ABC是直角三角形。222a2 b2 =102由化 4 解得

24、a=6,b=8.a 3,.LABC的內(nèi)切圓半徑為= =6 8-10=2 【解題策略】解此類問題應注意定理與條件的綜合應用。易錯疑難辨析易錯點利用正弦定理解題時，出現(xiàn)漏解或增解【易錯點辨析】 本節(jié)知識在理解與運用中常出現(xiàn)的錯誤有： （1）已知兩邊和其中一邊的對角, 利用正弦定理求另一邊的對角時，出現(xiàn)漏解或增解；（2）在判斷三角形的形狀時，出現(xiàn)漏解的情況。例1(3) 在 4ABC 中，a=2 后b=6,A=30：求 B；(4) 在 ABC中，a=273,b=2,A=60Ja,所以1兩解都存在。（2）增解。由sinB = （0。v Bv 1800 ）可得B=30域150 ,因為b a, 2根據(jù)三角形

25、中大邊對大角可知B A,所以B=150口不符合條件，應舍去?！菊狻?由正弦定理得為鬻4又0 v Bv 180，B = 60或1201(經(jīng)檢驗都符合題意)sin A - sin 601(2)由正弦te理信 sin B = b 父=2 x=.a 2,32又0 v Bv 180 A B =30或 150 b a,根據(jù)三角形中大邊對大角可知Bv A,B = 150 不符合條件，應舍去，,B = 30 。易錯點忽略三角形本身的隱含條件致錯【易錯點解析】 解題過程中，忽略三角形本身的隱含條件，如內(nèi)角和為180等造成的錯誤。c例2在 ABC中，若C =3B,求c的取值范圍。 b【錯解】由正弦定理得c si

26、nC sin3B sin(B 2B) =二二b sin B sin B sin B sinBcos2B cosBsin2Bsin B22 _.=cos 2 B 2cos B = 4cos B -1.70 cos2 B 1. - 14cos2 B-1 3,. 0 _ - 3bC .2 _【點撥】在上述解題過程中，得到了 =4cos B-1后，忽略了三角形的內(nèi)角和定理及隱含 b的A,B,C均為正角這一條件。【正解】由正弦定理可知C二 sinC _ sin3B _ sin(B 2B)b sin B sin B sin B_ sinBcos2B cosBsin2B sin B 22=cos2B 2co

27、s B =4cos BT.：A+B +C=180 %C =3B.20 V Bv 45 , cos B 1.,.2c - 1 4cos BTv3,故 1v3.高考真題評析例1 （2010 廣東高考）已知 a, b, c分別是 ABC的三個內(nèi)角 A, B, C所對的邊，若a =1,b =邪,A+C =2B,則 sinC =【命題立意】本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角C的值?！军c撥】在 ABC中，A+B+C WT,又A+C =2B ,故B=-,由正弦定理知3asin B 1B ,sin A =，又a/3 ) -2ax 373 xcos30 ,二 a2 9a+18 =

28、0,解得 a =3或 6,當 a =3時，A =30：二 C =120白當a =6時，由正弦定理得解法2：asinB sin A =b6 -2 -1,. A-90 ,. C -60 .33、3知本題有兩解。B=30： b csin 30 =3/3J23.3 -與csinB 23由正弦te理得 sin C =2 =,b 32二 C =60?；?120,當C =60=時，A = 901由勾股定理得：a=Jb2 +c2 二32 +(3& j =6當C =120啊，A =30， ABC為等腰三角形，,a=3?！窘忸}策略】 比較兩種解法，從中體會各自的優(yōu)點， 從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和 方法。三

29、角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量 關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運用正弦定理，先求角再求邊。例 2： ABC中，已知 a =2j6, b = 6 +2，3, c =4j3，求 A, B, C【點撥】解答本題可由余弦定理求出角的余弦值，進而求得各角的值。解法1:cos A 二2-a2bc(6+25/3 ) +(473 2 (2而:2 6 2.3 4、3由余弦定理得：36 24右 12 48 -24一 48*3 4872+245/3 _ 3 十有y/34 48 3 48 -2、3 2 一 2 因為Aw(01

30、80、所以A =301_ 2_ 2_ 22,662.3 - 4,32,22八 a b -ccosC =2ab_ 24 36 24.3 12-48 1f-24,6 24.2- 2因為 C w (0 ,180。所以 C = 45 *因為 A+B +C =180：所以 B=180*45* 30口 = 105口解法2:，.1由解法1知sin A = ，214,3 -由正弦定理得，sin C = cs - = 2,66 2/3 = 2 .a 2 , 62因為b c ,所以B C,所以角C應該是銳角，因此 C=45，又因為 A+B+C=180：所以 B =180* 45* 30,=105*【解題策略】已知

31、三角形三邊求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止增解或漏解?？疾禳c2:利用余弦定理判斷三角形的形狀例 3：在 ABC中，已知(a+b+ca +b c )=3ab,且 2cosAsin B = sinC ,試判斷 ABC的形狀。【點撥】本題主要考察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的已知條出發(fā), 找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。解法1：(角化邊)由正弦定理得sinC _ csin B b由 2cosALsin B =sinC ,得 cos A =sinC2sin Bc2b又由余弦定理的推論得cos A =2,2

32、2c b -a2bc2, 22，即c2222=b +c -a，二 a = b。c _ c b -a 2b - 2bc222222又，abc a b -c =3ab. a b ) - c = 3b ,. 4b -c = 3b ,b = c.a =b =c,，|_|ABC為等邊三角形。解法2：(邊化角)7 a B C =180 , sinC = sin A B .又：2cosAgin B =sinC ,2cos Asin B =sin A_cosB cos A_sin B, . sin A- B =0.又A與B均為|_ABC的內(nèi)角，A=B.22 一又由(a +b +c / a +bc )=3ab

33、,得(a + b) -c = 3ab ,a2 +b2 -c2 +2ab =3ab ,即 a2 +b2 -c2 =ab,由余弦定理得 cosC =-,2而 0 v C0, ，a +b c ,222二 k +(k +2 ) v (k +4 ),解得-2kk+4,k2.故 2vkv6.故 k 的取值范圍是2,6 .【解題策略】應用三角形三邊關(guān)系時，應注意大邊對大角?？疾禳c3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例5在中，a,b,c分別是角 A, B, C的對邊，(1)求證 a cosB+bcosA =c;C 9 A 1(2)求證 a cos 一+cos = (a+b+c).22 2【點撥】本題考察余弦

34、定理及余弦定理與二倍角公式的綜合應用。證明：（1）左邊=aba22,2c - b2acb-,222 b c -a2bc22,2,222bca c -b b c +2ac=c =右邊，故原式成立。2c,工 a 1 cosC c 1 cos A(2)左邊=!22 , .22、/.2,22a , a +b c c , b +c a 1+ +- 1+22、+c a2b2、 2ab /2、 2bc2.22,2ab - cba c 一2b1, 一、= 3（a+b+c）=右邊，故原式成乂。【解題策略】（1）小題利用余弦定理將角化為邊。（2）小題先降哥，然后利用余弦定理將角化為邊。例6在|_ABC中，角A,

35、B, C的對邊分別是a, b, c。2 _卜2(1)求證史F- csin A-Bsin Ca-ccosB sin B（2）求證二b -ccosA sin A【點撥】本題考察余弦定理及余弦定理與兩角和差正弦公式的綜合應用222 一.證明：(1)由 a =b +c - 2bccosA,得;2.2a -b2-c -2bccos Ab A= 1-2 一 cos A。c又b sin Bc sinC-2, 2, a -bsin Bsin C-2sin B cosA2=1-2 cos A 二 csin Csin Csin A B )-2cos Asin B _ sin AcosB - cos Asin B

36、sin Csin Csin A B sinC故原式成立。(2)左邊222a c -ba -c 2ac22222a -a -c b2a2222222, b c -a 2b -b -c ab c2bc2b22a -cb2=2 2a 2 =b=snB=右邊。 b -c a a sin A2b故原式成立?？疾禳c4:正余弦定理的綜合應用 例 7：在|_ABC 中，已知 b=(J31 RC =30：求 A, B.【點撥】本題主要考察正、余弦定理的綜合應用。解：b =3 -1 a, c2 =b2 a2 -2ab cosCa2 -2a2 -.3 -1 -y=4-2,3 a2 a2 -、. 3 .3 -1 a2

37、 =2 - .3 a2. a0,c 0,c = ;：；2 - 3 a, - = ； 2 - 3. a由正弦定理得=snC, a sin A二 A =75或 105.由b =(向-1另知ab,若 A = 75：則 B=180(A+C )=75：a=b,與已知矛盾。A=105,BF80 - AC )=45.【解題策略】本題邊未知，已知一角，所以考慮使用余弦定理得a, c的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理求sin A.注意特殊角的三角函數(shù)值，如：sin 75嗔展*2 ,sin15嗔吏二244例8：設(shè)LABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知b2 + c2 = a2 + .J3bc,(1)求A的

38、大??；(2)求 2sin BcosC -sin (B -C)的值。【點撥】本題考察余弦定理，和角、差角的正弦公式的綜合應用。解：(1)由余弦定理 a2 = b2+c2-2bccos A,得 cos A =bc=bc = 2bc 2bc 2HT所以A =. 6 2sin BcosC-sin (B-C ) = 2sin BcosC sinBcosC - cosBsinC =sinBcosC cosBsinC =sin B Cn . n 1= sin (n- A )=sin A =。例9：設(shè)ABC得到內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且acosB = 3,bsin A =4.(1)求邊長

39、a；(2)若ABC的面積S=10,求LABC的周長l。【點撥】本題考察正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及同腳三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應用。解：(1)已知 acosB =3,bsin A =4.3 acosB a cosB b cosB將兩式相除，有一=cot B.4 bsin A sin A bsinB b又由 acosB =3知 cosB 0,_ 3_ 4 一則 cosB = 一 ,sin B = ，則 a = 5.5 5一 一 1(2)由 S = acsin B =10，得 c = 5.2由 cosB =222a c -b2ac=3,得 b =2石。5故 l =10 +2%/5。【解題策略】

40、把已知兩個關(guān)系式相除是本題的難點，也是解決此題的關(guān)鍵，相除之后出現(xiàn)a,使用正弦定理使問題得到順利解決。sin A易錯疑難解析易錯點 利用余弦定理判斷三角形的形狀時出現(xiàn)漏解情況【易錯點辨析】在等式兩邊同時約去一個因式時，需要十分小心，當該因式恒正或恒負時可以約去，一定要避免約去可能為零的因式而導致漏解。例1：在|_ABC中，已知acosA = bcosB,試判斷ABC的形狀?！惧e解】由余弦定理得：222222b c -a , a c -ba二 b2bc2ac22222222a b c -a 二b a c -b ,2, 22 2,a b a c422224- a -ba b c - b ,2222

41、222a -b c = a b a -b ,222.c = a b .故LABC為直角三角形。【點撥】利用余弦定理把已知等式中角的形式轉(zhuǎn)化為邊的形式，其思路是正確的，但是在等式變形中約去了可能為零的因式 a2 -b2,產(chǎn)生了漏解的情況，導致結(jié)論錯誤。【正解】由余弦定理得：,222222b c -a .a c -b 2 .222.222.2a=b, . a b c-a i = b a c -b ,2bc2ac222222222222a -b c = a b a -b , a -b c -a -b =0,: a =b或 c2 =a2 +b2。ABC為等腰三角形或直角三角形。易錯點 易忽略題中的隱含

42、條件而導致錯誤【易錯點辨析】 我們在解題時要善于應用題目中的條件，特別是隱含條件，全面、細致地分析問題，如下列題中的 ba就是一個重要條件。例 2：在|_ABC中，已知 a=2,b=2j2,C =15：求 A?！惧e解】由余弦定理，得c2 =a2 b2 -2abcosC =4 8 -2 2 22 -6-2 8-4 .3,. c =、. 6 -2.4asin C 1由正弦定理，得 sinA =.又 0。Aa =2這一隱含條件，則 BA,顯然A = 150是不可能的?！菊狻坑捎嘞叶ɡ恚?c2 = a2+b2-2ab cosC =8-4/3 , c = J6 - J2.一asinC 1又由正弦定理

43、，得 sinA =asnC =. . ba,BA.又 0 VAV 180 ,，A = 30c 2高考真題評析例 1:（2011.山東模擬）在ABC中，D為 BC邊上一點，BC =3BD, AD = J2,/ADB =1351若 AC = J2AB,則 BD =.【命題立意】本題主要考察余弦定理與方程組的應用?！军c撥】如圖1-13所示，設(shè)AB =k，則AC = J2k,再設(shè)BD =x，則DC =2x,在|_|ABD中，由余弦定理得k2 =x2 +2-2 x 42 -=x2+2 + 2x。在L ADC中，由余弦定理I 2 J。一2。一一得 2k2 =4x2 +2 -2 2x 五=4x2 +2 -4

44、x,k2 =2x2 +1-2x 。由得2x2 4x1=0，解得x = 2 + J5 （負值舍去），故填2 + J5?！久麕燑c評】根據(jù)題意畫出示意圖由CD=2BD,AC=/2AB,設(shè)出未知量，在兩個三角形中分別利用余弦定理，然后聯(lián)立方程組求解。圖 1-13例2： （2010.天津高考）在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對邊分別是a, b, c,若a2 -b2 =bc,sin C =2向sin B,則 a等于（）A. 30B.60 C.120 D.150【命題立意】本題考察正、余弦定理的綜合應用，考察分析問題、解決問題的能力。【點撥】由sinC =2j3sin B,根據(jù)正弦定理得c = 2，3b

45、,代入a2 b2 = J3bc,得a2 -b2 =6b2,即a2 =7b2,由余弦定理得.222. 222八 b c -a b 12b -7b cos A =-2bc2b 2,3選A6b g 又 0 A 180 , , A=30L 故4.3b2 32 ,【名師點評】應用正弦定理把已知條件中sin C =2j3sin B,轉(zhuǎn)化成邊b, c的關(guān)系，再代入已知得a, b的關(guān)系，利用余弦定理變形形式求角的余弦值。例3： （2010.北京高考）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖 1-14所示），它由腰長為1,頂角為a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（）A. 2sin a -2cosa 2B. sin a - 1 3 cosa 3C. 3sin a - , 3cosa 1D. 2sin a - cosa 1【命題立意】本題考察了用余弦定理理解三角形以及三角形面積公式和圖形的分割求和等知 識。【點撥】三角形的底邊長為x = ；1 1 - 2 1 1 cosa=J2 -2cosa,12S =4S三角形 SE方形=4 2 1 1 sina x =2sin a 2 - 2cosa